2022-2023学年陕西省西安市莲湖区高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市莲湖区高一下学期期末数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘法法则即可化简求解.【详解】．故选：A2．某超市到月末进行库存盘点，统计到玉米库存还剩四个品种，其中甜玉米42个，黑玉米7个，糯玉米56个，高油玉米35个．现用分层随机抽样抽取40个玉米作为内部嘉奖福利．则抽取的玉米中糯玉米的个数为（

）A．18 B．12 C．16 D．10【答案】C【分析】利用分层抽样的概念及抽取方法，求解即可.【详解】抽取的玉米中糯玉米的个数为．故选：C.3．下列命题正确的是（

）A．任意四边形都可以确定唯一一个平面B．若，则直线m与平面内的任意一条直线都垂直C．若，则直线m与平面内的任意一条直线都平行D．若直线m上有无数个点不在平面内，则【答案】B【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，可根据线面垂直的定义得到.【详解】A选项，空间四边形的四个点不共面，A错误．B选项，根据线面垂直的性质知，若，则直线m与平面内的任意一条直线都垂直，B正确；C选项，若，则平面内存在直线与直线m可能平行或异面，C错误．D选项，若直线m上有无数个点不在平面内，则或m与相交，D错误．故选：B4．某倶乐部有5名登山爱好者，其中只有2人成功登顶珠穆朗玛峰．若从这5人中任选2人进行登山经验分享，则被选中的2人中恰有1人成功登顶珠穆朗玛峰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：设这5名登山爱好者为a，b，c，d，e，其中a，b为成功登顶珠穆朗玛峰的2人．从中任选2人，基本事件为，，，，，，，，，，共10个，则“恰有1人成功登顶珠穆朗玛峰”包含的基本事件有6个，故被选中的2人中恰有1人成功登顶珠穆朗玛峰的概率是．故选：D5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积.【详解】因为在直观图中，，所以，所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，故原图形的面积为．

故选：B6．已知向量的模长为2，向量在向量上的投影向量为，则（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【分析】根据投影向量的定义和求解公式得到，结合，求出答案.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，又向量的模长为2，所以.故选：D7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（

）A． B．3 C．6 D．【答案】B【分析】由三角形的内角和可求出，再由余弦定理结合题意化简即可得出答案.【详解】因为，而，所以，则，得．根据余弦定理可得，故．故选：B.8．如图，在正方体中，E，F，Q，H分别为所在棱的中点，则直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延长FE交的延长线于M，取ME的中点N，证明，再利用几何法求出线面角的正弦作答.【详解】在正方体中，延长FE交的延长线于M，取ME的中点N，连接，QN，，

因为E，F分别为棱的中点，则，有，因此，又为的中点，则，而平面，于是平面，又平面，因此，又，平面，则平面，又H为的中点，而，，从而，四边形是平行四边形，即有，则直线HC与平面EFQ所成的角等于直线与平面EFQ所成的角，令，则，，因此，所以直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为．故选：B【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．二、多选题9．如图，在直三棱妵中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（

）

A．有7个面 B．有13条棱C．有7个顶点 D．平面平面【答案】ABD【分析】根据几何体的结构特征及面面关系即可判断.【详解】由图可知，有面、面、面、面、面、面、面共7个，有顶点共8个，有棱、、、、、、、、、、、、，共13个，平面平面.故正确的选项有ABD.故选：ABD10．已知复数，则（

）A． B．C．z在复平面内对应的点在第二象限 D．【答案】ABD【分析】根据复数的除法运算化简复数,即可由选项逐一求解.【详解】．对于A,，A正确．对于B,，B正确．对于C,z在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误．对于D,，D正确．故选：ABD11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则C可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用正弦定理即可求得，进而求得B，C的值.【详解】根据正弦定理，可得，解得．因为，所以，则，所以或，则或．故选：AC12．如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1，2，3，…，8，任意抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，若事件，事件，事件，则（

