哈尔滨工业大学运筹学教案排队论的应用案例分析.6

排队论应用2021年5月10/16/20231地铁车站楼梯和自动扶梯处客流延时分析

教学目的：利用排队论建立轨道交通车站楼梯和自动扶梯处客流延时模型，得出客流延时的指标公式，可为更清楚地了解车站楼梯和自动扶梯处的乘客延时状况提供一定的理论依据。楼梯和自动扶梯是轨道交通车站中主要的升降设施，在客流顶峰时，由于楼梯和自动扶梯的通过能力有限，大量的乘客将会在楼梯和自动扶梯口处排队等候，造成乘客进出站时间延长，弄清乘客在楼梯和自动扶梯处的延时状况，有利于车站运营效益的充分发挥。10/16/20232乘客从站外经检票进入车站付费区，通过楼梯和自动扶梯到站台，这是一个随机的过程。由于检票口与楼梯和自动扶梯的通过能力相当，乘客进入站台，先受检票口通过能力约束，使得超过检票口通过能力的客流被暂时堵在检票口外排队等候检票，因此通过检票口的乘客不会因为楼梯和自动扶梯的通过能力的约束而需要排队。但乘客在出站时，特别是在客流顶峰，大量的乘客从列车上下来，并且在较短的时间内通过楼梯和自动扶梯到达站厅出站，必然存在一局部乘客在楼梯和自动扶梯处排队等候。假设乘客排队等候时间超过了列车发车间隔，那么等候的乘客越来越多，造成楼梯和自动扶梯处越来越堵。10/16/202331乘客排队系统推导在一列车到站后的发车间隔内，把从列车下到站台的乘客看作效劳对象，出站的楼梯和自动扶梯看作效劳通道，并对站台上的楼梯和自动扶梯以及乘客作一些根本的假设：(1)楼梯和自动扶梯沿着站台纵向均匀布置，且这种均匀布置使乘客在站台上行走的距离最短。(2)下车乘客平均分布于每节车厢中。(3)所有下车乘客在站台上走行的速度是相等的，并保持一定的速度。10/16/20234把每组楼梯和自动扶梯及其吸引的客流看作为站台上的一个排队系统，那么在这个排队系统中：输入过程：乘客以一定的速度从站台行走到距离自己最近的楼梯和自动扶梯处寻求效劳，以λ表示乘客单位时间到达楼梯和自动扶梯的人数，即排队系统的输入率λ(单位：人/s)。每组楼梯和自动扶梯效劳的乘客数为10/16/20235λ——排队系统的输入率W——列车到站后下车或换乘的人数v——下车乘客在站台上的行走速度l——站台的有效长度n——站台上楼梯和自动扶梯的组数输入的时间其输入率λ的具体表达式为：(1)10/16/20236排队规那么：乘客到达楼梯和自动扶梯口处，假设楼梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使用楼梯和自动扶梯，假设楼梯和自动扶梯被占用，不能为乘客提供效劳时，乘客就会在此等候楼梯和自动扶梯的效劳，而且效劳次序为先到先效劳。10/16/20237输出过程：由于楼梯和自动扶梯的通过能力是一定的，以μ表示楼梯和自动扶梯的输出率μ(单位：人／s)。那么排队系统的输出率与楼梯和自动扶梯的宽度相关，当楼梯和自动扶梯的宽度确定后，每一组楼梯和自动扶梯的输出过程是一个定长输出过程，其输出率μ的具体表达式为：10/16/20238(2)μ——排队系统的输出率C自动扶梯——自动扶梯的通过能力d自动扶梯——自动扶梯的净宽度C楼梯——楼梯的通过能力d楼梯——楼梯的净宽度输出时间t1表达式为：(3)10/16/20239通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动扶梯所组成的效劳系统是一个定长输入、定长输出的单通道排队系统，由n组楼梯和自动扶梯布置在站台形成的乘客排队系统那么是一个定长输入、定长输出、多通道的排队系统即：d/d/n排队系统。10/16/202310上述这个d/d/n排队系统可以近似的用图l来描述，横轴表示时间，纵轴表示累计输入或输出乘客数；排队系统输入量曲线和输出量曲线分别如下图，它们对应的纵轴坐标就分别是累计输入乘客数和累计输出乘客数，阴影局部的面积表示排队乘客总的延误时间。图1d／d／n排队系统图形表示图中参数的含义为：t0——排队系统中输入结束时间t1——排队系统中输出结束时间λ——自动扶梯和楼梯口的输入率μ——自动扶梯和楼梯口的输出率Q0——输入时间结束时自动扶梯和楼梯的输出量Q1——自动扶梯口的全部输入量10/16/202311在这个排队系统中采用近似的计算得出一些重要的指标表达式为：最大排队乘客数：Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0(4)排队中最大延误时间：ts=t1-t0(假设ts≤0，那么表示没有排队产生)(5)平均排队乘客数：排队平均延误时间：排队乘客总的延误时间：(8)(6)(7)10/16/202312车站楼梯和自动扶梯处客流延时实例以发车间隔2min，6节编组的B型车为例，列车长度114m，车厢定员245人，到站后30％的乘客下车出站，乘客在站台上的走行速度取0.64m/s。