山西省大同市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山西省大同市2021-2022学年高一下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知，，若，则（

）A． B． C． D．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽的人数为（

）A．70 B．50 C．40 D．604．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是A． B． C． D．5．为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，某市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是该市某中学高二5班第二组的8名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4（单位：℃），则该组数据的第80百分位数为（

）A．36.5 B．36.6 C．36.4 D．36.36．如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（

）A．2 B．4 C． D．7．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343

432

341

134

234

132

243

331

112342

241

244

342

142

431

233

214

344由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（

）A． B． C． D．8．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中错误的是（

）A．若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β B．若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//nC．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β评卷人得分二、多选题9．设向量，，则下列叙述正确的是（

）A．若，则向量与的夹角为钝角B．的最小值为2C．若为单位向量，且与垂直，则D．若，则或10．某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层级内，根据抽样结果得到如图所示的统计图表，则下列叙述正确的是（

）A．样本中女生人数少于男生人数 B．样本中B层人数最多C．样本中E层男生人数为6 D．样本中D层男生人数多于女生11．从分别写有、、、、以及、、、的张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：“恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”.下列结论正确的有（

）A． B． C． D．12．已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（

）A．四面体的外接球的表面积为B．四面体体积取最大值时，与平面ABC所成角为45°C．点D的运动轨迹的长度为D．边AD旋转所形成的曲面的面积为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为__________．14．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为__________．15．如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为___________.16．在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是_____________.评卷人得分四、解答题17．已知，，.(1)求与的夹角；(2)求.18．复数z是关于x的方程的一个根，且.(1)求复数z；(2)将z所对应向量绕原点O逆时针旋转得到向量，记所对应复数为，求的值.19．某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）估计该校学生数学成绩的平均数；（3）估计该校学生数学成绩的第百分位数．20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的面积为.(1)求a的值；(2)若D为BC上一点，且______，求的值.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.21．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）时，若人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm），数据统计如下：0.07