）

A．事件A，B相互独立 B．事件A，C相互独立C．事件B，C相互独立 D．【答案】BCD【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，ABC选项，根据独立事件所满足的条件进行判断；D选项，根据事件概率计算即可.【详解】因为事件，事件，事件，所以，，，，所以，，，，，A选项，，事件A，B不相互独立，A错误；B选项，，事件A，C相互独立，B正确；C选项，，事件B，C相互独立，C正确；D选项，，D正确．故选：BCD三、填空题13．已知一组数据为2，6，5，4，7，9，8，10，则该组数据的分位数为.【答案】9【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】将该组数据从小到大排列为2，4，5，6，7，8，9，10，因为，所以该组数据的分位数为9.故答案为：9四、双空题14．已知向量，满足，，且，则；向量与的夹角的余弦值为【答案】2【分析】利用数量积的运算律求解数量积，结合向量夹角公式即可得到结果.【详解】由，得，即.因为，，所以，所以.故答案为：2，.五、填空题15．已知一个圆锥的轴截面是一个边长为6的正三角形，则该圆锥的外接球的表面积为.【答案】【分析】确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的表面积.【详解】如图，设该圆锥的轴截面为，过A作交BC于D，则该圆锥的外接球的球心O在AD上，OA即该圆锥外接球的半径.由题意可得，设该圆锥的外接球的半径为R，则，解得，故该圆锥的外接球的表面积为.

故答案为：16．咸阳市的标志性建筑清渭楼，古朴典雅，蔚为壮观．为了测量清渭楼最高点M与其附近一观测点N之间的距离，取水平方向距离1200米的P，Q两点，测得，，，，其中点M，N，P，Q在同一铅垂面内，则M，N两点之间的距离为米．

【答案】【分析】先在中利用正弦定理求得的长，进而在中利用余弦定理即可求得M，N两点之间的距离【详解】由题意知，，所以，所以在中，米，米．又，，所以．在中，由正弦定理，得，所以（米）．在中，．由余弦定理得，（米）．故答案为：六、解答题17．已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量坐标运算得出，然后再利用向量平行的坐标表示计算得出的值.（2）利用平面向量坐标运算得出，再根据向量垂直的坐标表示计算得出的值.【详解】（1）由题意可得，，因为，所以，解得．（2）由题意可得，，因为，所以，解得．18．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且．(1)求角A的大小；(2)若，，求的周长．【答案】(1)(2)20【分析】（1）先利用题给条件求得，进而求得角A的大小；（2）先利用余弦定理求得，进而求得的周长．【详解】（1）因为，所以，则，所以．又因为，所以．（2）由余弦定理得，，即，得，则，故的周长为．19．某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，以便做出合理的促销方案．现从果园内随机采摘200个蜜桔进行测重，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值；(2)估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）(3)以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，试问该果园的收益是否会更高？【答案】(1)(2)59克/个(3)该果园收益会更高．【分析】（1）由小长方形面积之和为1求解即可；（2）由频率分布直方图平均数的计算方法求解即可；（3）分别计算两种方式的收益，比较大小即可得出答案.【详解】（1）根据题意得，解得．（2）该果园这200个蜜桔的平均质量约为克/个（3）依题意可估计该果园这5万个蜜桔的总质量为万克千克若按原销售方案进行销售，则可获得的收益约为元；若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，则可获得的收益约为元．因为，所以按新方案进行销售，该果园收益会更高．20．如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重（不包含盒子的质量），取铁的密度为．

(1)试问该盒中有多少个这样的零件？(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少的材料？【答案】(1)100个(2)【分析】（1）求出正三棱柱和正三棱台的体积，得到零件的质量和盒中零件数；（2）作出辅助线，求出零件的表面积，得到答案.【详解】（1）设等边三角形的边长为，则由三角形面积公式可得该三角形面积为，故正三棱柱的体积，正三棱台的体积，所以该零件的质量为，所以该盒中共有零件个．（2）如图，设D，分别为三棱台所在棱的中点，O，分别为三棱台上、下底面的中心，连接，OD，，．

因为，所以，同理可得，所以，所以三棱台的侧面积为，所以一个零件的表面积为．因为，所以共需涂的材料．21．某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲每轮射中的概率为，乙每轮射中的概率为．在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮比赛结果也互不影响．(1)求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；(2)求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可；（2）根据二项分布算出甲和乙在三轮比赛中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利用独立事件的乘法公式和概率的加法即可.【详解】（1）设，分别表示甲、乙在第k（，2，3，…）轮射中，则，．设C表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次，则，所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率为．（2）设，，，分别表示甲在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，，，，分别表示乙在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，M表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次．，，，，，，，，所以，故“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率为．22．如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN．

(1)证明：．(2)设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据相似以及线面平行的性质即可求解，（2）由面面垂直可得线面垂直，进而根据二面角以及线面角的定义，即可找到其平面角，利用三角形的边角关系，即可求解.【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，连接ON．

因为，，所以根据相似的性质可得．因为直线平面ACN，平面MBD，平面平面，所以，则，所以．（2）取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF．因为△MAD为等边三角形