每1m宽的自动扶梯通过能力7200人/h。站台上布置两组自动扶梯供乘客出站，自动扶梯在站台上的布置位置满足上面假设的原那么，那么自动扶梯在站台上的布置位置如示意图2所示：图2两组自动扶梯布置位置示意图10/16/202313此时站台上两组自动扶梯和下车乘客是一个d/d/2系统，对于每一个排队系统，其输入率和输出率为：μ=c自动扶梯×d自动扶梯+c楼梯×d楼梯=2×1=2人/s输入时间t0为：输出时间t1为：排队中最大延误时间为：ts=t1-t0=110.25-44.53=65.72s最大排队乘客数：Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0=(5-2)×44.53=134人(取整)排队乘客总的延误时间：min10/16/202314对一个排队系统来说，最大的排队乘客数为134人，排队乘客的总的延误时间为73、38min，而对整个站台来说，有两个这样的排队系统，因此在一列车到来后的出站乘客将会有268人需要排队等候，排队中最大的延误时间为65.72s，所有乘客总的排队时间为146.76min。假设排队系统中最大延误时间大于列车发车间隔，那么在楼梯和自动扶梯处总有乘客在排队等候，而且人数越来越多，这样就需要重新设计楼梯和自动扶梯的宽度。10/16/202315通过对站台上客流状态进行假设，建立了楼梯和自动扶梯处客流延时的d／d／n排队系统模型，并推导出客流延时的指标公式。通过预测的客流以及乘客在站台上行走的实际速度，可估算出车站内最大乘客延误数量及延误时间，有利于比较清楚地把握车站内乘客延时状况。讨论：改变参数〔1〕下车人数比例为60%；〔2〕平面通道的通行时间分析10/16/202316学生实验城市轨道交通进站检票机分析教学目的：要求学生学会应用排队论的思想分析实际问题调查方案设计统计特征分析*排队系统参数分析*排队系统仿真背景介绍10/16/202317排队系统的描述顾客总体队伍效劳台效劳系统输出输入10/16/202318排队效劳系统的根本概念输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队系统。1.顾客源总体:有限还是无限2.到达类型：单个到达还是成批到达3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的;等时间间隔的;服从Poisson分布的；k阶Erlang分布泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一效劳设施在一定时间内到达的人数，交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。10/16/202319排队效劳系统的根本概念排队规那么：指效劳系统是否允许排队，顾客是否愿意排队1.损失制排队系统：顾客到达假设所有效劳台被占，效劳机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。2.等待制排队系统：顾客到达时假设效劳台均被占，他们就排队等待。效劳顺序有：先到先效劳、后到先效劳、随机效劳、有优先权的效劳3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长〔容量〕有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有限的混合10/16/202320排队效劳系统的根本概念效劳机构：1.效劳台的数目2.顾客所需的效劳时间服从怎样的概率分布(常见顾客的效劳时间分布有:定长分布、负指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、几何分布、一般分布)10/16/202321排队论模型的符号表示通常由3-5个英文字母组成，其形式为A/B/C/n，其中A表示输入过程，B表示效劳时间，C表示效劳台数目，n表示系统空间数排队模型的表示：

