创设教材中的数学探究“实验”情景让深度学习可见

随着课程改革的深入，课程目标、课程体系结构、课程内容的变化最终要体现在课堂上，传统数学课堂教学经常出现如教学过程僵化，技术融合生硬，教学设计呆板等现象将逐步克服，教师不再只关注学生是否掌握比百度更多的知识，运算速度是否快如计算机，而更多关注学生是否学会了，是否会学了，而不是教师自己是否教到。那么，在课堂中教师如何进行深度教学，让学生深度学习，以达到深度育人，个人认为，教师应研读教材，用好教材，创设教材中的数学探究“实验”情景，进行深度教与学，以学定教，让思维发生，让学习可见，让学科素养落地课堂。所谓数学探究实验，是指在数学学习过程中运用有关工具(如纸张、模型、测量工具、作图工具以及信息技术等),教师提出有挑战性的数学探究问题，创设数学实验教学情境，学生在教师的指导下，教师协助学生设计实验方案，以学生的动手操作、动脑思维为基点，在实验观察、猜想、试错、分析、归纳等思维活动中，自己发现数学的验证或探究过程，学生以研究者的身份进行研究性学习，将知识内化于心的数学学习方式。这种学习方式能使学生体验数学建构，逐步理解数学，发现真理，激发学生的学习兴趣，调动学生探究学习的主动性，培养学生独立探究、创造性分析问题、解决问题、获得知识的能力。2019年11月，教育部发布了关于加强和改进中小学实验教学的意见，指出，要着力提升学生的观察能力、动手实践能力、创造性思维能力和团队合作能力。数学探究性实验是学生通过观察、猜想、试错、分析、归纳等方法获得数学知识和经验，逐步建构和发展自己的数学认知的过程。数学探究实验不同于物理化学等其他学科，它涉及数量关系和空间形式等材料，学生通过这些材料进行探究、观察、猜想、讨论、验证、总结等活动与体验，与抽象的数学知识生动相遇。本文是在教学实践中创设教材中的数学探究“实验”情景的几点做法及思考。一、提炼学生身边的的数学素材，创设生活化的实验探究情景数学源于生活又高于生活，教学中，借助学生身边的一些几何模型，如触手可及的笔、纸、文具盒、水杯、书桌、教室等，从具体模型中抽象出直线、平面、棱柱、圆柱、长方体等模型，创设生活化的实验探究学习情境，引起学生主动探究的学习热情，同时还能让学生在数学知识的产生、发展的过程中真正达成对数学概念、法则、原理的概念建构和内化，让抽象的数学概念变得具体变得更接地气，让课堂教学有较低的起点又能有较高立意，案例1：8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系选自人教版普通高中数学必修第二册《立体几何初步》，可以让学生自己动手制作实验材料，创设空间几何模型演绎的实验情境。实验材料：笔，纸、书桌、教室。实验主题一：探究直线与直线的位置关系。实验步骤：（1）观察、分析：学生借助具体的模型如笔、纸、书桌、教室等，观察直线与直线的位置关系。（2）猜想、试误：提出问题，空间两条直线的位置关系有几种？除了相交、平行，还有吗？两条直线既不相交也不平行是什么位置关系？（3）动手、探究、讨论：学生独立操作或者学习小组内学生与同伴一起合作，想象一下，笔抽象为直线，桌面抽象为平面，要求学生动手操作演示直线的各种位置关系，其他同学提问或者纠正。（4）合作、归纳，填写实验报告：只有两条直线相交或平行才能放置在同一平面上，即共面直线。同样，两条既不相交又不平行的直线，无论它们如何改变位置，都不能放在同一平面上，学生们一起抽象出不同在任何一个平面内的两条直线的概念，叫做异面直线。