人教版物理必修第二册同步讲练第8章 机械能守恒定律 4 机械能守恒定律 (含解析)

机械能守恒定律核心素养目标物理观念知道能量守恒是自然界的重要规律，知道什么是机械能，理解机械能守恒定律的内容及条件。科学思维领悟从守恒的角度分析问题的方法，会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，并能运用机械能守恒定律解决有关问题。科学态度与责任认识机械能守恒定律对日常生活的影响，体会守恒思想对物理学的推动作用。知识点一追寻守恒量实验装置图事实将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上假设摩擦力及空气阻力可以忽略推论小球在斜面B上速度变为0时，即到达最高点时的高度与它出发时的高度相同追寻不变量上述事例说明存在某个守恒量，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能知识点二动能与势能的相互转化[观图助学]在上面三种情景中儿童、撑竿跳运动员、跳水运动员各有怎样的能量转化？1.重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。2.弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。3.机械能(1)定义：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。(2)机械能的改变：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。[思考判断](1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(√)(2)通过弹力做功，动能和弹性势能可以相互转化。(√)(3)物体的机械能一定是正值。(×)(4)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为其他能。(×)射箭时，弓弦的弹性势能转化为箭的动能。过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下，重力势能转化为动能。知识点三机械能守恒定律1.机械能守恒定律在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。2.表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。3.机械能守恒条件：只有重力或弹力做功。[思考判断](1)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒。(×)(2)做变速运动的物体机械能可能守恒。(√)(3)外力对物体做功为零时，机械能一定守恒。(×)(4)机械能守恒时，物体可能受阻力。(√)(5)物体所受的外力不等于零，其机械能肯定不守恒。(×)(6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(√),(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能的总量总保持不变。(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。核心要点一机械能守恒条件的理解与判断1.研究对象(1)当只有重力做功时，可取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象。(2)当物体之间的弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力)。2.守恒条件理解(1)从能量转化分析，系统内部只发生动能和势能的相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，系统机械能守恒。(2)从做功条件分析，机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。并非“只受重力或弹力作用”。可从以下三种情形理解：①只受重力作用：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。②受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功，例如：物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力对物体不做功。③有系统的内力做功，但是做功代数和为零。系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化。如图所示，拉力对A、对B做功不为零，但代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒。[试题案例][例1](多选)如图所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是()A.图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动B.图乙中运动员在蹦床上越跳越高C.图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)D.图丙中如果小车运动时，木块相对于小车滑动解析弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故选项A正确；运动员越跳越高，表明她不断做功，机械能不守恒，故选项B错误；由于一对静摩擦力做功的代数和为0，系统中只有弹簧弹力做功不为0，机械能守恒，故选项C正确；滑动摩擦力做功的代数和不为0，系统机械能不守恒，故选项D错误。答案AC方法总结判断机械能守恒的方法(1)做功分析法(常用于单个物体)(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)[针对训练1]如图所示，以下实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是()解析人上楼、跳绳都是人体的化学能转化为机械能，故系统机械能不守恒，选项A、B错误；水滴石穿，水滴的机械能转化为内能，故机械能不守恒，选项C错误；箭射出时，实现动能、弹性势能与重力势能的相互转化，系统机械能守恒，选项D正确。答案D[针对训练2](多选)如图所示，一斜面放在光滑的水平面上，一个小物体从斜面顶端无摩擦地自由滑下，则在下滑的过程中()A.斜面对小物体的弹力做的功为零B.小物体的重力势能完全转化为小物体的动能C.小物体的机械能不守恒D.小物体、斜面和地球组成的系统机械能守恒解析小物体、斜面和地球三者组成的系统机械能守恒。斜面对小物体的弹力对其做负功，小物体机械能减少，小物体的重力势能转化为它和斜面的动能。选项C、D正确，A、B错误。答案CD核心要点二机械能守恒定律的应用[问题探究]如图，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力)：研究小球的能量变化(1)小球的重力势能减少了多少？(2)小球的动能增加了多少？(3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？答案(1)重力势能的减少量为ΔEp＝mgh1－mgh2(2)动能增加量为ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)(3)机械能守恒，表达式为mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)(4)由(3)变形可知，mgh1－mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，即小球重力势能减少量等于动能增加量[探究归纳]1.机械能守恒定律的表达形式理解角度表达式物理意义从不同状态看Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末初状态的机械能等于末状态的机械能从转化角度看Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp过程中动能的增加量等于势能的减少量从转移角度看EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能2.