X/Y/Z/A/B/C

X—顾客相继到达的间隔时间的分布；

Y—效劳时间的分布；

Z—效劳台个数；

A—系统容量限制〔默认为∞〕；

B—顾客源数目〔默认为∞〕；

C—效劳规那么〔默认为先到先效劳FCFS)。M—负指数分布、D—确定型、Ek—k阶爱尔朗分布。10/16/202322描述排队论系统的主要数量指标1.队长(Ls)：指在系统中顾客的平均数等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接受效劳止的平均时间与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均效劳时间之和3.系统的忙期与闲期效劳机构工作强度=由于效劳顾客的时间/效劳设施总的效劳时间=1-效劳设施总的空闲时间/效劳设施总的效劳时间10/16/202323与排队论模型有关的LINGO函数1.@peb(load,S)该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个效劳台且允许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率2.@pel(load,S)该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个效劳台且不允许排队时系统损失的概率，也就是顾客得不到效劳离开的概率3.@pfs(load,S,K)该函数的返回值是当到达负荷为load，顾客数为K,平行效劳台数量为S时，有限源的Poisson效劳系统等待或返修顾客数的期望值10/16/202324等待制排队模型等待制排队模型中最常见的模型是：M/M/S/∞,即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且服从参数为λ的负指数分布〔即输入过程为过程〕，效劳台的效劳时间也独立同分布，且服从参数为μ的负指数分布，而且系统空间无限，允许永远排队10/16/202325等待制排队模型的根本参数1.顾客等待的概率:Pwait=@peb(load,S),其中S是效劳台或效劳员的个数，load=λ/μ=RT,其中R=λ,T=1/μ，R是顾客的平均到达率，T是平均效劳时间2.顾客的平均等待时间：Wq=Pwait·T/(S-load),其中T/(S-load)可以看成一个合理的长度间隔，3.顾客的平均逗留时间、队长和等待队长〔little公式〕Ws=Wq+1/μ=Wq+TLs=λ·Ws=RWsLq=λ·Wq=RWq10/16/202326等待制排队模型实例1.S=1(M/M/1/∞)例1：某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供效劳，新来维修的顾客到达后，假设已有顾客正在接受效劳，那么需要排队等待，假设来维修的顾客到达过程为Poisson流，平均每小时4人，维修时间服从负指数分布，平均需要6min,试求该系统的主要数量指标。2.S=3(M/M/S/∞)例2：设打印室有3名打字员，平均每个文件的打印时间为10min,而文件到达率为每小时15件，试求该打印室的主要数量指标。10/16/202327等待制排队模型实例例1：Model:S=1;R=4;T=6/60;load=R*T;Pwait=@peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;End例2：Model:S=3;R=15;T=10/60;load=R*T;Pwait=@peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;END10/16/202328损失制排队模型损失制排队模型通常记为M/M/S/S,当S个效劳器被占用后，顾客自动离去10/16/202329损失制排队模型的根本参数1.系统损失的概率：Plost=@pel(load,S)2.单位时间内平均进入系统的顾客数：λe=Re=λ(1-Plost)=R(1-Plost)3.系统的相对通过能力(Q)与绝对通过能力(A)Q=1-Plost,A=λe·Q=λ(1-Plost)2=Re·Q=R(1-Plost)24.系统在单位时间内占用效劳台的均值:Ls=λe/μ=Re·T注意：在损失制系统中，Lq=0,即等待队长为05.系统效劳台的效率：η=Ls/S6.顾客在系统内平均逗留时间:Ws=1/μ=T注意：在损失制系统中，Wq=0,即等待时间为010/16/202330损失制排队模型实例S=1(M/M/1/1)例1：设某条线，平均每分钟有0.6次呼唤，假设每次通话时间平均为1.25min,求系统相应的参数指标。model:S=1;R=0.6;T=1.25;load=R*T;Plost=@pel(load,S);Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T,eta=L_s/S;endEta->η10/16/202331损失制排队模型实例S>1(M/M/S/S)例2：某单位交换台有一台200门内线的总机，在上班8小时内，有20%的内线分机平均每40min要一次外线，80%的分机平均间隔120min要一次外线。又知外线打入内线的平均每分钟1次。假设与外线通话的时间为平均3min，并且上述时间均服从负指数分布，如果要求的通话率为95%，问该交换台应设置多少条外线？10/16/202332损失制排队模型实例例2：分析：1)交换台的效劳分成两类，第一类内线打外线，其强度为λ1=〔0.2×60/40+0.8×60/120〕×200=140第二类是外线打内线，其强度为λ2=1×60=60因此总的强度为λ=λ1+λ2=140+60=2002)按题目要求，系统损失的概率不能超过5%，即Plost≤0.053〕外线是整数，在满足条件下，条数越少越好Model:R=200;T=3/60;load=R*T;Plost=@pel(load,S);Plost<=0.05;Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T;eta=L_s/S;Min=S;@gin(S);end10/16/202333混合制排队模型混合制排队模型通常记为：M/M/S/K,即有S个效劳台或效劳员，系统空间容量为K，当K个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。10/16/202334闭合式排队模型设系统内有M个效劳台，顾客到达系统的间隔时间和效劳台的效劳时间均为负指数分布，而系统的容量和潜在的顾客数都为K，顾客到达率为λ，效劳台的平均效劳率为μ，这样的系统称为闭合式排队模型，记为：M/M/S/K/K10/16/202335闭合式排队模型的根本参数1.平均队长：Ls=@pfs(load,S,K),load=K·λ/μ=KRT即:系统的负荷=系统的顾客数×顾客到达率×顾客的效劳时间2.单位时间平均进入系统的顾客数:λe=λ〔K－Ls〕=R(K－Ls)=Re3.顾客处于正常情况的概率:P=(K－Ls)/K4.平均逗留时间、平均等待队长和平均排队等待时间Ws=Ls/λe=Ls/ReLq=Ls－λe/μ=Ls-Re·TWq=Ws－1/μ=Ws－T5.每个效劳台的工作强度:Pwork=λe/(Sμ)10/16/202336排队系统的最优化模型1.系统效劳时间确实定例：某工人照管4台自动机床，机床运转时间平均为负指数分布，假定平均每周有一台机床损坏需要维修，机床运转单位时间内平均收入100元，而每增加一单位μ的维修费用为75元，求使总利益到达最大的μ*分析：这是一个