求数列通项公式大总结

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法同学们要熟练掌握，加油！相信你能行！1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由得：时，，，所以各式相加得即：.为了书写方便，也可用横式来写：时，，=.例1.（2003天津文）已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：=.例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.=1\*GB3①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;=3\*GB3③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;=4\*GB3④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例题：求数列的通项公式。解答：由已知当，N-1个式子累乘，得到当n=1，也满足，所以3.形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要还原成n的表达式.例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：因为 以下同例1，略 答案4.形如型（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1.已知数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.5．形如,其中)型（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,求出A例1．已知数列中，求通项.分析：待定系数法构造构造新的等比数列。解：由设,解出A=-1,则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即.6.形如型(1)若(其中k,b是常数，且)，则后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即：故.(2)若(其中q是常数，且n0,1)=1\*GB3①若p=1时，即：，累加即可=2\*GB3②若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。求通项方法有以下三种方向：=1\*romani.两边同除以.即：,令，则,然后类型1，累加求通项.=2\*romanii.两边同除以.即：,令,则可化为.然后转化为类型5来解，=3\*romaniii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例1.（2003天津理）设为常数，且．证明对任意≥1，；证法2：由得.设，则b.即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故.评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法2：用待定系数法（注意设法哦！）设,即:,比较系数得：,所以所以,所以数列是公比为－2，首项为的等比数列.即.规律：类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.请同学们练习求。7.形如型（1）即取倒数法.例1.已知数列中，，，求通项公式。解：取倒数：8.形如(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时用转化法例1.数列中，若,且满足,求.解：把变形为.则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则利用类型6的方法可得.（2）当时用待定系数法.例2.已知数列满足，且,且满足,求.解：令,即,与已知比较，则有,故或下面我们取其中一组来运算，即有,则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故,即,利用类型的方法，可得.评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.9.形如(其中p>0,r为常数