【研究生应用数学基础】3.度量空间

第一章集合上的数学结构

3.度量空间1整理ppt3.度量空间一、度量空间的定义和例度量空间的定义;lp空间,C[a,b]空间二、度量空间的拓扑结构度量拓扑、开集、闭集、闭包、稠密三、连续映射一致连续、Lipschitz连续、序列收敛四、完备性2整理ppt

一、度量空间的定义和例定义3.1设V是一非空集合,其中元素称为点,:V×VR是非负泛函,满足:(1)

x,yV,(x,y)≥0;(x,y)=0x=y(x,yV).(2)(x,y)=(y,x)(x,yV).(3)(x,z)≤(x,y)+(y,z)(x,y,zV).则称是V上的距离函数或度量,{V,}称为度量空间.3整理ppt设{V,}是度量空间,AV.点x到A的距离以(x,A)表示,定义为

(x,A)=Inf{(x,y)|yA}.V的子集A的直径dia(A)定义为当A=

时,dia(A)=0;

当A时,dia(A)=Sup{(x,y)|x,yA}.V中子集A称为有界集,如果存在常数M>0,使

dia(A)<M.设SV,|S:S×SR是在S上的限制,它仍满足度量三公理,因而{S,|S}是度量量空间,称之为V的子度量空间.4整理ppt例3.1

x,yR,x与y的距离定义为

(x,y)=|x-y|,它满足度量三条公理.实际上,(1)x,yR,(x,y)=|x-y|≥0;(x,y)=|x-y|=0x=y.(2)x,yR,(x,y)=|x-y|=|y-x|=(y,x).(3)x,y,zR,(x,z)=|x-z|≤|x-y|+|y-z|=(x,y)+(y,z).例3.2设V是R上线性空间,在V上定义内积

(,):VVR,满足:5整理ppt(1)

xV,(x,x)≥0;(x,x)=0x=.(2)x,yV,(x,y)=(y,x).(3)kR,x,yV,(kx,y)=k(x,y).(4)x,y,zV.(x+y,z)=(x,z)+(y,z).则称V是欧氏空间。xV的长度定义为‖x‖=x,y∈V两点间的距离定义为d(x,y)=‖x-y‖=可以证明：d满足度量三公理，从而{V,d}是度量空间。6整理ppt首先证明:

x,yV,有Cauchy不等式

|(x,y)|≤‖x‖‖y‖.当y=时,上式显然成立.设y,t为实数,置

z=x+ty则不论tR取何值,都有

(x+ty,x+ty)≥0,即(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0.特别取则有7整理ppt由于

(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)≤(x,x)+2‖x‖‖y‖+(y,y)=(‖x‖+‖y‖)2从而有

‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.设

=x-y,=y-z(x,y,zV),则有

‖+‖≤‖‖+‖‖即

‖x-z‖≤‖x-y‖+‖y-z‖从而有

d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)8整理ppt例3.3

实数域R上的n维向量空间

Rn={(x1,x2,,xn)T|xiR,1≤i≤n},取x=(x1,x2,,xn)T,y=(y1,y2,,yn)TRnx与y的内积为

(x,y)=yTx=x1y1+x2y2++xnyn度量为此外，在Rn上还可以定义其它度量，例如

9整理ppt显然它们都满足度量公理(1)和(2).只要验证公理（3）。而=d1(x,y)+d1(y,z).由于因此10整理ppt即d

(x,z)≤d

(x,y)+d

(y,z).例3.4C[a,b]是R上的线性空间。f,gC[a,b]，f与g的内积定义为则C[a,b]是欧氏空间，其度量为例3.5考虑lp空间(1≤p<)。11整理pptx=(x1,x2,),y=(y1,y2,)lp，它们之间距离为显然它满足度量公理（1）和（2）。下面将证明，它也满足度量公理（3），从而{lp,}是度量空间。设p,qR(1<p<),先证Hölder不等式：这里，(x1,x2,,xn)T,(y1,y2,,yn)TRn.12整理ppt先证不等式考虑0<<1,则函数（x)=x