（5）迁移与应用：引导学生共同归纳数学对象的研究路径，先概括直线研究的问题、线索和基本方法：定义（组成元素、分类）→直线的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）→共面直线（平行、相交），异面直线（异面直线所成的角和距离）→直线特殊位置的研究（平行直线、垂直直线）……类似地，拓展为空间立体几何基本研究路径：背景→概念→判定、性质→联系（结构）→应用。师生共同总结数学对象研究路径使学生知道研究问题的基本套路，类比的方法，再让学生继续动手做第二个实验主题：探究直线与平面的位置关系，联结数学的结构本源。【设计意图】选取学生身边的实验素材，创设空间几何模型实验情情景，给出富有挑战性的实验主题，学生动手、猜想、试错、探索、分析、归纳等活动与体验，视觉展示空间中直线与直线的直观的位置关系及变化，从位置关系和度量关系入手，让学生感受和体验异面直线的概念由具体到抽象的形成过程。该实验过程利用学生现有的平面几何知识，即联想和结构，进行转化，并重新建构为新的知识结构，使学生对异面直线的概念就有了更深度的学习体验。数学概念是抽象的，但抽象概念来源于现实生活实践，因此，在概念数学中，通常借助于感觉和想象来描述，即回归到直观和具体的生活实践中，通过创设适合学情的实验探究情景，利用实物模型或演示实验，使数学的抽象回归到具体，让数学概念更好理解，回归到数学的生活本源，让学生知其然更知其所以然，触发深度学习，渗透核心素养，帮助学生体验和理解数学概念。二、设计实地考察与测量，创设体验性的实验情景教材是我们教好数学的根本，很多教师往往只是教教材，围绕着教材上的内容对学生教学填鸭或者灌输,更多地运用死记硬背等学习方式，使课堂技术大多徘徊在低阶思维水平上，而高阶思维不是教师教出来的,而是学生主动学习出来的。因而，读好教材，教好教材，活用教材，比如设计实地考察与测量活动，创设体验性的实验情景，把教师灌输、填鸭式的教学转化为学生主动的学习，让深度学习发生,让批判性思维等高阶思维会发生。案例2：探究学校的椭圆形操场的跑道是不是椭圆选自人教版普通高中数学选择性必修第一册《圆锥曲线的方程》的椭圆，教师可以设计与实地考察测量实验情境，并利用几何画板制作教学课件，创设直观、可视化的实验情境。实验材料：笔，纸、尺规、几何画板教学课件。实验主题：学校的椭圆形操场的跑道是不是椭圆。实验步骤：（1）观察、猜想：学生观察生活中的椭圆形曲线，椭圆有何形与数的性质，能否探究一下学校的椭圆形操场的跑道是不是椭圆。（2）分析、试误：有人说，学校的椭圆形操场的跑道看起来像椭圆型曲线，请问：这些曲线是如何曲？是不是椭圆？为什么是椭圆？如何验证？椭圆的定义是什么？椭圆的焦点去哪儿了？椭圆的圆与扁即形状如何数量化？能说明一下吗？（3）合作探究、动手实践：学生通过探究学校的椭圆形操场的跑道究竟是不是椭圆，进行合作研究讨论，制定探究方案。（4）讨论、归纳，得出实验报告：通过学生自主合作，展开联想与想象，有同学用直接排除法，有同学求助专业，有同学用反证法，有同学回归定义，得出了不同方案，并进行操作，形成实验报告。方案一：操场两旁有一百米跑道是直线段不是曲线，故不是椭圆。方案二：求助他人，如体育老师或者上网查找，得出操场曲线是由两线段和两半圆组合，故不是椭圆。方案三：假设椭圆形操场的跑道是椭圆，学生小组合作，利用尺规和a,b,c之间的勾股定理，定位椭圆的焦点位置，测量后发现不满足椭圆的定义，即曲线上的任意一点到两定点距离相等。（5）提升拓展：学生归纳出研究一个数学对象的基本路径：背景（现实需要、数学发展的需要）→概念（研究对象）→要素（对象、表示、分类）→性质（要素特征、要素、相关要素之间的关系，变化规律等）→结构（相关知识的联系）→应用【设计意图】通过创设“学校的椭圆形操场的跑道是不是椭圆”实验问题情境，重现了椭圆的发现、验证、证明的过程。