2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校七年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算中，正确的是（）A．x6÷x2＝x3 B．x2+x2＝x4 C．（﹣x3）2＝﹣x6 D．（﹣x）3•（﹣x）2＝﹣x52．（2分）下列不等式变形正确的是（）A．若a＜b，则a﹣3＜b﹣3 B．若﹣a＜3，则a＜﹣6 C．若a＞b，则3﹣2a＞3﹣2b D．若a＜b，则ac2＜bc23．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD＝3：2，则点D到线段AB的距离DE为（）A．2 B．4 C．5 D．64．（2分）七年级选修击剑课的学生共有20人，某天一女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的一半，若设该班女生人数为x，男生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（）A． B． C． D．5．（2分）若方程组的解满足x＜y，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞26．（2分）如图，△ABC中，∠B＝50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED＝105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（）A．∠C+∠ADE＝95° B．∠C﹣∠ADE＝25° C．∠C﹣∠ADE＝35° D．∠C＝2∠ADE二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）大金同学通过高尔夫球选修课知道高尔大球表面有300～500个凹洞，可以减少空气阻力，并增加球的升力，让高尔夫球飞得更远．凹洞的平均深度约为0.00025m，用科学记数法表示为m．8．（2分）命题“三角形的外角和是360°”是（填真、假）命题．9．（2分）计算：（﹣）0×（）﹣1＝．10．（2分）若ax＝12，ay＝6，则ax﹣y＝．11．（2分）已知（m+n）2＝7，（m﹣n）2＝3，则m2+n2＝．12．（2分）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式a2﹣9b2＝．13．（2分）不等式+1≥2x的非负整数解是．14．（2分）若不等式组有解，则a的取值范围是．15．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，从下列四个条件：①AB＝AC，②BD＝CD，③∠ADB＝90°，④∠BAC＝90°中选一个条件，能使△ABD≌△ACD的有．（填序号）16．（2分）已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝°．三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（1）计算：（2a）3•（﹣3ab2）；（2）先化简，再求值：（2x+1）2﹣（﹣1+2x）（2x+1），其中x＝﹣．18．（6分）分解因式：（1）ax2+2ax+a；（2）（m+4）（m﹣4）+7．19．（6分）（1）解方程组．（2）直接写出方程组的解是．20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．（2）当∠BED的度数是时，△BDE是直角三角形．22．（6分）定义一种运算：a*b＝，请解方程：（2x﹣1）*（1+x）＝．23．（6分）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2+b2≥2ab．（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn＝2，求3m2+3n2﹣1的最小值．24．（8分）已知：如图，AD、BF相交于O点，OA＝OD，AB∥DF，点E、C在BF上，BE＝CF．（1）求证：△ABO≌△DFO；（2）判断线段AC、DE的关系，并说明理由．25．（10分）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需200元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需260元．颜主任准备购买A、B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，问：（1）A、B两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）（2）A种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）（3）在购买方案中最少费用是元．26．（8分）【探究结论】（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是（直接写出结论，不需要证明）：【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为．

2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算中，正确的是（）A．x6÷x2＝x3 B．x2+x2＝x4 C．（﹣x3）2＝﹣x6 D．（﹣x）3•（﹣x）2＝﹣x5【解答】解：A选项，原式＝x4，故该选项不符合题意；B选项，原式＝2x2，故该选项不符合题意；C选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；D选项，原式＝﹣x3•x2＝﹣x5，故该选项符合题意；故选：D．2．（2分）下列不等式变形正确的是（）A．若a＜b，则a﹣3＜b﹣3 B．若﹣a＜3，则a＜﹣6 C．若a＞b，则3﹣2a＞3﹣2b D．若a＜b，则ac2＜bc2【解答】解：∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，∴选项A符合题意；∵若﹣a＜3，则a＞﹣6∴选项B不符合题意；∵若a＞b，则3﹣2a＜3﹣2b，∴选项C不符合题意；∵a＜b，c＝0时，ac2＝bc2，∴选项D不符合题意．故选：A．3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD＝3：2，则点D到线段AB的距离DE为（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵BC＝10，BD：CD＝3：2，∴BD＝6，CD＝4，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝4，故选：B．4．（2分）七年级选修击剑课的学生共有20人，某天一女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的一半，若设该班女生人数为x，男生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x﹣1＝y，即y＝2（x﹣1）；根据某班共有学生20人，得x+y＝20．列方程组为：．故选：D．5．（2分）若方程组的解满足x＜y，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞2【解答】解：，①﹣②得：x﹣y＝4+2a，∵x＜y，∴x﹣y＜0，∴4+2a＜0，∴a＜﹣2．故选：A．6．（2分）如图，△ABC中，∠B＝50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED＝105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（）A．∠C+∠ADE＝95° B．∠C﹣∠ADE＝25° C．∠C﹣∠ADE＝35° D．∠C＝2∠ADE【解答】解：∵∠CED＝105°，∴∠AED＝180°﹣∠CED＝75°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝130°﹣∠A，∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝105°﹣∠A，∴∠C﹣∠ADE＝（130°﹣∠A）﹣（∠105°﹣∠A）＝25°，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）大金同学通过高尔夫球选修课知道高尔大球表面有300～500个凹洞，可以减少空气阻力，并增加球的升力，让高尔夫球飞得更远．凹洞的平均深度约为0.00025m，用科学记数法表示为2.5×10﹣4m．【解答】解：0.00025＝2.5×10﹣4，故答案为：2.5×10﹣4．