《几何学》题库及答案

几何学》题库及答案一。填空题TOC\o"1-5"\h\z若Ia +b |=|a-b |,则矢量a ,b应满足的条件为( )；—F- —P-两矢量a,b夹角为P，贝9cosP=( )；平面x—2y+5z—3=0的法式化方程为( )；通过点M(1,-5,3)且与x,y,z轴分别成6Oo,45o,12Oo的直线方程为()；5.z2x5.z2x2 y2方程口+C—X=(A>B>C>0)当九( )时，方程表示双叶双曲面;—直线上有三点A,B,P,满足AP=九PB(九工-1)。O是空间一点，则OP用OA,OB线TOC\o"1-5"\h\z性表示为( );)。a={2,-2,-1}，则a0=()。连接两点A(3,10,-5),B(0,12,b)的线段平行于平面7x+4y-z+1=0,则b=( )；两直线兰二=上工=(i=1,2)异面的充要条件为( )XYZiiix2y2写出双曲抛物面一——=2z的一族直母线方程( )。a2b2二次曲线渐近方向满足的条件为( )。设二次曲线的方程为xF(x,y)+yF(x,y)+F(x,y)=0，则共轭于非渐近方向X:Y的直径方程为1 2 3)。矢量｛2,-1,-2｝的单位矢量为( )。在标架｛O；i'j,k｝下，(i+j,j+k,k+i)=( )方程X2+y2=1在空间中表示的图形是( )y2=2pz<抛物线〔x=0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程为( )二次曲线中心(X0,y0)满足的条件是( )。平面":Ax+By+Cz+D=0与直线1：二==二平行的充要条件是( )。1XYZ

x2 z2 y2）。单叶双曲面一+厂- =1的腰椭圆方程为（）。a2 b2 c2空间不共线三点Ai（Xi,yi,zi）（i=1,2,3）.则这三点决定的平面方程是21.在空间右手坐标系下，点（1，-1，1）在第（）卦限。22.写出三种直纹面的名称（）。23.两种双曲面分别是 （）。24.两种抛物面分别是 （）。二．证明题1．用矢量法证明平行四边形的对角线互相平分。2．用矢量法证明三角形的余弦定理。乂+22+乂+22+二=i3.由椭球面a2 b2 c2的中心（即原点），沿某一方向到曲面上一点的距离是r设给定方向的方向余弦分别为八'"'V，试证:1 九2 "2 V2=++-r2 a2 b2 c2试证点M（x,y,z）到平面Ax+By+Cz+D=0间的距离为000|Ax+By+Cz+D|d= 0o VA2+B2+C2设直线与三坐标平面的交角为九,"'V，试证：COS2九+COS2"+COS2V=2 。用向量证明半圆上的圆周角是直角。证明:经过坐标轴的平移、旋转,二次曲线方程的次数仍然是二次的。三．计算题设一平面与平面x+3y+2z=0平行，与三坐标平面围成的四面体体积为6,求平面方程。给定二次曲线X2+6xy-7y2+6x+2y-1=0，求：

（1）渐近线（2）主直径；（3）化简，并画出简图。试求单叶双曲面王+—-空=1与平面x-2z+3=0的交线对xoy平面的射影柱面方程。1645试确定九值，使直线［3x+y+2Z-6=0与z轴相交。x+4y一九z—15=0给定二次曲线5x2+12xy-22x-12y-19=0，求：（1） 渐近线（2） 主直径（3） 化简，并画出简图。Ix=y2+z26•设柱面的准线为宀，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。x=2z求通过M（0,0,1）,M（3,0,0）并且与坐标平面Oxy的夹角为-的平面方程。123给定二次曲线x2一3xy+y2+10x一10y+21=0，求：（1） 渐近线；（2） 主直径；（3） 化简，并画出简图。Ix-2y+z-9=0I,m为何值时，直线＜ 在xOy平面内。3x+ly+z+m=0设OA={1,1,1},OB={1,-2,3},求以OA和OB为邻边的平行四边形的面积。{2x+y-2z+1=0与平面x+y+z一1=0垂直的平面方程。与平面x+y+z一1=0垂直的平面方程。x2 y2求通过x轴，且与椭圆柱面亍+节=1的交线是圆的平面方程。求以三点aG,1,1）B（2,0,1）CG,0,2）为顶点的三角形的面积。求通过点PG,4,-3）P（1,-2,6）两点，而且平行于x轴的平面的方程。1215-求通过点M⑺）15-求通过点M⑺）,而且与两条直线11・•1=f=3,12x-1~Ty-1z-1都相交的直线的方程。16.求通过x轴，而且与椭圆柱面节+亍=1的交线是圆的平面方程。