学生通过探究椭圆形跑道曲线是不是椭圆，动手测量动脑分析，以“做”实验为支架，通过实际操作，自主探究，小组合作，互动交流等活动，经历了发现问题、解决问题的过程。我们关注学生经历了什么，感受了什么，体会了什么，注重学生的活动与体验，让学生可个性化地自主学习，学生在观察、操作、猜测、试误、验证推理、反思等过程中，逐步体会数学知识的发生、发展与应用，让学生在多向交流、合作探究中学会学习。整个课堂大部分时间让学生参与思考、参与讨论、参与质疑，教师主要起到的是引导、点拨、释疑的作用，学生在合作讨论、交流碰撞中沉浸式学习，体验学习数学之乐，体现了学生主体地位。同时，课堂中，学生有机会和一定的时间进行展示自我，其他学生也可找出疑难，再进行合作探究，讨论释疑，学生在课堂上敢于表达疑难以及展示如何解决困难，小组其他同学也能够进行补充、归纳解题策略，教师加以启发，教学过程就是理解数学知识、验证数学结论的思维活动，课堂翻转成学堂，课堂有思辨就有了深度，数学学习过程也变得有趣有料有效，教与学就有了深度。三、借助几何画板等信息技术手段，创设直观、可视化的实验情景随着课堂技术的发展，中学数学的学习和教学过程中，借助易学易用的第三方软件如几何画板、超级画板、3D数学教学平台、GeoGebra(动态数学软件)等学科软件，创设直观、可视化的实验情景，除了图文并茂地幻灯片展示，还能根据学生实际情况和具体的教学环境将难以理解的知识直观化、可视化，让隐性思维变得显性化。以几何画板为例，其作图方法步骤和教师在黑板上尺规作图基本相同，能快速、准确、便捷地在屏幕上完成尺规作图，且图形可变大小可移动且保持几何性质和图形间的关系，同时，可以在图形上轻松地测算出图形对象的相应数值(如点的坐标、线段的长度、圆的方程、直线的方程以及函数表达式等),并能把数和形的隐性关系及其变化规律动态地显现出来，呈现形与数的同步化和几何图形的动态化，更形象生动的展示数学知识的产生过程，无论在学习还是教学中都会起到事半功倍的效果，构建以学习者为中心的生态课堂，拓展学生对知识认知水平,让学生对自己学习的知识脉络和所处层次有更清楚的了解,让学习深度发生。案例3：函数y=Asin（ωx+φ）的图象及变换选自人教版普通高中数学必修第一册《三角函数》，函数y=Asin（ωx+φ）图象及变换，图像变换，如何变，如何换？若采用传统的黑板，作图量大，耗时耗力，因而专门设计了一节数学探究实验。实验材料：几何画板教学课件，学生学习课件，计算机教室。实验步骤：（1）分组，各组设计方案。设置恰当的实验探究起点，由于函数y=Asin(ωx+φ)，（A>0、ω>0）受到三个参数A、ω、φ的影响，将问题分解为各个参数对函数图像的影响，使复杂问题简单化。（2）学生确立实验探究方向，小组合作探究，教师有必要技术支持和图像变换指导。（3）动手操作计算机，观察，分析参数A、ω、φ对函数图像的影响。（4）小组讨论、归纳形成实验报告，小组派代表进行展示，营造浓厚的实验探究氛围（5）迁移与应用，能否推广到一般函数如y=Af(ωx+φ)的图像变换。【设计意图】：当函数图像变换遇见几何画板软件，深度的学习从遇见到预见，学生动手操作，运用计算机中几何画板软件探究函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，借助其强大的作图和分析功能，操作改变三个参数A、ω、φ进行数学实验，观察各个参数对图象的影响，独立探究，动脑分析,小组合作，把图形的直观感受与已知的经验相互转化，培养学生探究和解决实际问题的能力，充分体现数学源于实践,源于生活；充分体现“以学生发展为本”的新课标要求。在教学中，当完成函数图像