浙江省宁波市2022-2023学年高一下学期期中数学试题【含答案】

浙江省宁波市2022-2023学年高一下学期期中数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】故选：D2.已知复数，，则复平面内对应点位于（）A.虚轴上 B.实轴上C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为复数，，则，因为，则，因此，复平面内对应的点位于虚轴上.故选：A.3.若直线不平行于平面，且，则（）A.内的所有直线与异面 B.内的所有直线与都相交C.内存在唯一的直线与平行 D.内不存在与平行的直线【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到直线与平面相交，从而得到直线与平面内直线的位置关系为：相交和异面，再依次判断选项即可.【详解】因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，所以直线与平面内直线的位置关系为：相交和异面，所以D正确.故选：D4.在中，角所对的边分别为，，，，若恰有两个解，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由画弧法数形结合求解三角形即可.【详解】作，过作于点，如图所示，由题意可得，点在射线上，因为有两解，故有，即，解得.故选：C5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算及几何意义计算即可.【详解】，所以，故选：B6.已知，，，则“”是“，，为某斜三角形的三个内角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，结合三角恒等变换及斜三角形内角的性质判断条件间是否有推出关系即可.【详解】由，即，所以，则，即，又，，则，而，此时或，且，充分性不成立；由，，为某斜三角形的三个内角，即且均不为直角，则，所以，则，整理得，必要性成立；综上，“”是“，，为某斜三角形的三个内角”的必要不充分条件.故选：B.7.已知向量，满足，且对任意实数，，的最小值为，的最小值为，则（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】不妨设向量，，求出，的坐标，表示为关于x的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，表示为关于y的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出m，n，即可求得．【详解】不妨设向量，，则，，所以，又对任意实数有的最小值为，所以，化简得．又，对任意实数有的最小值为，所以，所以，即．由，可得或3，故或．故选：C．【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．本题求解的关键：一是设出向量，的坐标，有利于从“数”的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函数的最小值．8.在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.【详解】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为2，可得设所以，设异面直线与所成的角为，则.单调递减,单调递增,当时，取得最大值为，单调递减,所以此时最小值为，则故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列选项中正确的是（）A.已知，则与垂直的单位向量的坐标或.B.设向量，，若夹角锐角，则.C.若，，则在方向上的投影向量的坐标为.D.若平面向量满足，则的最大值是.【答案】ACD【解析】【分析】对于A项，由向量数量积的坐标表示及单位向量的定义计算即可；对于B项，由向量的数量积与模表示夹角计算即可；对于C项，由投影向量的计算公式计算即可；对于D项，由向量的几何意义数形结合即可.【详解】对于A项，设与垂直单位向量的坐标为，则由题意可得或，故A正确；对于B项，由题意可得：且，解之得且，故B错误；对于C项，由投影向量的公式可得在方向上的投影向量为，故C正确；对于D项，由条件可知，如图所示以原点为圆心分别作单位圆及半径为2和4的大圆，A、B分别位于单位圆和半径为2的圆上，不妨令符合条件，延长OB交半径为4的圆于C点，则，显然，当且仅当O、A、B三点共线且O位于A、B之间时有.故D正确.故选：ACD10.下列说法中正确的是（）A.若，，则.B.若，则.C.设复数满足，且，则.D.若复数满足，则的最小值为.【答案】CD【解析】【分析】对于A，根据复数的概念即可判定；对于B项，根据复数的除法运算及共轭复数的定义计算即可；对于C、D项，由复数的几何意义计算即可；【详解】对于A项，虚数不能比大小，故A错误；对于B项，设，则，，故B错误；对于C项，由条件可设，则，即，所以，故C正确；对于D项，如图所示，在复平面中，，以A为圆心作单位圆，则有由题意设，则点B在A为圆心的单位圆上，连接OA交单位圆于C，显然当B、C重合时，，故D正确.故选：CD11.在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（）A.若，则点的轨迹不可能经过的外心B.若，则点的轨迹不可能经过的垂心C.若，则点的轨迹不可能经过的重心D.若，，则点的轨迹一定过的外心【答案】ABD【解析】【分析】由，结合向量共线推论判断的轨迹，讨论形状判断A、B正误；根据重心的性质得判断C；根据题设确定，，点的轨迹，讨论形状判断D.