–x(0<x<)的导数为

′（x)=(x1–1)它在0<x<1为正，在x>1为负。因此，(x)在x=1取最大值。13整理ppt所以（x)(1)=1–(0<x<)于是，xR+，有x

≤x+(1)下面证明Hölder不等式。14整理ppt取则有于是有15整理ppt即得Hölder不等式由Hölder不等式可推出Minkowski不等式：若1≤p<,有实际上(|xi|+|yi|)p=(|xi|+|yi|)p-1(|xi|+|yi|)=(|xi|+|yi|)p-1|xi|+(|xi|+|yi|)p-1|yi|16整理ppt令zi=(|xi|+|yi|)p-1,并运用Hölder不等式，得到于是17整理ppt由此即得Minkowski不等式18整理ppt由此得三角不等式：设

I=xi-zi,=zi-yi,得让n,得到(x,y)≤(x,z)+(z,y)(x,y,zlp)。

由上例可知，Rn上定义度量则{Rn,}是度量空间。19整理ppt例3.6

f,gC[a,b],定义度量：它满足度量三公理，从而{C[a,b],d}是度量空间。20整理ppt定义3.2设{xn}是度量空间{V，d}中序列，若存在x∈V,如果>0,自然数N,当n>N时有d(xn,x)<则称序列{xn}收敛于x,记作21整理ppt定理3.1设{xn}是度量空间{V，d}中收敛于x序列，则（1）{xn}是有界的；（2）{xn}的极限是唯一的。证明:(1)已知取=1，则存在自然数N，当n>N时有

(xn,x)<1令M=1+max{(x1,x),,(xN,x),1},则对一切n∈N,有22整理ppt设由于所以，23整理ppt二、度量空间拓扑结构度量空间中开球的定义度量空间中集合的内点、内部等概念度量空间中开集、闭集、极限点、导集闭包等概念度量空间中闭集的充要条件度量空间中开集的特征；闭集的特征度量空间中序列收敛的条件24整理ppt定义3.2

设{V，}是度量空间，xV,rR+.集合Br(x)={yV|(x,y)<r}称为V中以x为中心r为半径的开球，它称为x点的一个邻域。子集AV，a∈A,如果存在a的一个邻域Br(a)A,则称a为集合A的内点，A的内点的集合记作Å，称为A的内部。二、度量空间拓扑结构25整理ppt设AV，如果A=Å，则称A为开集。集合FV称为闭集，如果V-F是开集。显然，AV是开集～A=V-A是闭集。例3.8空集是度量空间V中开集,V是V中开集.这是显然的.例3.9度量空间V是开球Br(x)是开集；闭球

实际上，26整理pptB=[a,b)的闭包是证明：）设A是闭集。要证：考虑xA’。来证：xA.若不然，xA.则xV-A,由于V-A是开集，27整理ppt只要证：V-A是开集。xV-A，则xA.所以x不是A的极限点。于是，存在x的一个邻域U（x,),它不包含A的点，即U（x,)V-A.于是x是V-A的内点，从而V-A是开集。最后，A是闭集。所以存在x的一个邻域U（x,）V-A。即U（x,)中不包含A的点，与xA’矛盾。28整理ppt定理3.1设（V，）是度量空间，A,BV,则有当U(x,)包含异于x的A中之点时,命题成立;当U(x,)包含A的极限点a时,可取a的邻域U(a,)U(x,).U(a,)中必包含有异于x的中之点.从而,U(x,)必包含有异于x的A中之点.29整理ppt因此,x是A的极限点,当x(AB)′时,则x不是A的极限点,就是B的极限点.若不对,即x既不是A的极限点,也不是B的极限点,于是,有x的邻域U(x,),它不包含A的点,又有x的邻域U(x,)U(x,),它既不包含A的点,也不包含B的点,这与x是AB的极限点矛盾.30整理ppt当xA′时,x的任一邻域U(x,)必包含A中异于x的点.由于AB,因此,U(x,)中必包含B中异于x的点.因而,xB′.31整理ppt定理3.2设（V，）是度量空间(1),V是V中开集;(2)V中任意两个开集之交仍是V中开集;(3)V中任意多个开集之并仍是开集.证明:(1)例3.7。(2)任取V中两个开集U和V.当U∩V=

