2022年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1-8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定的位置.1．（3分）﹣的绝对值是（）A． B．﹣3 C．3 D．2．（3分）如图长方体的展开图，不可能是（）A． B． C． D．3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A． B． C． D．4．（3分）在显微镜下，一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.000000083m这个数据用科学记数法表示为（）A．0.83×10﹣7m B．8.3×10﹣7m C．8.3×10﹣8m D．83×10﹣9m5．（3分）某校篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄（岁）1415161718人数24321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）A．16，15 B．15，15.5 C．15，16.5 D．15，156．（3分）如图，△ABO的顶点坐标A（3，5）、B（5，3）、O（0，0），若△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移2个单位，得到△A'B'O'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣3，3） B．（﹣5，3） C．（3，5） D．（1，5）7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交8．（3分）已知，一次函数y1＝kx+m（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自变量与对应的函数值如表：x…﹣0234…y1…1345…y2…﹣2﹣2414…当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（）A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在答题纸规定的位置.9．（3分）计算：＝．10．（3分）在一个不透明的口袋中装有10个白球和m个红球，它们除颜色外完全相同．若从中随机摸出一球；摸到红球的概率为，则m的值为．11．（3分）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝cm．12．（3分）某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元．第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元．每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元？若设签字笔x元/支，笔袋y元/个，则根据题意可列方程组为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，点P是线段AC上的动点，点Q是线段AB上的动点，则CQ+PQ的最小值是．14．（3分）如图，OA＝6cm，OD＝AD＝7cm，P是OA上一动点（点P不与O、A重合），过点P作PB∥AD，PC∥OD，交OD于点B，交AD于点C，M是OP中点，N是PA中点，连接BM、CN，下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．①△OBP是等腰三角形；②CN⊥PA；③四边形BPCD是平行四边形，周长是14cm；④动点P无论移动到OA上哪一点（P不与O、A重合），BM+CN的值为固定值是2cm．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．（4分）已知：线段a，直线l及外一点A．求作：菱形ABCD，使顶点A、C在直线l两侧，对角线BD在直线l上，且BD＝a．四、解答题（本题共有9道小题，满分74分）16．（8分）计算（1）化简：（2）解不等式组，并写出它的整数解．17．（6分）2022年冬奥运会、冬残奥会不久前在北京落下帷幕，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深得大家喜爱．在一次活动中，奖品为一个“冰墩墩”的玩偶，小颖和小亮都想获得该奖品，组织者想到北京冬奥会2月4日开始，2月20日结束，冬残奥会3月4日开始，3月13日结束．组织者设计了一个游戏：准备A、B两组除正面数字不同其余都相同的纸牌，每组三张，A组牌正面数字分别是2，4，20．B组牌正面数字分别是3，4，13．将纸牌背面朝上，充分洗匀后，小颖从A组纸牌中摸出一张，小亮从B组纸牌中摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的正面数字差的绝对值小于9，则小颖胜，否则小亮胜，获胜者即可获得“冰墩墩”的玩偶．（1）请你用列表法或画树状图求出小颖胜的概率（2）这个游戏公平吗？请说明理由．18．（6分）某校九年级的800名学生参加兴趣社团活动；现有以下5个兴趣社团：A．篮球社团，B．书香社团，C．舞蹈社团，D．编程社团，E．合唱社团，要求：每位学生都从中选择一个社团参加，为了了解同学们选择这个5个社团的情况，现随机对九年级中的部分同学选择的兴趣社团进行了调查，收集、整理、统计、描述数据：选择各兴趣社团的人数统计表兴趣社团人数A．篮球社团10B．书香社团8C．舞蹈社团aD．编程社团4E．合唱社团6根据以上信息：（1）请补全统计表和统计图a＝，B＝°．（2）扇形统计图中D（编程社团）部分对应的圆心角是°；（3）根据样本数据估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有多少人？19．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）（参考数值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）20．（8分）2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？21．（8分）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E为AB中点，过点A作AF∥BD，交DE延长线于点F．（1）求证：AF＝BD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请证明你的结论．22．