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文档简介
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式【素养目标】1.了解基本不等式的代数和几何背景.(数学抽象)2.理解并掌握基本不等式及其变形.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(数学运算)4.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式.(逻辑推理)5.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题.(数学运算)4个全等的直角三角形面积和为2ab正方形ABCD的面积为
图中的相等与不等关系有:在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形四个全等的直角三角形的面积的和小于正方形ABCD的面积……设直角三角形的两条直角边的长为a,b(a≠b),那么正方形的边长为.
一般地,对于任意实数a,b,我们有,当且仅当a=b时,等号成立.重要不等式当且仅当a=b时,等号成立。定理
重要不等式:公式思考:你能给出不等式的证明吗?证明:(作差法)当且仅当a=b时等号成立定理
重要不等式:证明定理
重要不等式:
变形式当且仅当a=b时,等号成立。替换后得到:即:即:当且仅当a=b时,等号成立.定理
基本不等式均值不等式定理
基本不等式均值不等式
一般地,对于任意实数a,b>0,我们有,当且仅当a=b时,等号成立.基本不等式:a,b的算术平均数a,b的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.公式定理基本不等式均值不等式
变形式证明:例
已知a,b,c都是整数,求证:当且仅当a=b时,等号成立;当且仅当b=c时,等号成立;当且仅当c=a时,等号成立;当且仅当a=b=c时,等号成立;即证原不等式成立.定理基本不等式均值不等式名称定理1:重要不等式定理2:基本不等式表达式文字叙述适用范围“=”成立条件a=ba=ba,b∈Ra>0,b>0两实数的平方和不小于它们积的2倍两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数新课讲授
新课讲授
基本不等式的几何意义基本不等式
因此所求的最小值为2.一正:各项必须为正二定:各项之和或各项之积为定值三相等:必须验证取等号时的条件十分具备基本不等式
一正二定三相等基本不等式
凑配法
.
配凑系数
基本不等式当且仅当
时,取“=”号.
基本不等式最值定理基本不等式分式形函数的最值求法基本不等式“1”的代换
练一练1.设a>0,b>0,证明下列不等式:
练一练3.试判断x(2-x)(0<x<2)与1的
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