2022-2023学年上海财经大学附属中学高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海财经大学附属中学高一下学期期末数学试题一、填空题1．函数的最小正周期为．【答案】π【详解】试题分析：因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为【解析】三角函数的周期2．若，，成等比数列，则.【答案】【分析】由等比中项的性质列方程求值即可.【详解】由题设，，可得.故答案为：3．若，，则.【答案】【分析】利用向量的夹角公式直接求解.【详解】因为向量，，所以.因为，所以.故答案为：.4．已知向量、满足，，，则.【答案】/－0.25【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案.【详解】由可得，即，即，所以，故答案为：.5．已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与，则点B的坐标为．【答案】【分析】根据向量的线性运算结合复数的几何意义即可求解.【详解】解：因为，所以点B的坐标为.故答案为：.6．已知，且、（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值为【答案】1【分析】根据实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数及根与系数的关系，即可求解.【详解】因为、（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以，且满足，解得，所以，故答案为：1【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，根与系数的关系，属于中档题.7．若数列满足，，，则数列的前项和.【答案】【分析】根据数列的递推式构造新数列，使所构造的新数列是等比数列，从而可得，再运用分组求和可得.【详解】由得，所以数列是以3为公比的等比数列，其中首项，所以，所以，所以，故答案为：.8．已知，，则.【答案】10100【分析】利用等差数列的前项和公式求解.【详解】，故答案为：10100.9．已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则．【答案】【分析】由无穷等比数列极限的求法可直接构造等式，整理即可得到结果.【详解】，，即.故答案为：.10．若复数和复数满足，，，则.【答案】/【分析】设，根据复数的运算及模的公式即可求解.【详解】设，且，则，又，所以，即，则，因为，所以，所以.故答案为：.11．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是.【答案】【分析】由数学归纳法可知时,左端为,到时,左端,从而可得解..【详解】用数学归纳法证明等式时,当时，左边所得的项是;假设时,命题成立,左端为;则当时,左端为,所以从“”需增添的项是.故填:.【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推,从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.12．“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为.【答案】【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解.【详解】过点作于所以且,其中,当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为；当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为的取值范围是．故答案为：．二、单选题13．已知向量，且，则的值是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根据向量垂直列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以.故选：C14．一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（

）弧度A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求，，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r，弧长l，则，解得，，所以圆心角为，故选：A.15．若如图所对应的是某个函数的一部分图象，则此函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设出函数表达式，根据其图像，依次求出，计算可得函数图像过点，代入函数表达式可得，进而得到答案.【详解】设函数为，由函数图像可知，，函数周期为，所以，所以，当时，函数取得最大值，即函数过，所以，解得即，时，，所以.故选：A.16．我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（

）A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年【答案】C【分析】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果.【详解】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，显然单调递增，而，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量，故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是.故选：C.三、解答题17．已知.(1)若，求实数的值；(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)且【分析】（1）根据向量共线的性质，列式计算即可；（2）设夹角为，则，得到，计算可得的范围，注意与不同向共线.【详解】（1）若，则，解得.（2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则，故只需，解得且与不同向共线，即，所以实数的取值范围为且.18．设复数，其中i为虚数单位，．（1）若是纯虚数，求实数a的值；（2）若，求复数的模．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）计算出，再由复数的分类求解；（2）计算出，然后由模的定义得结论．【详解】（1）由题意，它为纯虚数，则，解得；（2）若，则，所以．19．在中，角对应的边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可求解；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得:代入式子，化简得，，，，即，因为，所以.（2），由余弦定理得，的周长为．20．已知函数.(1)求函数的严格单调递增区间；(2)求函数在区间的值域；(3)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先化简，根据正弦型函数的单调性列出不等式即可；（2）根据范围求出范围，即可得到其值域；（3）分离参数得，利用诱导公式和二倍角余弦公式得，再结合范围，即可求出右边最小值，即得到答案.【详解】（1），令，,得，,故严格单调递增区间为.（2）当时，，所以，故值域为.（3）由题意得设当时，则，则所以.21．设数列的前项和是，且满足.(1)求的值；(2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(3)若数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)14【分析】（