（10分）2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元．（1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式；（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？23．（10分）【问题提出】计算12+22+32+…+n2（其中n是正整数）．【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究．图1中：第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2＝2×2，即22；第3行三个圆圈中数的和为3+3+3＝3×3，即32；…第n行n个圆圈中数的和为，即n2．所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手：探究一：计算12+22．将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4．观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5×（1+2）．则图2中所有数字之和为，所以得到等式12+22＝×5×（1+2）．探究二：计算12+22+32．仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8．观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是（如图9），而图9共有个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为．那么图6中所有数字之和为，所以得到等式12+22+32＝．（仿照上述方法，写出探究得出的式子）探究三：计算12+22+32+42+55+62+72+82+92+102＝．（仿照上述方法，直接写出结果）【问题解决】12+22+32+…+n2＝．（仿照上述方法，直接写出探究得出的式子，用含n的代数式表示）【拓广应用】计算：262+272+282+…+502＝．（直接写出结果）24．（12分）已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm．延长BC至点E，使CE＝BC，连接ED．点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm/s，过点F作FG⊥ED垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm/s，过点H作HP∥AB，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动．设运动时间为t（0＜t≤3），解答下列问题：（1）求证：∠BDE＝90°；（2）是否存在某一时刻t，使G点在ED的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．（3）设六边形PCGFDH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）连接HG，是否存在某一时刻t，使HG∥AC？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

2022年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1-8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定的位置.1．（3分）﹣的绝对值是（）A． B．﹣3 C．3 D．【解答】解：因为|﹣|＝故选：A．2．（3分）如图长方体的展开图，不可能是（）A． B． C． D．【解答】解：根据长方体的展开图可知，其表面展开图不正确的是D．故选：D．3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．4．（3分）在显微镜下，一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.000000083m这个数据用科学记数法表示为（）A．0.83×10﹣7m B．8.3×10﹣7m C．8.3×10﹣8m D．83×10﹣9m【解答】解：0.000000083m＝8.3×10﹣8m．故选：C．5．（3分）某校篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄（岁）1415161718人数24321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）A．16，15 B．15，15.5 C．15，16.5 D．15，15【解答】解：这组数据的众数为15，中位数为第6、7个数据的平均数，即＝15.5，故选：B．6．（3分）如图，△ABO的顶点坐标A（3，5）、B（5，3）、O（0，0），若△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移2个单位，得到△A'B'O'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣3，3） B．（﹣5，3） C．（3，5） D．（1，5）【解答】解：如图，△A'B'O'即为所求．点A的对应点A'的坐标是（﹣3，3）．故选：A．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∴∠B+∠DCB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵sinB＝sin∠ACD＝＝＝，∴AD＝4cm，∴CD＝cm，∵r＝2cm，∴CD＞r，故以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相离．故选：A．8．（3分）已知，一次函数y1＝kx+m（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自变量与对应的函数值如表：x…﹣0234…y1…1345…y2…﹣2﹣2414…当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（）A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．【解答】解：由表格可得直线y1＝kx+m的y随x增大而正大，抛物线y2＝ax2+bx+c的y先随x增大而减小，再随x增大而增大，∴抛物线开口向上，∵两函数都经过（﹣，），（3，4），∴当﹣＜x＜3时，y1＞y2．