17.化简二次曲线方程x2+4xy+4y2+12x-y+1二0,并画出草图。几何学》作业参考答案一.填空题1．a-b2.cos申二 1．a-b2.cos申二 =；iaiibi3．二亠-丄=0；<30v30 <30 ,304．5.B〈九〈A；6.op二OA+九OB1+九x-xy-yz-zI221〕212121\ —1;8.-18；9.XYZ333J111XYZ丰0:7.22210.xy+ =2uab；u(x-2)10.xy+ =2uab；u(x-2)=z；ab11.12.XF(x,y)+YF(x,y)=0。1213.16.x2+y2=2pz；14.2；15．圆柱面；IF(x,y)=0172i00 ；'[F(x,y)=0'20018.AX+BY+CZ=0且Ax+By+Cz+D丰0000x2 y219.——^―=119.a2 b2y=0

X一X1y一y1z一z120.X一Xy―yz一z=0212121X一Xy—yz一z3 1313 121.IV.22.柱面，锥面，切线曲面。23.单叶双曲面；双叶双曲面29.330-4；31.32.\：x2+z2=y2；24椭圆抛物面；双曲抛物面；25- 20; 26- ^35⑺乩29.330-4；31.32.\：x2+z2=y2；．证明题证明：在平行四边形ABCD中，设AO=九OC，则BA+九BCBA+九BC1+\DO=DA+九DC1+九-BC-九BA1+九1 I r 1 卜 卜 卜 ] 1 m m —而BO〃DO，可设BO=mDO，即有BA+九BC+m(BC+九BA)=0,「九+m=0得｛、n (九鼻-1) 解得九=1，即O为BD中点，1+Am=0同理0为AC中点。12.证明：在三角形中，a+b+c=0，有a2=(b+c)2=b2+c2+2bccosZ(a,b),即a2=b2+c2-2bccosA。x2y2z23.证明：定方向的方向余弦分别为九,P,v, 则定方向和椭球面 +—+ =1a2b2c2的交点坐标为（rA,rp,rv），将此代入椭球面方程中得：1 九2 P2V2=++_。r2 a2b2c24.证明：过M作平面的垂线，垂足为Q（x,y，z）, 所以MQ〃N={A,B,C}x=x+mA0而Q点在平面上，所以有<y=y而Q点在平面上，所以有0z=z+mC0A(x0+mA)+B(y0+mB)+C(z0+mC)+D=0

Ax+By+Cz+D000d=1MQI二、:(A2+Bd=1MQI二、:(x-X0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=ImI、：A2+B2+C2IAx+By+Cz+DI= .00 。A2+B2+C2证明：设直线的方向为｛l,m,n｝，坐标平面xoy与直线的交角为九，则n2sm2九=l2+m2+n2m2 l2同理 sm2卩= , sm2v=l2+m2+n2 l2+m2+n2所以COS2九+COS2卩+COS2v=2 。证明:如图AC=AO+oc=OB+oc CB=OB-OCAC-CBAC-CB=)=OB2-OC2=r2-r2=0 所以AC丄CB. 证明:设二次曲线的方程为ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+a=0111222132333经过平移变换x=X+x0 y=y'+y 0曲线的方程变为ax'2+2ax'y'+ay'2+2F(x,y)x'+2F(x,y)y'+F(x,y)=0111222100200300可以看出,二次项的系数没有改变,因此,方程还是二次的 经过转轴