0.24

0.39

0.54

0.61

0.66

0.73

0.82

0.82

0.820.87

0.91

0.95

0.98

0.98

1.02

1.02

1.08

1.14

1.201.20

1.26

1.29

1.31

1.37

1.40

1.44

1.58

1.62

1.68(1)求上述数据的中位数、众数；(2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.22．如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且.(1)求证：平面平面；(2)若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，.（ⅰ）设平面平面，求证：；（ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】利用给定等式结合复数除法求出即可得解.【详解】因，则，所以的虚部为-2.故选：A2．C【解析】【分析】由平面向量共线坐标运算公式计算可得．【详解】解：，，，，解得：，故选：．3．D【解析】【分析】先求得抽样比，再分别求得北乡和南乡抽出的人数，进而得到北乡比南乡多抽的人数.【详解】这三个乡共有（人），则抽样比为则北乡抽出（人），南乡抽出（人）则北乡比南乡多抽的人数为（人）.故选：D4．C【解析】【详解】试题分析：.甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，所有可能的事件有甲乙丙；甲丙乙；乙甲丙；乙丙甲；丙甲乙；丙乙甲共6种可能，每种事件发生的概率相等，其中甲紧接着排在乙的前面值班事件有乙甲丙，丙乙甲共两种甲紧接着排在乙的前面值班的概率.考点：等可能事件发生的概率.5．B【解析】【分析】先将数据按从小到大排列，算出，根据百分位数的求法，即可求得答案.【详解】将8个数据按从小到大排列为35.7，36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，则所求第80百分位数为第7位，故为36.6故选：B6．D【解析】【分析】首先算出直观图面积，再根据平面图形与直观图面积比为求解即可.【详解】因为等腰是一平面图形的直观图，直角边，所以直角三角形的面积是.又因为平面图形与直观图面积比为，所以原平面图形的面积是.故选：D7．C【解析】【分析】首先数出满足条件的组数，即可求解.【详解】18组随机数中，满足条件的有132，112，241，142，这4组数据满足条件，所以估计恰好抽取三次就停止的概率.故选：C8．C【解析】则由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，可判定A正确的；根据线面垂直的性质，可判定B正确的；根据α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，可判定C错误的；根据面面垂直的性质定理，可判定D正确的.【详解】由题意，是两个不同的平面，是两条不同的直线，对于A中，若m⊥α，m//n，n⊂β，则由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，所以是正确的；对于B中，若α//β，m⊥α，n⊥β，根据线面垂直的性质，可得m//n，所以是正确的；对于C中，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，所以是错误的；对于D中，若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，根据面面垂直的性质定理，可得m⊥β，所以是正确的.故选：C.【点睛】解答此类问题常见的误区：1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；2、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；3、对面面平行性质定理理解不深导致错解.9．AB【解析】【分析】根据向量数量积，向量垂直的坐标表示，模的公式，即可判断选项.【详解】A.当向量与的夹角为钝角时，，得，当时，，所以且，故A正确；B.，所以的最小值为2，故B正确；C.设，所以，解得或，所以或，故C错误；D.，解得：或，故D错误.故选：AB10．BC【解析】【分析】根据所给条形图和扇形图，结合总人数100人，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：由女生身高情况条形图可得：女生人数为9+24+15+9+3=60人，则男生人数为100-60=40人，所以女生人数多于男生人数，故A错误；对于B：在女生身高情况条形图中，B层人数最多，在男生身高情况扇形图中，B层比例最高，人数最多，所以样本中B层人数最多，故B正确；对于C：由男生身高情况扇形图可得：E层人数为人，故C正确对于D：由女生身高情况条形图可得：D层人数为9人，由男生身高情况扇形图可得：D层人数为人，男生少于女生，故D错误;故选：BC11．ABD【解析】【分析】列举出每个事件所包含的基本事件类型，结合事件的关系判断可得出结论.【详解】事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，事件包含的基本事件类型为：两张都写有数字，事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，所以，，，，，故选：ABD.12．ABCD【解析】【分析】A.确定球心和半径，即可求解外接球的表面积；B.根据垂直关系，确定线面角，即可求解；C.首先确定点的运动轨迹，再求长度；D.根据C的判断结果，确定边AD旋转所形成的曲面，再求面积.【详解】对A：，AC中点即为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，，四面体的外接球的表面积，故选项A正确；对B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为，此时为与平面ABC所成角，，故选项B正确；对C：设方形对角线AC与BD交于O，由题意，翻折后当的最小值为时，为边长为的等边三角形，此时，所以点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，所以点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，即所求曲面的面积为，故选项D正确.故选:ABCD.13．【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意，由和求解.【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为圆锥的表面积为，所以，又侧面展开图是一个半圆，所以，联立求得，故答案为：14．【解析】【分析】利用方差公式计算即可得到结果．【详解】设原数据为，则，.加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为，所得8个数据的方差为．故答案为：715．【解析】【分析】由已知求出球的半径，再由球的体积公式得答案．【详解】解：作出圆锥的轴截面如图所示，球心为截面三角形的中心，截面为正三角形，且边长为2，则球的半径为．溢出溶液的体积等于球的体积为．故答案为：．16．.【解析】【分析】由已知结合向量的共线定理，求得，然后结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，且为上任一点，可得，如图所示，由三点共线，可得，其中，则，当且仅当且时，即时，等号成立，所以的最小值是.故答案为：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）先求得与的数量积，再去求与的夹角；（2）利用数量积去求的值.(1)∵，∴，即，又，，则，∴，又∵，∴，又∵，∴.(2)∵，∴.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用复数相等解方程，再利用舍根，进而求得复数z；（2）先由题给条件求得复数为，再去求求的值即可.(1)设，其中，由得，即，所以，解得，或.由，得，经检验不满足，所以，所以.(2)复数z所对应向量的坐标为，绕原点O逆时针旋转得到，则.所以，则，所以的值为.19．（1）；（2）分；（3）分．【解析】【分析】（1）利用各组频率和为1，列方程可求出的值；（2）直接计算平均数即可；（3）由于50到80的频率和为，50到90的频率和为，从而可知第百分位数在80到90之间，从而可计算得到【详解】解：（1）由于组距为10，所以有，从而．（2）平均数分．（3）因为50到80的频率和为，50到90的频率和为，所以第75百分位数为分．20．(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得的值，再利用余弦定理即可求得的值；（2）选①时先利用正弦定理求得的值，再利用题给条件推得，进而得到的值；选②时先利用余弦定理求得的值，再利用题给条件推得，进而求得的值.(1)因为，，，所以，由余弦定理得，解得.(2)①当时，在中，由正弦定理，，即，所以.因为，所以，所以，所以.②当时，在中，由余弦定理知，.因为，所以，所以，所以，所以.21．(1)中位数为，众数为0.82；(2)（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）依据中位数和众数的定义即可求得题给数据的中位数、众数；（2）（ⅰ）利用独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式即可求得这两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）利用对立事件和独立事件同时发生的概率公式即可求得这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.(1)将30个数据由小到大排列如下0.07

0.24

0.39

0.54

0.61

0.66

0.73

0.82

0.82

0.820.87

0.91

0.95

0.98

0.98

1.02

1.02

1.08

1.14

1.201.20

1.26

1.29

1.31

1.37

1.40

1.44

1.58

1.62