《经济应用数学》(谢金云 )教案 第17课-线性方程组（一）

17第17第课线性方程组及应用（一）PAGE2线性方程组及应用（一）第线性方程组及应用（一）第课17PAGE1

课题线性方程组及应用（一）——n元线性方程组、同解方程组、非齐次线性方程组的解法课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）认识n元非齐次线性方程组和n元齐次线性方程组。（2）了解同解方程组的相关定理。（3）掌握非齐次线性方程组的解法。思政育人目标：通过学习线性方程组的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：n元非齐次线性方程组和n元齐次线性方程组的概念教学难点：非齐次线性方程组的解法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前问答题（1）什么是线性方程组？（2）如何解线性方程组？（3）如何判定线性方程组是否有解？【学生】查找资料，预习教材通过课前预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解n元非齐次线性方程组和n元非齐次线性方程组的概念，并通过例题讲解介绍其应用在实际问题中，我们经常需要求解未知量个数超过3个或方程个数与未知量个数不相等的线性方程组．一般地，由n个未知量和m个线性方程组成的方程组（6-1）称为，其中系数和常数项都是已知数，为未知量．若令，则根据矩阵乘法和矩阵相等的定义，可以用矩阵形式来表示线性方程组（6-1），即．其中，由系数组成的矩阵A称为，由未知量组成的矩阵X称为，由常数项组成的矩阵B称为．方程组的系数和常数项组成的矩阵称为，该矩阵也可记作，它可以清楚地表示一个线性方程组．当时，（6-2）称为，它的矩阵形式为．写出下列线性方程组的系数矩阵、未知矩阵、常数矩阵、增广矩阵，并写出该线性方程组的矩阵形式．（1）（2）（1）系数矩阵，未知矩阵，常数矩阵，增广矩阵，矩阵形式为．（2）系数矩阵，未知矩阵，常数矩阵，增广矩阵，矩阵形式为．【学生】认识n元非齐次线性方程组和n元齐次线性方程组【教师】讲解同解方程组的相关定理在解线性方程组时，将解线性方程组的步骤与对其增广矩阵进行初等行变换的过程进行对照，如表6-1所示.图1-16图1-16所以，线性方程组的解为对照表6-1中两种方法可以得出以下结论：（1）交换线性方程组中的任意两个方程，意味着交换增广矩阵中相应的两行（换行变换）；（2）线性方程组中任意一个方程乘以一个非零常数，意味着增广矩阵中某一行乘以一个非零常数（倍乘变换）；（3）线性方程组中任意一个方程的倍加到另一个方程上，意味着增广矩阵相应一行的倍加到另一行对应元素上（消去变换）．这说明对增广矩阵进行初等行变换相当于对线性方程组进行同解变换．【学生】了解同解方程组的相关定理学习n元非齐次线性方程组和n元齐次线性方程组的概念，同解方程组的相关定理。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解非齐次线性方程组的解法，并通过例题讲解介绍其应用解非齐次线性方程组时，可以对增广矩阵进行初等行变换，使其化为标准的阶梯型矩阵，这时可以判断解的情况，若有解可以求出其解．这种利用矩阵的初等行变换解线性方程组的方法称为．解线性方程组．由此可以看出，，下面继续化简．．相应的同解方程组为即原线性方程组的唯一解为解线性方程组所以，，即，相应的同解方程组为此方程组中第三个方程是矛盾的，故原线性方程组无解．解线性方程组即，下面继续进行化简．所得阶梯型矩阵的第四行是零行，它表示同解线性方程组中第四个方程是恒等式，且对解线性方程组不起作用，只有前三个方程有效．由于三个方程不能约束四个未知量，故其中一个未知量可以任意取值，是自由变量．本题中可设为自由变量，将其移到等式右边，这样得到的同解方程组为其中可以取任意实数k，方程组的解也可以表示为(为任意实数)．因此，该线性方程组有无穷多组解．对于非齐次线性方程组（6-1），有以下结论：（1）若，非齐次线性方程组（6-1）无解；（2）若，非齐次线性方程组（6-1）有唯一解；（3）若，非齐次线性方程组（6-1）有无穷多组解，其中，独立变量有个，自由变量有个．解线性方程组．所以，，因此自由变量有（个），方程组有无穷多组解．设为自由变量，原方程组变为方程组的解可表示为(为任意实数)．已知线性方程组有解，试求出的值，并解线性方程组．因为方程组有解，所以．又因，故，方程组有无穷多组解．设为自由变量，方程组的解可表示为(k为任意实数)．【学生】掌握非齐次线性方程组的解法学习非齐次线性方程组的解法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家认识了n元非齐次线性方程组和n元齐次线性方程组，了解了同解方程组的相关定理，掌握了非齐次线性方程组的解法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题6.1、习题6.2第一题的（1）（2）小题总结知识点，巩固印象教学反思本节课