三种表达式的比较[试题案例][例2]将质量为m的物体以初速度v0＝10m/s竖直向上抛出，忽略空气阻力，取g＝10m/s2，则：eq\a\vs4\al(满足机械能守恒条件)(1)物体上升的最大高度是多少？(2)上升过程中，何处重力势能与动能相等？(以地面为零势能面)解析(1)物体上升的过程中机械能守恒，则有mghmax＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得hmax＝5m。(2)设物体在h高处，物体的重力势能与动能相等，即mgh＝Ek①又由机械能守恒定律得mgh＋Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)②联立①②式解得h＝eq\f(veq\o\al(2,0),4g)＝eq\f(102,4×10)m＝2.5m。答案(1)5m(2)2.5m高处[拓展]以地面为零势能面，在[例2]中物体在上升过程中，当物体的动能与重力势能相等时，物体的速度多大？解析当动能与势能相等时，则动能为总机械能的eq\f(1,2)，设物体的速度为v，则eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，即v＝eq\f(\r(2),2)v0＝5eq\r(2)m/s。答案5eq\r(2)m/s方法总结用机械能守恒定律解题的基本思路[例3]如图所示，两小球A、B系在跨过定滑轮的细绳两端，小球A的质量mA＝2kg，小球B的质量mB＝1kg，最初用手将A、B托住处于静止，绳上恰没有张力，此时A比B高h＝1.2m。将A、B同时释放，g取10m/s2，求：(1)释放前，以B所在位置的平面为参考平面，A的重力势能；(2)释放后，当A、B到达同一高度时，A、B的速度大小。【解题点拨】解答本题应注意以下两点：(1)根据重力势能的定义式可求得，A的重力势能EpA＝mAgh。(2)释放后，A、B构成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律求解。解析(1)释放前，以B所在位置的平面为参考平面，A的重力势能为EpA＝mAgh可得EpA＝24J。(2)释放后，A、B构成的系统机械能守恒，有mAgeq\f(h,2)－mBgeq\f(h,2)＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2解得v＝2m/s。答案(1)24J(2)2m/s方法总结多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。(2)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。(3)多物体机械能守恒问题的三点注意①正确选取研究对象。②合理选取物理过程。③正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解。[针对训练3]如图所示，质量m＝2kg的小球用长L＝1.05m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6.05m的O点。现将细绳拉至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂(断裂瞬间小球无能量损失)，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：(1)细绳能承受的最大拉力；(2)细绳断裂后小球在空中运动的时间；(3)小球落地前瞬间速度的大小。解析(1)根据机械能守恒定律得mgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，由牛顿第二定律得F－mg＝meq\f(veq\o\al(2,B),L)。故最大拉力F＝3mg＝60N。(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且H－L＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝1s。(3)整个过程，根据机械能守恒定律有mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)，解得vC＝11m/s。答案(1)60N(2)1s(3)11m/s核心要点三非质点类物体的机械能守恒问题1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。[例4]如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的eq\f(1,4)垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度大小为g)()A.eq\r(\f(3,2)gL) B.eq\f(\r(gL),4)C.eq\f(\r(15gL),4) D.4eq\r(gL)解析由机械能守恒定律ΔEp减＝ΔEk增，即eq\f(3,4)mg·eq\f(3,8)L+eq\f(1,4)mg·eq\f(3,4)L＝eq\f(1,2)mv2，所以v＝eq\f(\r(15gL),4)。选项C正确。答案C[针对训练4]如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)()A.eq\r(\f(1,8)gh) B.eq\r(\f(1,6)gh)C.eq\r(\f(1,4)gh) D.eq\r(\f(1,2)gh)解析当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得eq\f(1,8)mg·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(1,8)gh)，选项A正确。答案A1.下列说法正确的是()A.机械能守恒时，物体一定不受阻力B.机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用C.物体做匀速运动时，机械能必守恒D.物体所受的外力不等于零，其机械能也可能守恒解析机械能守恒的条件是只有重力做功或系统内物体间的弹力做功。机械能守恒时，物体或系统可能不只受重力和弹力作用，也可能受其他力，但其他力不做功或做的总功一定为零，选项A、B错误；物体沿斜面匀速下滑时，它处于平衡状态，但机械能不守恒，选项C错误；物体做自由落体运动时，合力不为零，但机械能守恒，选项D正确。答案D2.(多选)如图，物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)()解析物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确。答案CD3.如图所示，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中木块机械能守恒的是()解析依据机械能守恒条件：只有重力(或弹力)做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故选项A、B、D均不符合机械能守恒的条件，故选项C正确。答案C4.在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，如图所示，并将球从球门右上角擦着横梁踢进球门。球门高度为h，足球飞入球门的速度为v，足球的质量为m，则红队球员将足球踢出时对足球做的功W(不计空气阻力，足球视为质点)()A.等于mgh＋eq\f(1,2)mv2B.大于mgh＋eq\f(1,2)mv2C.小于mgh＋eq\f(1,2)mv2D.因为球入球门过程中的曲线的形状不确定，所以球员对足球做功的大小无法确定解析由动能定理，球员对球做的功等于足球动能的增加量，之后足球在飞行过程中机械能守恒，故W＝mgh＋eq\f(1,2)mv2。选项A正确。答案A5.如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求：(1)弹簧的最大弹性势能；(2)木块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能。解析(1)由机械能守恒有Epm＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)×4×52J＝50J。