第二章 2.1 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(第一课时)

平面中的直线有几种位置关系？新课引入：空间中的两直线有几种位置关系？一，预习思考：P44-481．异面直线(1)定义：把不同在

平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)任何一个思考1：能否将异面直线理解为分别在两个平面内的直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线？思考2：异面直线与平行直线有什么异同点？也是判断异面直线的依据2．空间中两条直线的位置关系3．平行公理(公理4)与等角定理(1)平行公理：①文字表述：平行于同一条直线的两条直线

．这一性质叫做空间

．互相平行平行线的传递性②符号表述：⇒

.a∥c(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

或

．相等互补4．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的

(或

)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：

.(3)当θ＝

时，a与b互相垂直，记作

.锐角直角0°＜θ

≤90°90°a⊥b思考3：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？

提示：根据等角定理可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关，但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．

[例1]

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF.二，合作探究：[自主解答]

(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.(3)∵A1D1∥BC且A1D1＝BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)设CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点．又AE∥DD1，∴GD1过AA1的中点E，∴直线D1E与CF相交．

1．判断两直线是异面直线的方法:

小结：(2)观察法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一个平面内．(3)反证法：即假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而断定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线．2．判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的

位置关系是 (

)A．a∥c

B．a和c异面C．a和c相交 D．a和c平行、相交或异面及时训练：解析：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线．若令B′C′所在直线为c，则a和c平行．若令C′C所在直线为c，则a和c异面．若令D′D所在直线为c，则a和c相交．答案：D

[例2]

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[自主解答]

(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綊AA1，又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．由等角定理得∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形．∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．∴C1M1＝CM，又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.

(1)定义法：两直线平行须满足：①两直线在同一个平面内；②两直线没有公共点．

(2)公理法(利用公理4)：(3)中位线法；（4）平行四边形法。小结：判断两直线是平行直线的方法:2．如图，四面体A－BCD的四个面分别为△ABC、

△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB，AC，AD上的点，且满足AE∶AB＝AF∶AC＝AG∶AD.求证：△EFG∽△BCD.及时训练：证明：在△ABD中，∵AE∶AB＝AG∶AD，∴EG∥BD.同理GF∥DC，EF∥BC.又∠GEF与∠DBC方向相同，∴∠GEF＝∠DBC.同理∠EGF＝∠BDC，∴△EFG∽△BCD.三课堂检测：课堂强化：1,2,3[例3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)AA1与BC；(2)A1B与AC.[自主解答]

(1)∵AA1∥BB1，∴∠B1BC是异面直线A1A与BC所成的角．又∵∠B1BC＝90°，∴异面直线AA1与BC所成的角为90°.(2)连接A1C1，∵AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角．连接BC1，△A1BC1是正三角形，∴∠BA1C1＝60°，∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.求异面直线所成角的基本步骤(1)作——即据定义作平行线，作出异面直线所成的角，作平行线时，若遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)证——证明这个角或其补角即为所求的角．(3)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是 (

)A．相交 B．异面C．平行 D．相交或异面[错解]

根据条件可知两条直线的位置关系如图所示，故选B.[错因]

本题中没有限制交点的个数，解答时只考虑到有四个交点的情形，没有想象到有三个交点的情形，如图示．