信号与系统--需记忆资料2014.5.11总结(内部资料)

信号与系统教学目的：熟悉信号的概念和分类，掌握信号的基本运算。掌握阶跃函数和冲激函数的特点和性质，掌握LTI系统的描述和特性。教学重点与难点：掌握信号的加法、乘法，反转、平移，尺度变换等基本运算。冲激函数的特点和性质，LTI系统的特性。§1.2信号的描述和分类一、信号的描述信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号---简称“信号”。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数（2）信号的图形表示--波形“信号”与“函数”两词常相互通用。二、信号的分类信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。按实际用途划分：电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号，……按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；一维信号与多维信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号；左边信号与右边信号；等等。3.周期信号和非周期信号如何判断？判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt分析两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)（2）f2(k)=sin(2k)三．几种典型确定性信号§1.3信号的基本运算一、信号的加法和乘法同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。二、信号的时间变换1.信号反转将f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)称为对信号f(·)的反转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如t→-t→-t没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。2.信号的平移将f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(t–k0)称为对信号f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如t→t–1右移t→t+1左移雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。3.信号的展缩(尺度变换）将f(t)→f(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则扩展。如t→2t压缩t→0.5t扩展对于离散信号，由于f(ak)仅在为ak为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。4.混合运算举例混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t而言。§1.4阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数和冲击函数定义三．冲激函数的性质冲激函数的性质总结（1）取样性（2）奇偶性（3）比例性（4）微积分性质（5）冲激偶四.序列δ(k)和ε(k)定义ε(k)与δ(k)的关系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…§1.5系统的特性与分类一、系统的定义系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于整体。电路、系统两词通用。二.系统的分类及性质可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。常用的分类有：1.连续系统与离散系统连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号。离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号。混合系统：系统的激励和响应一个是连续信号，一个为离散信号。如A/D，D/A变换器。2.动态系统与即时系统动态系统也称为记忆系统。若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。3.单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统：系统的输入、输出信号都只有一个。多输入多输出系统：系统的输入、输出信号有多个。4.线性系统与非线性系统线性系统：指满足线性性质的系统。线性性质：齐次性和可加性齐次性：f(·)→y(·)af(·)→ay(·)可加性：f1(·)→y1(·)f2(·)→y2(·)f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)综合，线性性质：af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励{f(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]，yzs(·)=T[{f(·)},{0}]，yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]①可分解性：y(·)=yzs(·)+yzi(·)②零状态线性：T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]③零输入线性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]举例例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x显然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）yzi(t)=x2(0)，T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。例2：判断下列系统是否为线性系统？解：y(t)=yzs(t)+yzi(t)，满足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，满足零状态线性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。5.时不变系统与时变系统时不变系统：指满足时不变性质的系统。时不变性（或移位不变性）：f(t)→yzs(t)f(t-td)→yzs(t-td)例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(k)=f(k)f(k–1)（2）yzs(t)=tf(t)（3）yzs(t)=f(–t)解(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)显然T[{0}，f(k–kd)]=yzs(k–kd)故该系统是时不变的。(2)令g(t)=f(t–td)，T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f(t–td)显然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。(3)令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=g(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f[–(t–td)]显然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。