时,由(1),U∩V是开集.当U∩V时,xUV,则xU且xV.于是有x的邻域U(x,1)U及U(x,2)V.取=min{1,2},则U(x,)UV.这表明UV是开集.(3)设U

(I)是一族开集.32整理ppt定理3.3设（V，）是度量空间(1)和V是V中闭集;(2)V任意两个闭集之并仍是闭集;(3)V中任意多个闭集之交仍是闭集.证明:只要注意到:(1)V-V=,V-=V;(2)任取V中闭集U和V,33整理ppt定理3.4设{V,}是度量空间,V中序列{xn}收敛到xV对于x的任上邻域B

(x),存在自然数N,当n>N时xn∈B

(x).证明:)>0,B

(x)={yV|(x,y)<}是V中邻域.于是存在自然数N，当n>N时有，xn∈B

(x),即(xn,x)<.所以)显然.34整理ppt定理3.5设{V,}是度量空间.集合AV是闭集

A中每个在V中收敛的序列{xn}其极限xV

必在A中。证明：）设A是闭集，{xn}A,则x是A的极限点，所以xA。）设x是A的极限点，则有{xn}A,则xA,所以A是闭集。35整理ppt定理3.6设(V,)是度量空间,AV.证明:)设)显然.36整理ppt

三、连续映射定义3.3设{X,d}和{Y,}是两个度量空间.映射F:XY在x0∈X处连续，如果>0,存在=(x0,)>0,使当d(x,x0)<时有(F(x),F(x0))<(xX).如果F在X的每一点连续，则称F在X上连续。映射F在点x0∈X处连续当且仅当>0,存在=(x0,)>0,使F（B

(x0))B

(F(x0)).定理3.6设(V,)是度量空间，A,BV.f:AB是映射.则下列命题相互等价：37整理ppt(1)f:AB连续.(2)开集OB,f-1(O)是A中开集.(3)闭集FB,f-1(F)是A中闭集.证明：（1）（2）任取开集OB，xf–1(O),f(x)O,所以有f(x)的邻域U（f(x),)O,于是f–1(O)包含x的一个邻域U（x,)f–1(O),即x是f–1(O)的内点，从而f–1(O)是开集。38整理ppt（2）（3）设FB是任一闭集，B–F=BF′是B中开集，则f–1(B–F)是A中开集。而f–1(F)=f–1(B–(B–F))=f–1(B)–f–1(B–F)所以，f–1(F)是闭集（A作为R的子拓扑空间为开集）。（3）（1）x∈X,>0,B

(F(x))是Y中开集，从而Y-B

(F(x))是Y中闭集。因此，39整理ppt定义3.7设(X,d),(Y,)是度量空间，映射f:XY称为在X上一致连续,如果>0,>0,只与有关,当|x-y|<(x,yX)时,有|f(x)-f(y)|<.映射F：X→Y称为在X上Lipschitz连续的，如果存在C>0,使Lipschitz连续的映射必一致连续.40整理ppt例3.8设X=Rn,Y=Rm都是欧氏空间,因而是度量空间,欧氏度量为其中x=(x1,x2,,xn)T,y=(y1,y2,,yn)TRn

u=(u1,u2,,um)T,v=(v1,v2,,vm)TRm.41整理ppt映射F:XY为它是Lipschitz连续的.这里,FijR(1≤i≤m,1≤j≤n).此映射的分量表达式为若取x0X,v0=F(x0),则42整理ppt于是有

(v,v0)≤Cd(x,x0)这里因此F是Lipschitz连续的.43整理ppt定理3.4

设{X,d}和{Y,}是度量空间,F:XY是映射.则F在X上连续对于X中任一收敛序列{xn},有

证明:)设F在X上连续，xn→x(n→∞),任取Y中开集B，F(x)∈B,所以，x∈F-1(B),于是存在自然数N，当n>N时，xn∈F-1(B),F(xn)∈B,因此44整理ppt)对于X中任一收敛序列{xn},设要证:F在X上连续.若不对,即F在x*不连续,则存在

0>0.>0,存在xX,使d(x,x*)<,而(F(x),F(x*)≥0.45整理ppt特别取

1=1,得x1X,使d(x1,x*)<1,(F(x1),F(x*))≥0;