【详解】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，中，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；中或，则或为三角形垂心，故有可能为垂心，B错；若为的重心，必有，此时，C对；若，，结合，则点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），为锐角三角形，其外心在内，则必过外心；为直角三角形，其外心为斜边中点，则必过外心；为钝角三角形且，其外心在外，即边的另一侧，如下图示，点在平行四边形内（含边界），此时，当外心在内（含边界），则必过外心；当外心在外（如下图为的中垂线），则不过外心；所以，，，的轨迹不一定过的外心，D错.故选：ABD12.在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（）A.若，，，则有两解B.若，则为锐角三角形C.在中，若，则为等腰三角形D.若，则【答案】AC【解析】【分析】利用余弦定理解出，可判断A选项；利用正弦定理可得出，再结合余弦定理可判断B选项；利用平面向量数量积的定义以及余弦函数的单调性可判断C选项；利用正弦定理结合三角恒等变换可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，，由余弦定理可得，即，解得，故有两解，A对；对于B选项，因为，则，设，则，，且为最大内角，由余弦定理可得，则为钝角，故为钝角三角形，B错；对于C选项，在中，若，所以，，因为、且余弦函数在上单调递减，所以，，即为等腰三角形，C对；对于D选项，因为，由正弦定理可得，所以，，整理可得，若，则，从而可得，矛盾；所以，，则，所以，，则，若，则，则，因为，显然，矛盾，D错.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设向量与的夹角为，，则的值为______.【答案】##【解析】【分析】由向量加法的坐标运算即可得，再由向量夹角的计算公式即可得.【详解】由可得，即；所以，故答案为：14.若面积为，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为______.【答案】##【解析】【分析】根据直观图与原图的面积关系计算即可.【详解】如图所示作，CO为其高，由斜二测画法作出其直观图，过作，可得，所以.故答案为：15.点是矩形所在平面内一点，，则____.【答案】##【解析】【分析】利用恒等式进行计算.【详解】如图，设矩形对角线交点为，由，两式平方相加可得：，即，解得，根据恒等式：，由矩形对角线，即，故.故答案为：16.在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____.【答案】【解析】【分析】由余弦定理解得AD，由正弦定理解得∠ABD，从而得∠ABC，根据三角形内角和得∠C，再正弦定理解得BC即可求得面积.【详解】中，由余弦定理可得，即，解得AD=2，再由正弦定理得，显然是锐角，则，∴，又是锐角，所以，故，由正弦定理得，所以，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.中角所对的边分别为，若，.（1）求角的大小；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换计算即可；（2）由余弦定理及基本不等式计算即可.【小问1详解】根据正弦定理可得，又，∴，故；【小问2详解】由（1）得，根据余弦定理可得：，由基本不等式可得，故，当且仅当时取得等号，所以的最大值为4.18.已知复数（i为虚数单位，），且·为纯虚数.（1）求；（2）设复数，对应的点分别为A，B，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的原点），求点C对应的复数.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由·为纯虚数求出，再计算，求模即可；（2）先由四边形OABC为平行四边形求出的坐标，即可求出.【小问1详解】由题意知：，又·为纯虚数，故，解得.则，；【小问2详解】易知，设，由四边形OABC为平行四边形可得，解得，即，故.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可；（2）根据线面夹角得定义及已知可求得AB长，再根据线面垂直判定直线与平面所成角即∠CPD，解三角形即可.【小问1详解】连接，记，为中点，为中点，，又，，∴平面；【小问2详解】因为平面，所以即为直线与平面所成线面角，则.因为矩形中，所以.因为平面，平面，所以，计算可得.又，，，平面，所以，所以即为直线与平面所成线面角，解得.20.如图，在正三棱台中，底面是边长为的正三角形，且.（1）证明：；（2）求异面直线、所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将正三棱台补成正三棱锥，取的中点，连接、，证明出平面，可得出，即可得出结论；（2）【小问1详解】证明：将正三棱台补成正三棱锥，取的中点，连接、，因为为等边三角形，为的中点，则，在正三棱锥中，，为的中点，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，即.【小问2详解】解：取的中点，连接、、、，如下图所示：因为在三棱台中，，且，则，又因为，所以，、分别为、的中点，同理，为的中点，所以，，故正三棱锥的每个面都是边长为的等边三角形，因为为的中点，则，同理，因为、分别为、的中点，所以，，且，所以，异面直线、所成角为或其补角，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得，因此，异面直线、所成角的余弦值为.21.已知在中，，，为内角，，所对的边，，且．（1）求与；（2）若，过作边的垂线，并延长至点，若，，，四点共圆，求的长．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理边角关系可得，结合差角正弦公式求角的大小即可；（2）由四点共圆及正弦定理知，结合圆性质、差角正弦公式求边长即可.【小问1详解】由题设，而，则，所以，即，故，而，则，即，.【小问2详解】设垂线的垂足为，而，则，又，，，四点共圆，则，且，，由，所以.22.在锐角中，角所对的边分别为，，