直观判断方法：若f(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。LTI连续系统的微分特性和积分特性本课程重点讨论线性时不变系统(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。①微分特性：若f(t)→yzs(t)，则f’(t)→y’zs(t)证明对零状态系统f(t)→yzs(t)根据时不变性质，有f(t-△t)→yzs(t-△t)利用线性性质得→△t→0得②积分特性：若f(t)→yzs(t)，则6.因果系统与非因果系统因果系统：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。即对因果系统，当t<t0，f(t)=0时，有t<t0，yzs(t)=0。判断方法：输出不超前于输入。举例如下列系统均为因果系统：yzs(t)=3f(t–1)而下列系统为非因果系统：(1)yzs(t)=2f(t+1)因为，令t=1时，有yzs(1)=2(2)yzs(t)=f(2t)因为，若f(t)=0，t<t0，有yzs(t)=f(2t)=0,t<0.5t0。综合举例例某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；当x(0–)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。解设当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当x(0–)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。由题中条件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根据线性系统的齐次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得y1zs(t)=–4e–t+cos(πt)，t>0由于y1zs(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t<0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改写成y1zs(t)=[–4e–t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y1zs(t)=[–4e–t+cos(πt)]ε(t)根据LTI系统的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根据LTI系统的时不变特性f1(t–1)→y1zs(t–1)={–4e–(t–1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t–1)，y3zs(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4e–(t–1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)实际的物理可实现系统均为因果系统非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。因果信号t=0接入系统的信号称为因果信号。可表示为：一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即若│f(.)│<∞，其│yzs(.)│<∞则称系统是稳定的。如yzs(k)=f(k)+f(k-1)是稳定系统；而是不稳定系统。因为，当f(t)=ε(t)有界，当t→∞时，它也→∞，无界。§1.6系统的描述和分析方法一、系统的数学模型1.连续系统的解析描述图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程。抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。机械减振系统其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为能用相同方程描述的系统称相似系统。2.离散系统的解析描述例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/元，求第k个月初存折上的款数。设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。描述LTI系统的是线性常系数差分方程例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k–1)=f(1–k)+1解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。三.LTI系统分析概述系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。

系统的分析方法：输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）（chp.8)外部法：时域分析（chp.2,chp.3)变换域法：连续系统—频域法(4)和复频域法(5)离散系统—频域法(4)和z域法(6)系统特性：系统函数（chp.7)求解的基本思路：把零输入响应和零状态响应分开求。把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。采用的数学工具：时域：卷积积分与卷积和频域：傅里叶变换复频域：拉普拉斯变换与Z变换第二章连续系统的时域分析一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f微分方程的经典解：完全解=齐次解+特解。1.齐次解由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式2.特解根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。三.零输入响应和零状态响应y(t)=yzi(t)+yzs(t),也可以分别用经典法求解。§2.2冲激响应和阶跃响应§2.4卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。一、卷积代数运算1．交换律2．分配律3．结合律二、与冲激函数或阶跃函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)三、卷积的微积分性质1．证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2．3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t四、卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。小结：本章主要介绍了连续系统的冲激响应和阶跃响应，是系统时域分析的重要内容。介绍了零初始值的确定方法，LTI连续系统的零输入响应、零状态响应和全响应的求解，这是连续系统时域分析的基础。介绍了卷积积分的概念，通过卷积的图示方法说明卷积的含义，详细分析了卷积的代数运算、函数与冲激函数卷积、卷积的微分和积分等重要性质，是连续系统时域分析的重要手段。第三章离散系统的时域分析二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解：齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0特征方程1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0，即λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。根据特征根，齐次解的两种情况例：求解二阶差分方程y(k)–5y(k–1)+6y(k–2)=0已知y(0)=2，y(1)=1，求y(k)。