2022-2023学年陕西省安康市高二年级下册学期6月期末数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年陕西省安康市高二下学期6月期末数学（理）试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据复数的运算法则求的代数形式，再由虚部的定义确定结论.【详解】因为，所以复数z的虚部为，故选：B.2．设全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简集合，根据集合的运算法则求.【详解】不等式的解集为，所以，又，所以，故.故选：D.3．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断出，且，从而可得答案.【详解】因为，，，所以.故选：B.4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（

）

A． B．24 C．32 D．【答案】D【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径.【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以.设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，

所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为.故选：D5．执行如图所示的程序框图，则输出的（

）

A．6 B．12 C．20 D．30【答案】B【分析】根据程序框图逐步执行可得输出结果.【详解】根据程序框图，可得其执行结果如下：，，，，执行循环体；，，执行循环体；，，跳出循环体.输出.故选：B.6．将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】先求得的图象平移后的解析式，再列出关于的方程，进而求得的最小值.【详解】的图象向右平移1个单位长度后，可得函数的图象，则，，即，.又，故的最小值为1.故选：B7．某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如下图所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，则下列说法错误的是（

）

A．该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占70%B．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多C．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内D．相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加【答案】C【分析】根据扇形统计图和条形图对四个选项逐个判断可得答案.【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为（），则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，，B正确.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，C错误.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，D正确.故选：C.8．记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（

）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】A【分析】由题意可知只有为偶数，从而可求得结果.【详解】因为只有为偶数，所以使得为偶数的排列种数为.故选：A9．已知数列满足，且（），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用题给条件求得（），列出关于的方程，进而求得的值.【详解】（），，解得.故选：A10．已知某正三棱台的顶点都在半径为5的球面上，若该正三棱台的上、下底边长分别是和，则该正三棱台的高为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】运用等边三角形的性质可求得上下底面两个截面圆的半径，结合勾股定理可求得结果.【详解】如图所示，

设正三棱台的上底面所在平面截球所得圆为，下底面所在平面截球所得圆为，所以，，又因为球的半径为5，所以下底面在过球心的截面上，所以，即该正三棱台的高为.故选：D.11．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用，排除A；利用导数研究当时的单调性，两次求导，结合零点存在性定理，可得，排除CD，从而可得答案.【详解】，排除A.当时，.令函数，，，所以在上单调递增，即在上单调递增.，，因为，所以，，即.所以存在，使得，即当时，，当时，.函数在上单调递减，在上单调递增..因为，所以，，排除CD.故选:B.12．在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线与平面所成角的定义，找到的表达式，再由等体积法表示出点E到平面的距离h，则，只需找到的最小值即可.【详解】设点E到平面的距离为h，直线与平面所成的角为，则.不妨设正方体的棱长为2，则，.因为，所以以.连接，过点作，垂足为.易得，当时，最小，当时，最大，则，.故.

故选：D.二、填空题13．已知向量，满足，，则.【答案】【分析】运用平面向量模及数量积公式计算即可.【详解】由题意知，，，，因为，所以.故答案为：.14．函数在区间上的最大值为.【答案】e【分析】求函数导函数，分析函数的单调性，确定函数的最值.【详解】因为，所以，当时，，在上单调递减，所以当时，函数取最大值，最大值为.故答案为：.15．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为.【答案】【分析】法一：作出辅助线，求出，，设出，从而得到，变形后利用基本不等式求出答案；法二：利用余弦定理得到，由基本不等式求出答案.【详解】法一：过点D作，交延长线于点E.令，因为，，所以，，，故，.故，当且仅当，即时，等号成立.法二：令，则，.故，当且仅当时，等号成立.故答案为：16．已知，为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，，则C的离心率为.【答案】【分析】先利用题给条件列出关于的齐次方程，解之即可求得椭圆C的离心率.【详解】因为，，所以，.由及椭圆的对称性可知，四边形为矩形，所以，则，化简得，则椭圆C的离心率.故答案为：三、解答题17．在中，分别是内角的对边，.(1)求角的大小；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行角化边可得，再结合余弦定理运算求解；（2）利用余弦定理解得，再结合正弦定理运算求解.【详解】（1）因为，所以.由正弦定理可得：，根据余弦定理可得，因为，所以.（2）由余弦定理知，即，化简得，解得或（舍去）.由正弦定理知，则.18．近日来，ChatGPT的“火”在教育界引发了热议，尤其是在未来课堂上的实践与应用，引起广泛的关注.某学校计划尝试“ChatGPT进课堂”，随机抽取400名家长，对“ChatGPT”的了解情况进行了问卷调查，得到如下2×2列联表.已知了解的人数为280，不了解的人数为120.男家长女家长合计了解160不了解80合计(1)请补充完整上面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系；(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在该校的家长中随机抽取10人，记对“ChatGPT”了解的男家长人数为X，求X的期望.附：，其中.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，有关系；(2)4【分析】（1）利用题给条件即可补充完整列联表，求得的值并与10.828进行大小比较即可得到是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系；（2）利用二项分布期望公式即可求得X的期望.【详解】（1）男家长女家长合计了解160120280不了解4080120合计200200400.故有99.9%的把握认为家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系.（2）用样本估计总体，将频率视为概率可得，在该校的家长中随机抽取1人，其为对“ChatGPT”了解的男家长的概率为.则，则.19．已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：由题意可得，解方程组求出，从而可求出通项公式，方法二：由，得，两式相减可求出公比，再由可求出，从而可求出通项公式，（2）由（1）得，再利用错位相减法可求得.【详解】（1）方法一：设等比数列的首项为，公比为.由，得，即，解得，故.方法二：设等比数列的首项为，公比为.由，得，两式相减得，即，得.由，得，解得.故.（2）因为，所以，①.②由①-②得，故.20．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，E为的中点，，，且为正三角形.

(1)证明：.(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得平面，再结合线面垂直的性质定理可证得结果.（2）建立空间直角坐标系，运用向量夹角坐标公式计算即可.【详解】（1）证明：取的中点F，连接，，如图所示，

因为，，所以，所以.因为，所以.又因为，，所以，所以.又因为，所以.又因为，、面，所以平面.又因为平面，所以.（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.，，，.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.所以，所以.故二面角的正弦值为.21．已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.(1)求p和m；(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.【答案】(1)，(2)或.【分析】（1）根据抛物线的性质，求出，然后将代入抛物线的方程即可求出m；（2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将转为，从而得到，两者结合即可求出，即可求出点D的坐标.【详解】（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得.故抛物线C：.因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以.（2）设，，，直线的斜率为，直线的斜率为.易知，一定存在，则，.由，得，即，化简得，即因为D到抛物线C的准线的距离，所以，则，即，.，即，解得或，则或.故点D的坐标为或.22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围.（参考数据：.）【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）运用求导公式求导，对进行分类讨论.（2）将两函数图象的交点个数问题转化为函数零点的个数问题，继而运用导数求解.【详解】（1）因为，所以.当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）因为函数与函数的图象有三个不同的交点，所以关于的方程有三个不同的根.令，则有三个不同的零点..当时，单调递增，则至多有一个零点，不合题意.令，则.当时，因为，所以，所以单调递减，所以至多有一个零点，不合题意.