46整理ppt即得矛盾.47整理ppt

四、完备性

定义4.1设{V,}是度量空间,V中序列{xn}称为Cauchy列(或基本列),如果

>0,存在自然数N,当m,n>N时有

(xm,xn)<.显然,V中收敛序列{xn}必为Cauchy列.实际上,设48整理ppt则>0,存在自然数N,当m,n>N时有于是(xm,xn)≤(xm,x)+

(xn,x)<

我们知道,R中Cauchy列一定收敛.但在度量空间中这一结论一般不成立.例如,X={xR|0<x≤1},d(x,y)=|x–y|,是Cauchy列,但如果度量空间{V,}中每一Cauchy列均在V中收敛,则称V是完备的,称为完备度量.49整理ppt例3.9（1）度量空间(V,)中Cauchy列{xn}必有界；（2）若{xn}是度量空间(V,)中Cauchy列，且存在收敛子列证明:(1)设{xn}V为Cauchy列，取=1,存在自然数n0,使当m,n>n0时有(xm,xn)<1,则有(xm,xn)≤M+1(m,n=1,2,…)50整理ppt(2)由于{xn}为Cauchy列，所以取n2=max{n0,n1},当n,nk>n2时有

51整理ppt例3.10R是完备的.证明：先证：任何实数列{xn}必有单调子列。记Ep={xp,xp+1,…}(p=1,2,…)当每个集合Ep都有最大值时，选取当存在某个Ep={xp,xp+1,…}无最大值时，则对任意n1>p,52整理ppt于是{xp+1,xp+2,…}中必有大于xp的，取为得到再证：R中的任何Ccauchy列{xn}是收敛的。由于{xn}是有界的，所以{xn}有一个单调有界的子列从而，{xn}收敛。53整理ppt例3.11lp(1≤p<∞)是完备的。证明：任取lp中一Cauchy列{xn},设xn=(

1(n),2(n),,

I(n),)lp则>0,存在自然数N,当m,n>N时有于是当m,n>N时有|

i(m)

i(n)|<(i=1,2,)因此,对每个i(i=1,2,),{

i(1),i(2),,

i(n),}中R中Cauchy列.54整理ppt从而因此让k,对n>N,有这里x*=(

1,2,)lp.实际上,取=1,存在自然数N,当n>N时有(xn,x*)<155整理ppt而因此.lp是完备的.由此可见,Rn是完备的.例4.2{C[a,b],d}是完备的,其中实际上.任取Cauchy列{fn(x)}C[a,b],56整理ppt>0,存在自然数N,当n>N时有|fn(x)–fn(x)|≤d(fn,fm)<(x[a,b])于是,对每一个固定x[a,b]fn(x)f(x)(n),而{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x),所以,f(x)C[a,b].从而,C[a,b]是完备的.下面讨论度量空间的几个完备性定理.定理4.1完备度量空间{V,}完备A是闭集.57整理ppt对于每一个开球即(a,yn)<{yn}是A中Cauchy列由于A是完备的，所以aA,即A是闭集。）设A是闭集。任取A中Cauchy列{yn},由于{yn}V,且是完备，所以，但y*是怕极限点，而A是闭集，所以，y*A,从而，A是完备的。证明:)设A是完备的。任取aA′.58整理ppt)类似.不完备的度量空间是否可在某种意义下成为完备的度量空间?这不仅是必要的而且是可能的.定义4.2度量空间{X,d}称为可完备化的,如果存在度量空间{X*,d*},满足:(1)存在{X*,d*}的子度量空间{Z,d*},它在X*中稠密,且Z与X是等度的;(2)X*是完备的.称X*是X的完备化空间.59整理ppt可以证明:每一个度量空间都可完备化.(二)压缩映射与不动点原理定义4.3设{X,d}是度量空间,映射F:XY称为压缩映射,如果存在常数k,满足0≤k<1,使

x,yX,有d(F(x),F(y))≤kd(x,y).其中k称为压缩系数.显然,压缩映射必是Lipschitz的,从而是致连续的.定义4.4设X是拓扑空间,xX称为映射F:XY60整理ppt的不动点,如果x=F(x).显然,线性变换F:RnRn有不动点零向量,这是因