x二x'cosa—y'sinay二x'sina+y'cosa设曲线的方程变为a'x'2+2a'x'y'+a'y'2+2a'x'+2a'y'+a1112221323=033可知a'=acos2a+asin2a+asin2a11 1’ 12 22112222sin2a+acos2a1222<a'=—a—sin2a12222sin2a+acos2a122212 112a'=asin2a—a2211因为所以,11cos2a——sin2a2所以,11cos2a——sin2a2sin2asin2acos2a—sin2asin2asin2a2coa2a=1，a12'役2不全为零时，S'al42也不全为零•因此，曲线的次数不改变证明:TOC\o"1-5"\h\zx=sin29 ⑴<y=1—cos20 (2)z=2cos0 (3)2+(2)2—(3)2得x2+y2+z2=4所以，曲线在球面S]x2+y2+z2=4上. 3分.又可以写成y—1=cos20，则(1)2+(2)2=x2+(y—1)2=1,所以，曲线又在圆柱面S:x2+(y—1)2=1上. 3分2又z2=4cos20=4(1一sin20)=4一4sin20=4一2x2sin20 1分=4—2x(1—cos20)=4—2y 3分 1分所以，曲线又在抛物柱面S3：z2=4—2y上.三．计算题1.设平面方程为x+3y+2z+D=0,在x,y,z轴上截距分别为-D,-耳,—斗11体积V=|D3|x=6。 得D=±666所以方程为x+3y+2z±6=0。二次曲线x2+6xy-7y2+6x+2y-1=0的渐近方向为X：Y=1：1或(-7):131中心坐标为（—一,-—），所以渐近线为x-y+1=0;x+7y+5=0•两条主直径分别是x-3y=0;223x+y+5=0。化简得4x一—y一—3=0。3.解：柱面的方向为｛0,3.解：柱面的方向为｛0,0,1｝,准线为＜竺+上-竺=116 4 5解得柱面方程为（x-6一"+13=1。260 13解：设与Z轴交点坐标为（0,0,a）,代入直线方程得九=—5。解：（1）渐近方向为0：1和-12：5,中心为（1,1）,渐近线为x=1; 5x+1—y-17=0.（2） 主直径为3x+—y-5=0;—x-3y+1=0.x'—y'—（3） 化简结果为—-二=1.49Ix=y—+z—柱面的准线为｛宀故准线所在的平面为x=2z，母线的方向为｛1,0,-2｝得柱面的方程为:Ix=—z4x—+—5y—+z—+4xz-—0x-10z=0。TOC\o"1-5"\h\zC 兀1解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，则与oxy坐标平面的交角有 =COS= ,A—+B—+C— 3 —M(0,0，1),M(3,0,0)的坐标代入平面方程得：C+D=0, 3A+D=0。三式联立求解得A：B：C：D=1：(±+'26)：121：(-1)平面方程为x±p26y+z—1=0。（1）渐近方向为X：Y=1：1或5：1,中心坐标为（-3迈,-2迈）,渐近线为x+y+5弧2=0 5x+y+17\：2=0。主直径为x—y+、.：2=0 x—5y—7丫2=0。化简结果为 (3+丽x2+(3—^13)y2+10=0。l=—6,m=—27.俪1由平面束的方程得：A=——。所以，所求平面方程为3x-3z+4=0.Z=±^3y.13•解：AB=h—1,。}AC=£,—1,1}ABxAc={-1,—1,—1}1 B L1_三角形的面积=2ABxAC=2v'3解：设所求平面方程是By+Cz+D=0把P,P的坐标代人上式得124B—3C+D=0—2B+6C+D=0由以上两式得B：C：D=3：2：(-6)故所求平面方程是3x+2y—6=0解：由于点M的坐标满足1的方程，所以M在1上22因此，M与1］决定的平面上通过M1］不平行的直线均为所求设所求直线方程为x一1y一1z一1XYZ则X,Y,Z应该满足c111123=0VXYZX:Y:Z丰1:2:3

X—2Y+Z二0X:Y:Z丰1:2:316.:由对称性知,所求圆的圆心在坐标原点,半径是3.16.设所求平面的方程是z二kyX2y2_1则圆的方程为｛~9+T=1. ⑴ ...、z=ky该圆又可以看成是球面x2+y2+z2二32与z二ky的交线，即X2+y2+z2=32，亦即z=kyx2C+k2)y2 + =1<9 9 ⑵z=ky比较(1),(2)得系数得4=气空17.解得k= ，所以，所求平面方程是z=±fy34解：由公式ctg加=a—a—2 11得:ctg2a2a121—tg2a=—32tga 4由此得到tga=—2或tga=2tga=2得1cos