广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A组）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A组）第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．不等式的解集是（

）A． B． C． D．，或3．已知复数满足，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．4．下列函数最小正周期为的是（

）A． B．C． D．5．下列选项正确的是（

）A． B．C． D．且6．一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（

）A． B． C． D．7．正四棱台的上､下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．8．已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（

）A． B． C． D．9．设是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，且l与所成的角和m与所成的角相等，则10．端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10评卷人得分二、多选题11．设是所在平面内的一点，且，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．12．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为正方形，.点分别为的中点.则在原四棱锥中，下列结论正确的是（

）A．平面平面 B．平面C．平面 D．平面平面第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．设是定义在上的奇函数，且，则___________.14．已知点，则___________.15．水平放置的平行四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示.此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平行四边形的面积为___________.16．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为___________.评卷人得分四、解答题17．已知.(1)若，求实数的值；(2)当时，若与垂直，求实数的值.18．已知，其中.(1)求；(2)若，求的值.19．如图，在三棱柱中，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面为菱形，求证：平面.20．如图，在中，，点在边上，.(1)求的长度；(2)若，求的长度.21．已知，且与相互垂直.(1)求向量与向量的夹角的大小；(2)求.22．如图，在长方体中，，.求(1)求直线和直线所成的角的大小；(2)求直线与平面所成的角的大小.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】利用集合的交集运算进行求解.【详解】因为，所以.故选：C.2．C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；故选：C3．A【解析】【分析】利用复数的除法直接求出z.【详解】因为，所以.故选：A4．B【解析】【分析】根据三角函数的性质计算可得；【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；对于B：的最小正周期，故B正确；对于C：的最小正周期，故C错误；对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B5．C【解析】【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，所以当时，，当时，，故D错误.故选：C.6．D【解析】【分析】依题意正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，利用勾股定理求出直径，再根据体积公式计算可得；【详解】解：因为正方体的棱长为，所以其体对角线为，所以外接球的直径即为，即外接球的半径，所以外接球的体积；故选：D7．B【解析】【分析】先求棱台的斜高，然后利用侧面积公式进行求解.【详解】由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底面边长分别为，腰长为，所以斜高为.所以侧面积为().故选：B.8．D【解析】【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.【详解】由题知，，，，设.则，.因为为平行四边形，所以.由，解得，所以点对应的复数为.故选：D.9．B【解析】【分析】举反例可判断AD；由面面平行的判断可判断B；由线面的位置关系可判断C.【详解】对于A，在如下图正方体中，，，，但与不垂直，所成角为，故A错误；对于B，若，，则，故B正确；对于C，若，，则或者，故C错误；对于D，如下图，在正方体中，，且l与所成的角和m与所成的角相等为，但则不平行，故D错误.故选：B.10．A【解析】【分析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，内切球的半径为，根据球的体积求出，再根据等体积法求出；【详解】解：要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，设正四面体的棱长为，高为，内切球的半径为，则，解得，如图正四面体中，令为的中点，为底面三角形的中心，则底面所以，即.故选：A11．ACD【解析】【分析】由题设知为中点，数形结合并根据向量加法、数乘的几何意义判断各项的正误即可.【详解】由知：为中点，故，，，B正确，A、D错误；，C错误；故选：ACD12．ABC【解析】【分析】对于A：利用面面平行的判定定理证明平面平面；对于B：利用线面平行的判定定理证明平面；对于C：利用垂线面直的判定定理证明平面；对于D：由平面平面可判断平面平面不成立.【详解】如图示，在四棱锥中.对于A：分别为的中点，所以.又面ABCD，面ABCD，所以面ABCD，同理：面ABCD.因为面EFGH，面EFGH，,所以平面平面.故A正确；对于B：,面PAD，面PAD，所以平面.故B正确；对于C：在四棱锥中，底面四边形为正方形，.所以四棱锥为正四棱锥.连接AC,BD交于点O，则面，所以，因为四边形为正方形，所以.又PO,BD交于点O，所以平面.故C正确；对于D：因为平面，所以平面平面.所以平面平面不成立.故D错误.故选：ABC.13．1【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以.故答案为：1.14．-15.【解析】【分析】直接利用向量的坐标表示，再进行数量积运算即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：-15.15．【解析】【分析】根据斜二测法的画图原则求出原平行四边形的边长和高，进而求面积.【详解】由题设，，故原平行四边形中上下底的高，平行四边形，，所以原平行四边形的面积为.故答案为：16．【解析】【分析】设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，先求出a=8.设圆柱的底面圆半径为x,高为h，建立出侧面积的函数，利用二次函数求出最大值.【详解】设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，由该圆锥轴截面的面积为,得,所以a=8,所以该圆锥底面圆半径为4，高为.设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为x,高为h，其中.如下图所示：由可得：，即，所以.所以圆柱冰块的侧面积为.由二次函数的性质可得：当时，最大.故答案为：17．(1)-2；(2)2【解析】【分析】（1）利用向量平行列方程即可求解；（2）先表示出与，利用向量垂直列方程即可求解.(1)因为，且，所以，解得：.(2)当时，，所以，.因为与垂直，所以，解得：.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据同角的关系即可求解；（2）根据正弦的和角公式即可求解.(1)由可得，因为，故，进而(2)，故；19．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质有，根据线面平行的判定证结论；（2）线面垂直的判定有面，根据线面垂直、菱形的性质可得、，最后由线面垂直的判定证结论.(1)连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.(2)由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出；（2）直接用余弦定理求出.(1)在中，，.由正弦定理得：，即，解得：.(2)在中，，，.由余弦定理得：.21．(1)；(2).【解析】【分析】（1）由，结合已知即可求夹角的大小；（2）利用向量数量积的运算律有，即可求模.(1)由题意，，