八年级数学上册知识讲解及巩固练习：《等腰三角形的判定定理》 知识讲解 提高

PAGE等腰三角形的判定定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1.理解等腰三角形的判定方法及其证明过程.2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.3.了解命题与逆命题、定理与逆定理、互逆定理以及它们之间的关系.4.线段垂直平分线定理的逆定理及其运用.【要点梳理】要点一、等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题(originalstatement)，那么另一个命题叫做它的逆命题(conversestatement)．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理(conversetheorem)，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明(1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．(2)当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．【典型例题】类型一、等腰三角形的判定定理 1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．【思路点拨】首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC=90°，∠CAD+∠ACD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD=∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案.【答案与解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形．【总结升华】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，解题的关键是根据条件理清角之间的关系，得出∠CFE=∠CEF．2、如图，已知∠AOB=x（0°＜x＜180°），OC平分∠AOB，点N为OB上一个定点．通过画图可以知道：当∠AOB=45°时，在射线OC上存在点P，使△ONP成为等腰三角形，且符合条件的点有三个，即P1（顶点为P2），P2（顶点为0）P3（顶点为N）.试问：当∠AOB分别为锐角、直角、钝角时，在射线OC上使△ONP成为等腰三角形的点P是否仍然存在三个？请分别画出简图并加以说明．【思路点拨】当∠AOB为锐角时，当∠AOB=90°，时，当∠AOB为不等于120°的钝角时，根据等腰三角形的判定，分为三种情况：ON=DN，OE=ON，ON=NF，画出即可；当∠AOB为120°的钝角时，这样的点只有一个．【答案与解析】解：当∠AOB为锐角时，这样的点有三个：，如图1：

当∠AOB=90°时，这样的点有三个，如图2：

当∠AOB为不等于120°的钝角时，这样的点有三个，如图3：

当∠AOB为120°的钝角时，这样的点只有一个，如图4：

∵在射线OC上找一点P，使△ONP为等腰三角形，

∵∠PON=60°，此时△ONP必为等边三角形，

∴这样的点只有一个；

综合上述：当∠AOB≠120°时，这样的点都有三个；当∠AOB=120°时，这样的点只有一个．

【总结升华】本题考查了作图，等腰三角形的判定的应用，主要考查了作图能力，题目较好，但是一道比较容易出错的题目，注意要分类讨论．举一反三【变式】如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．3、（2016秋•孟津县期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【思路点拨】（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD=CD，又由∠ADB=60°，△ABC是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论；（2）首先在DB上截取DE=AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论．【答案与解析】证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∠ADB=∠CDB=60°，∴∠DAC=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，∴∠ABD=90°﹣∠ADB=30°，∴BD=2AD=AD+CD；（2）成立．理由：在DB上截取DE=AD，∵∠ADB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠EAD=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD，∴BD=DE+BE=AD+CD．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三【变式】求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．已知：BD、CE是△ABC的两条中线（如图），BD=CE

求证：AB=AC．【答案】证明：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，根据平移的特征，

∴DF=EC，

而EC=BD，

∴BD=DF．∴∠DBF=∠DFB,∠DFB=∠ECB,∴∠DBF=∠DFB=∠ECB，在△ECB与△DBC中，

，∴△ECB≌△DBC（SAS），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．类型二、命题与逆命题，定理与逆定理4、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．（1）写出逆命题；（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．【思路点拨】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；（2）判断逆命题是真命题，画出图形判断即可．【答案与解析】解：（1）逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．（2）真命题．

已知：一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等，

求证：这个三角形ABC是等腰三角形．

证明：∵BD、CE是△ABC的高，

∴CE⊥AB，BD⊥AD，

∵∠A=∠A，

∵BD=CE，

∴Rt△ADB≌Rt△AEC，

∴AB=AC，

∴三角形ABC是等腰三角形．【总结升华】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．类型三、线段垂直平分线定理的逆定理5、课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．

实验与论证：

设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示：θ3=__________，θ4=_________，θ5=_______；

（2）图1-图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；

归纳与猜想：

设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜°）；

（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；

（2）存在，如在图1中直线A0H垂直且平分的线段A2B1，△A0A1A2≌△A0B1B2，推得A2H=B1H，则点H在线段A2B1的垂直平分线上；由A0A2=A0B1，则点A0在线段A2B1的垂直平分线上，从而得出直线A0H垂直且平分的线段A2B1

（3）当n为奇数时，θn=-α；

当n为偶数时，θn=α

（4）多写几个总结规律：

当n为奇数时，直线A0H垂直平分，

当n为偶数时，直线A0H垂直平分.【答案与解析】解：（1）60°-α，α，36°-α（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：

选图1，图中有直线A0H垂直平分A2B1，证明如下：

方法一：

证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形

∴A0A2=A0B1

∴∠A0A2B1=∠A0B1A2

又∠A0A2H=∠A0B1H=60°

∴∠HA2B1=∠HB1A2

∴A2H=B1H，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上

又∵A0A2=A0B1，∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上

∴直线A0H垂直平分A2B1

方法二：

证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形

∴A0A2=A0B2

∴∠A0A2B1=∠A0B1A2

又∠A0A2H=∠A0B1H=60°

∴∠HA2B1=∠HB1A2

∴A2H=B1H，

在△A0A2H与△A0B1H中

∵A0A2=A0B1，

HA2=HB1，∠A0A2H=∠A0B1H

∴△A0A2H≌△A0B1H

∴∠A0A2H=∠B1A2H

∴A0H是等腰三角形A0A2B1的角平分线，

∴直线A0H垂直平分A2B1选图如，图中有直线A0H垂直平分A2B2，证明如下：

∵A0B2=A0A2∴∠A0B2A2=∠A0A2B2

又∵∠A0B2B1=∠A0A2A3

∴∠HB2A2=∠HA2B2

∴HB2=HA2

∴点H在线段A2B2的垂直平分线上

又∵A0B2=A0A2，∴点A0在线段A2B2的垂直平分线上

∴直线A0H垂直平分A2B2

（3）当n为奇数时，θn=-α；

当n为偶数时，θn=α．

（4）存在．

当n为奇数时，直线A0H垂直平分，

当n为偶数时，直线A0H垂直平分.【总结升华】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线