8．（2分）命题“三角形的外角和是360°”是真（填真、假）命题．【解答】解：命题“三角形的外角和是360°”是真命题，故答案为：真．9．（2分）计算：（﹣）0×（）﹣1＝5．【解答】解：（﹣）0×（）﹣1＝1×5＝5，故答案为：5．10．（2分）若ax＝12，ay＝6，则ax﹣y＝2．【解答】解：∵ax＝12，ay＝6，∴ax÷ay＝12÷6，∴ax﹣y＝2，故答案为：2．11．（2分）已知（m+n）2＝7，（m﹣n）2＝3，则m2+n2＝5．【解答】解：∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝3②，∴①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5，故答案为：512．（2分）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式a2﹣9b2＝10．【解答】解：原方程组变形为，∴a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）＝×6＝10，∴a2﹣9b2的值为10，故答案为：10．13．（2分）不等式+1≥2x的非负整数解是0，1．【解答】解：整理得：3x﹣1+2≥4x，移项得：﹣x≥﹣1，系数化为1得：x≤1，故不等式+1≥2x的非负整数解为0，1．故答案为：0，1．14．（2分）若不等式组有解，则a的取值范围是a＞1．【解答】解：∵不等式组有解，∴a＞1，故答案为：a＞1．15．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，从下列四个条件：①AB＝AC，②BD＝CD，③∠ADB＝90°，④∠BAC＝90°中选一个条件，能使△ABD≌△ACD的有①②③．（填序号）【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴①AB＝AC，由SAS证明△ABD≌△ACD，正确；②BD＝CD，延长AD到E使DE＝AD，可证△ADC≌△EDB，得AC＝BE，再证AB＝BE，证得AB＝AC，从而可证△ABD≌△ACD，正确；③∠ADB＝90°，由ASA证明△ABD≌△ACD，正确；④∠BAC＝90°，不能证明△ABD≌△ACD，错误．故答案为：①②③．16．（2分）已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝265°．【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′＝2∠B+35°．∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′＝360°﹣2∠C，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）＝360°﹣（360°﹣2∠C）＝2∠C．∴∠1+∠2+∠3＝2∠C+2∠B+35°＝2（∠C+∠B）+35°＝2（180°﹣∠A）+35°＝2（180°﹣65°）+35°＝265°．故答案为：265°．三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（1）计算：（2a）3•（﹣3ab2）；（2）先化简，再求值：（2x+1）2﹣（﹣1+2x）（2x+1），其中x＝﹣．【解答】解：（1）原式＝8a3•（﹣3ab2）＝﹣24a4b2；（2）原式＝4x2+4x+1﹣（4x2﹣1）＝4x2+4x+1﹣4x2+1＝4x+2，当x＝﹣时，原式＝4×（﹣）+2＝﹣2+2＝0．18．（6分）分解因式：（1）ax2+2ax+a；（2）（m+4）（m﹣4）+7．【解答】解：（1）原式＝a（x2+2x+1）＝a（x+1）2；（2）原式＝m2﹣16+7＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）．19．（6分）（1）解方程组．（2）直接写出方程组的解是．【解答】解：（1），①﹣②×2得：7y＝﹣7，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入②得：x+2＝4，解得：x＝2，则方程组的解为；（2）根据（1）中方程组的解得：，解得：．故答案为：．20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，由不等式①移项得：4x+x＞1﹣6，整理得：5x＞﹣5，解得：x＞﹣1，…（1分）由不等式②去括号得：3x﹣3≤x+5，移项得：3x﹣x≤5+3，合并得：2x≤8，解得：x≤4，…（2分）则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．…（4分）在数轴上表示不等式组的解集如图所示，…（6分）21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．【解答】解：（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADC，∴∠BED＝∠ADC，∵∠BED＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠ADE＝∠B＝35°；（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．理由如下：当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．当∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣35°＝55°时，△BDE是直角三角形．故答案为：90°或55°．22．（6分）定义一种运算：a*b＝，请解方程：（2x﹣1）*（1+x）＝．【解答】解：∵a*b＝，（2x﹣1）*（1+x）＝，∴当2x﹣1≥1+x时，即x≥2，则2x﹣1＝，解得x＝（不合题意，舍去）；当2x﹣1＜1+x时，即x＜2，则1+x＝，解得x＝﹣（符合题意）；由上可得，（2x﹣1）*（1+x）＝的解是x＝﹣．23．（6分）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2+b2≥2ab．（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn＝2，求3m2+3n2﹣1的最小值．【解答】（1）证明：∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）解：∵m、n是实数，且mn＝2，∴3m2+3n2﹣1＝3（m2+n2）﹣1≥3×2mn﹣1＝6mn﹣1＝12﹣1＝11．故3m2+3n2﹣1的最小值是11．24．（8分）已知：如图，AD、BF相交于O点，OA＝OD，AB∥DF，点E、C在BF上，BE＝CF．（1）求证：△ABO≌△DFO；（2）判断线段AC、DE的关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∠BAO＝∠FDO，在△ABO和△DFO中，，∴△ABO≌△DFO（AAS）；（2）解：AC＝DE，AC∥DE，理由如下：∵△ABO≌△DFO，∴BO＝FO，∵BE＝CF，∴EO＝CO，在△AOC和△DOE中，，∴△AOC≌△DOE（SAS），∴AC＝DE，∠DAC＝∠ADE，∴AC∥DE．25．（10分）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需200元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需260元．颜主任准备购买A、B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，问：（1）A、B两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）（2）A种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）（3）在购买方案中最少费用是330元．【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意得：，解得：．答：A、B两种奖品的单价分别是40、30元．（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20﹣m）个，∵A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，∴m≥（20﹣m），∴m≥，又∵m为整数，∴m＝6．∴A种奖品至少买6个．（3）设购买总费用为w元，则w＝20m+15（20﹣m）＝5m+300，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝6时，