故选：D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在答题纸规定的位置.9．（3分）计算：＝﹣．【解答】解：原式＝＝＝﹣．故答案为：﹣．10．（3分）在一个不透明的口袋中装有10个白球和m个红球，它们除颜色外完全相同．若从中随机摸出一球；摸到红球的概率为，则m的值为15．【解答】解：根据题意得：＝，解得m＝15．经检验，m＝15是原分式方程的解．故答案为：15．11．（3分）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝cm．【解答】解：∵∠D＝45°，∴∠A＝45°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝＝（cm）．故答案为：．12．（3分）某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元．第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元．每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元？若设签字笔x元/支，笔袋y元/个，则根据题意可列方程组为．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，点P是线段AC上的动点，点Q是线段AB上的动点，则CQ+PQ的最小值是6．【解答】解：作点C关于直线AB的对称点C'．∴QC＝QC'，BC'＝BC，∴QC+QP＝QC'+QP，∴当P、Q、C'在同一直线上且C'P⊥AC时，QC+QP最短，此时QC+QP＝C'P，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AC＝12，sin∠ACB＝，∴，∴AB＝6，∴BC＝6，∴CC'＝6+6＝12，∵sin∠ACB＝，∴，∴C'P＝CC'＝＝6，即CQ+PQ的最小值是6．故答案为：6．14．（3分）如图，OA＝6cm，OD＝AD＝7cm，P是OA上一动点（点P不与O、A重合），过点P作PB∥AD，PC∥OD，交OD于点B，交AD于点C，M是OP中点，N是PA中点，连接BM、CN，下列结论正确的是①②③④．（填写所有正确结论的序号）．①△OBP是等腰三角形；②CN⊥PA；③四边形BPCD是平行四边形，周长是14cm；④动点P无论移动到OA上哪一点（P不与O、A重合），BM+CN的值为固定值是2cm．【解答】解：∵OD＝AD，∴∠O＝∠A，∵PB∥AD，PC∥OD，∴∠BPO＝∠A，∠CPA＝∠O，∴∠BPO＝∠O，∠CPA＝∠A，∴OB＝PB，PC＝AC，∴△OBP是等腰三角形，故①正确；△PAC是等腰三角形，∵N是PA中点，∴CN⊥PA，故②正确；∵PB∥AD，PC∥OD，∴四边形BPCD是平行四边形，∴BP＝DC，CP＝DB，∵OD＝AD＝7cm，∴OB+BD＝OD＝7cm，AC+CD＝AD＝7cm，∴OB+BD+AC+CD＝7+7＝14cm，即四边形BPCD是平行四边形，周长是14cm，故③正确；过点D作DE⊥OA于E，此时点P恰好与点E重合，∵DE⊥OA，BM⊥OA，∴，∵DE⊥OA，CN⊥OA，∴，∵OD＝AD＝7cm，OA＝6cm，∴OE＝AE＝OA＝3cm，∴DE＝＝＝2，∴＝，∴BM＝，∴＝，∴CN＝，∴BM+CN＝＝2，故④正确．综上所述，正确的是①②③④．故答案为：①②③④．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．（4分）已知：线段a，直线l及外一点A．求作：菱形ABCD，使顶点A、C在直线l两侧，对角线BD在直线l上，且BD＝a．【解答】解：如图，菱形ABCD即为所求．四、解答题（本题共有9道小题，满分74分）16．（8分）计算（1）化简：（2）解不等式组，并写出它的整数解．【解答】解：（1）＝+＝+1＝＝；（2），解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x＞﹣，故原不等式组的解集是﹣＜x＜3，∴该不等式组的整数解是0，1，2．17．（6分）2022年冬奥运会、冬残奥会不久前在北京落下帷幕，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深得大家喜爱．在一次活动中，奖品为一个“冰墩墩”的玩偶，小颖和小亮都想获得该奖品，组织者想到北京冬奥会2月4日开始，2月20日结束，冬残奥会3月4日开始，3月13日结束．组织者设计了一个游戏：准备A、B两组除正面数字不同其余都相同的纸牌，每组三张，A组牌正面数字分别是2，4，20．B组牌正面数字分别是3，4，13．将纸牌背面朝上，充分洗匀后，小颖从A组纸牌中摸出一张，小亮从B组纸牌中摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的正面数字差的绝对值小于9，则小颖胜，否则小亮胜，获胜者即可获得“冰墩墩”的玩偶．（1）请你用列表法或画树状图求出小颖胜的概率（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【解答】解：（1）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中摸出的两张纸牌的正面数字差的绝对值小于9的结果有5种，∴小颖胜的概率为；（2）这个游戏不公平，理由如下：由（1）可知，共有9种等可能的结果，小颖胜的概率为，小亮胜的结果有4种，∴小亮胜的概率为，∵＜，∴这个游戏不公平．18．（6分）某校九年级的800名学生参加兴趣社团活动；现有以下5个兴趣社团：A．篮球社团，B．书香社团，C．舞蹈社团，D．编程社团，E．合唱社团，要求：每位学生都从中选择一个社团参加，为了了解同学们选择这个5个社团的情况，现随机对九年级中的部分同学选择的兴趣社团进行了调查，收集、整理、统计、描述数据：选择各兴趣社团的人数统计表兴趣社团人数A．篮球社团10B．书香社团8C．舞蹈社团aD．编程社团4E．合唱社团6根据以上信息：（1）请补全统计表和统计图a＝12，B＝72°．（2）扇形统计图中D（编程社团）部分对应的圆心角是36°；（3）根据样本数据估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有多少人？【解答】解：（1）调查的总人数有：10÷25%＝40（人），则a＝40﹣10﹣8﹣4﹣6＝12，B所占的百分比是：×100%＝20%，即B＝360°×20%＝72°；故答案为：12，72；（2）扇形统计图中D（编程社团）部分对应的圆心角是：360°×10%＝36°；故答案为：36；（3）根据题意得：800×＝320（人），答：估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有320人．