解：特征方程特征根齐次解定C1，C2解出2.有重根特征根λ为r重根时例：求差分方程y(k)+6y(k–1)+12y(k–2)+8y(k–3)=0的解。解：特征方程三重特征根齐次解由初始条件定C1，C2，C32.特解yp(k):特解的形式与激励的形式类似例：系统方程y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件解得C1=1,C2=–1/4三、零输入响应和零状态响应y(k)=yzi(k)+yzs(k)1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次齐次解形式：C由初始状态定（相当于0-的条件）例：系统的方程求系统的零输入响应。解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。求初始状态题中y(0)=y(1)=0，是激励加上以后的，不能说明状态为0，需迭代求出y(-1)，y(-2)。由初始状态确定C1，C2解得2.零状态响应：初始状态为0，即求解方法：经典法：齐次解+特解卷积法例：系统方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yzi(k)满足方程yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=0yzi(–1)=y(–1)=0,yzi(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=–3yzi(k–1)–2yzi(k–2)yzi(0)=–3yzi(–1)–2yzi(–2)=–1yzi(1)=–3yzi(0)–2yzi(–1)=3特征根为λ1=–1，λ2=–2解为yzi(k)=Czi1(–1)k+Czi2(–2)k将初始值代入并解得Czi1=1,Czi2=–2yzi(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥0（2）零状态响应yzs(k)满足yzs(k)+3yzs(k–1)+2yzs(k–2)=f(k)yzs(–1)=yzs(–2)=0递推求初始值yzs(0),yzs(1)，yzs(k)=–3yzs(k–1)–2yzs(k–2)+2k,k≥0yzs(0)=–3yzs(–1)–2yzs(–2)+1=1yzs(1)=–3yzs(0)–2yzs(–1)+2=–1分别求出齐次解和特解，得yzs(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+yp(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Czs1=–1/3,Czs2=1yzs(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0§3.2单位序列响应和阶跃响应两个常用的求和公式：(k2≥k1)§3.3卷积和一、卷积和1.序列的时域分解任意序列f(k)可表示为f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…2.任意序列作用下的零状态响应卷积和3.卷积和的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。二、卷积和的解法1.图解法2.不进位乘法（竖乘法）排成乘法f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)+—————————————————————f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(3)f2(1)f1(1)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}不进位乘法适用有限长序列卷积举例f1(k)={0，2，1，5，0}f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=1↑k=0求f(k)=f1(k)*f2(k)解3，4，0，62，1，5×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=1四、卷积和的性质1.满足乘法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.2.f(k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)3.f(k)*ε(k)=4.f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)5.Ñ[f1(k)*f2(k)]=Ñf1(k)*f2(k)=f1(k)*Ñf2(k)小结：本章介绍了差分的概念，差分方程的求解方法，以及详细分析了离散系统的零输入响应和零状态响应的求解，是离散系统时域分析的基础；介绍了单位序列、单位阶跃序列，离散系统的单位序列响应和阶跃序列响应，是离散系统时域分析的重要内容；介绍了卷积和的概念，通过卷积和的图示方法说明卷积和的含义，详细分析了卷积和的重要性质，是离散系统时域分析的重要手段。傅里叶变换和系统的频域分析三、信号的正交分解（1）函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和（2）巴塞瓦尔能量公式一、傅里叶级数的三角形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。四、周期信号的功率——Parseval等式：信号的归一化平均功率：§4.3周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。谱线的结构与波形参数的关系T一定，t变小，此时W（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：w1/W=（2p/t）/(2p/T)=T/t增多。t一定，T增大，间隔W减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。§4.4非周期信号的频谱傅里叶变换F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。二、常用函数的傅里叶变换1.矩形脉冲(门函数）2．单边指数函数3．双边指数函数4．冲激函数d(t)、d´(t)5．直流信号1←→2pd(w)6.符号函数§4.5傅里叶变换的性质一．线性性质若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，则[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]二．奇偶虚实性若f(t)是实函数,且f(t)←→F(jω)=|F(jω)|ejj(ω)=R(ω)+jX(ω)则·R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)，·|F(jω)|=|F(–jω)|，j(ω)=–j(–ω)，·f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)·若f(t)=f(–t)，则X(ω)=0，F(jω)=R(ω)·若f(t)=–f(–t)，则R(ω)=0，F(jω)=jX(ω)三、对称性四、尺度变换性质五、时移特性六、频移性质七、卷积性质1。时域卷积：f1(t)*f2(t)←→F1(j)F2(j)2．频域卷积：f1(t)f2(t)←→F1(j)*F2(j)八、时域的微分和积分九、频域的微分和积分(-jt)nf(t)←→F(n)(j)§4.6能量谱和功率谱一．帕塞瓦尔关系二．能量谱密度（能量谱）·定义能量谱指单位频率的信号能量，记为E(ω)在频带df内信号的能量为E(ω)df，因而信号在整个频率范围的总能量由帕塞瓦尔关系可得E(ω)=|F(jω)|2R(τ)←→E(ω)能量谱函数与自相关函数是一对傅里