(2)由机械能守恒得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋Ep1，所以Ep1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝32J。答案(1)50J(2)32J基础过关1.(多选)关于这四幅图示的运动过程中物体机械能守恒的是()A.图甲中，滑雪者沿光滑斜面自由下滑B.图乙中，过山车关闭动力后通过不光滑的竖直轨道C.图丙中，小球在水平面内做匀速圆周运动D.图丁中，石块从高处被斜向上抛出后在空中运动(不计空气阻力)解析图乙中，过山车关闭动力后通过不光滑的竖直轨道过程中摩擦力做负功，机械能不守恒；图甲中的滑雪者、图丁中的石块运动过程中只有重力做功；图丙中的小球运动过程中动能和势能均不变，故机械能都守恒，故选项A、C、D正确，B错误。答案ACD2.如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是()A.重物的机械能守恒B.重物的机械能增加C.重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D.重物、弹簧与地球组成的系统机械能守恒解析重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物、弹簧与地球组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，选项C错误，D正确。答案D3.关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是()A.只有重力和弹力作用时，机械能才守恒B.当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒C.除重力、系统内弹力外，当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒D.炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒解析机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A项错误，C项正确；物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可以不守恒，如拉一物体匀速上升，合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B项错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，故D项错误。答案C4.质量为1kg的物体从倾角为30°、长2m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10m/s2)()A.0，－5J B.0，－10JC.10J，5J D.20J，－10J解析物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，下滑到斜面中点时的重力势能Ep＝－mgeq\f(L,2)·sin30°＝－1×10×eq\f(2,2)×sin30°J＝－5J，故选项A正确。答案A5.某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高度的横杆(如图所示)，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)()A.2m/s B.4m/sC.6m/s D.8m/s解析该同学竖直方向的运动为竖直上抛运动，水平方向的运动为匀速运动，整个过程机械能守恒，取地面为参考平面，最高点竖直速度为零，由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，得eq\f(1,2)m(veq\o\al(2,0竖)＋veq\o\al(2,0水))＋mgh1＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0水)，其中h1为起跳时该同学重心的高度，即h1＝0.9m，代入数据得起跳时竖直向上的速度v0竖＝eq\r(2g（h2－h1）)＝4.2m/s。选项B正确。答案B6.(多选)两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图所示。如果它们的初速度都为零，则下列说法正确的是()A.下滑过程中重力所做的功相等B.它们到达底部时动能相等C.它们到达底部时速率相等D.它们在下滑过程中各自机械能不变解析小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，由mgH＝eq\f(1,2)mv2得v＝eq\r(2gH)，所以A和B到达底部时速率相等，选项C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，选项A、B错误。答案CD7.如图所示，质量m＝2kg的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O处。将橡皮条拉直至水平位置OA处(橡皮条无形变)，然后将小球由A处静止释放，小球到达O点正下方h＝0.5m处的B点时的速度为v＝2m/s。求小球从A运动到B的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。(g取10m/s2)解析取过B点的水平面为参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零。设在B点时橡皮条的弹性势能为Ep2，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mv2＋Ep2＝mgh则Ep2＝mgh－eq\f(1,2)mv2＝2×10×0.5J－eq\f(1,2)×2×22J＝6J橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功为－6J。答案－6J8.如图所示，质量为m的物体(可视为质点)，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3eq\r(gR)，求：(1)物体在A点时的速度大小；(2)物体离开C点后还能上升多高。解析(1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点。设物体在B处的速度为vB，则mg·3R＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，得v0＝eq\r(3gR)。(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，HB＝4.5R所以离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R。答案(1)eq\r(3gR)(2)3.5R能力提升9.如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01kg的小钢珠，假设某次发射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为()A.0.10J B.0.15JC.0.20J D.0.25J解析设钢珠在M轨道最高点的速度为v，在最高点，由题可得mg＝meq\f(v2,R)，从发射前到最高点，由机械能守恒定律有Ep＝mgR＋eq\f(1,2)mv2＝0.15J，选项B正确。答案B10.(多选)重10N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝1m，bc＝0.2m，那么在整个过程中()A.滑块动能的最大值是6JB.弹簧弹性势能的最大值是6JC.从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6JD.整个过程系统机械能守恒解析以滑块和弹簧为系统，在滑块的整个运动过程中，只发生动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统机械能守恒，选项D正确；滑块从a到c重力势能减小了mgarcsin30°＝6J，全部转化为弹簧的弹性势能，选项A错误，B正确；从c到b弹簧恢复原长，通过弹簧的弹力对滑块做功，将6J的弹性势能全部转化为滑块的机械能，选项C正确。答案BCD11.(多选)如图所示，B、M、N分别为竖