19．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）（参考数值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，则∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，∴四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝200米，AF＝BE，设CD＝x米，在Rt△CDE中，DE＝CD•cos37°≈x（米），CE＝CD•sin37°≈x（米），∴DF＝DE﹣EF＝（x﹣200）米，∵BC＝500米，∴AF＝BE＝AB﹣CE＝（500﹣x）米，在Rt△ADF中，tan73°＝≈，∴AF＝DF，∴500﹣x＝×（x﹣200），解得：x≈357，∴中餐台C到就餐区D（即CD）的距离为357米．20．（8分）2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？【解答】解：（1）设打折前每个A品牌N95口翠的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口翠的售价是0.8x元，依题意得：﹣＝100，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．答：打折前每个A品牌N95口翠的售价是6元．（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，依题意得：w＝6×0.8m+7×0.8（800﹣m）＝﹣0.8m+4480，∵﹣0.8＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m≤800×＝400，∴当m＝400时，w取得最小值，最小值＝﹣0.8×400+4480＝4160．∵4160＞2400，且4160﹣2400＝1760（元），∴该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1760元钱．21．（8分）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E为AB中点，过点A作AF∥BD，交DE延长线于点F．（1）求证：AF＝BD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵AF∥BD，∴∠FAE＝∠DBE，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA），∴AF＝BD；（2）解：当△ABC满足AB＝CB时，四边形AFBD是矩形，理由如下：由（1）可知，AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝CB，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．22．（10分）2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元．（1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式；（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？【解答】解：（1）设日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y＝kx+b，∵点（40，180），点（60，120）在该函数图象上，∴，解得，∵物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，∴30≤x≤30+30×90%，∴30≤x≤57，即日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y＝﹣3x+300（30≤x≤57）；（2）由题意可得，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）﹣850＝﹣3x2+390x﹣9850，即该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式是W＝﹣3x2+390x﹣9850；（3）由（2）知：W＝﹣3x2+390x﹣9850＝﹣3（x﹣65）2+2875，∴该函数的图象开口向下，对称轴为x＝65，∵30≤x≤57，∴当x＝57时，W取得最大值，此时W＝2633，答：当销售单价为57元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为2633元．23．（10分）【问题提出】计算12+22+32+…+n2（其中n是正整数）．【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究．图1中：第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2＝2×2，即22；第3行三个圆圈中数的和为3+3+3＝3×3，即32；…第n行n个圆圈中数的和为，即n2．所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手：探究一：计算12+22．将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4．观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5×（1+2）．则图2中所有数字之和为，所以得到等式12+22＝×5×（1+2）．探究二：计算12+22+32．仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8．观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是7（如图9），而图9共有6个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为42．那么图6中所有数字之和为14，所以得到等式12+22+32＝14．（仿照上述方法，写出探究得出的式子）探究三：计算12+22+32+42+55+62+72+82+92+102＝385．（仿照上述方法，直接写出结果）【问题解决】12+22+32+…+n2＝．（仿照上述方法，直接写出探究得出的式子，用含n的代数式表示）【拓广应用】计算：262+272+282+…+502＝37400．（直接写出结果）【解答】解：探究二：将图6按逆时针方