专题03二次根式的运算（4个知识点11种题型2种中考考法）

专题03二次根式的运算（4个知识点11种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：二次根式的加法和减法知识点2：二次根式的乘法和除法知识点3：分母有理化知识点4：有理化因式【方法二】实例探索法题型1：二次根式的加法和减法题型2：二次根式加法和减法的应用题型3：二次根式的乘法题型4：二次根式的除法题型5：分母有理化题型6：解含二次根式的方程或不等式题型7：有理化因式题型8：二次根式的混合运算题型9：二次根式的应用题型10：分母有理化与完全平方公式综合题型11：利用分母有理化比较二次根式的大小【方法三】仿真实战法考法1：二次根式的加减法考法2：二次根式的混合运算【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次根式的加法和减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．知识点2：二次根式的乘法和除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．知识点3：分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．知识点4：有理化因式两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．【方法二】实例探索法题型1：二次根式的加法和减法1．（2022秋•嘉定区期中）计算：+﹣m．【解答】解：+﹣m＝+×m﹣m×＝+﹣5＝﹣．2．（2022秋•宝山区期中）计算：（6﹣）﹣（+）．【解答】解：原式＝6×﹣﹣﹣＝6×﹣﹣﹣＝﹣﹣﹣＝3﹣．3．（2022秋•宝山区期中）计算：﹣（﹣）．【解答】解：原式＝×3﹣×（2﹣4）＝﹣×（﹣2）＝+＝2．4．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．【解答】解：原式＝+x﹣2x＝x﹣2x＝﹣x．5．（2022秋•虹口区校级月考）计算：﹣．【解答】解：原式＝2×（﹣）﹣（）＝﹣+＝﹣．6．（2022秋•嘉定区月考）计算：．【解答】解：原式＝＝+﹣＝．7．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0）．【解答】解：原式＝•2+2×﹣x•+2×＝3+﹣+＝+．8．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：2+﹣12．【解答】解：2+﹣12＝4+5﹣4＝5．9．（2022秋•浦东新区校级月考）计算：．【解答】解：＝•3﹣2a•+8•＝．10．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．【解答】解：4mn﹣（﹣m）＝2mn﹣mn+mn＝mn．题型2：二次根式加法和减法的应用12．（2022秋•虹口区校级期中）化简：+（5≤x≤8）＝．【解答】解：原式＝+＝+，∵5≤x≤8，∴1≤x﹣4≤4，6≤x+1≤9，∴≥1，≤3，∴原式＝﹣1+3﹣＝﹣+2．故答案为：﹣+2．13．（2022秋•虹口区校级月考）计算：＝．【解答】解：设＝（x＞y＞z＞0），两边平方得：13+2+2+2＝x+y+z+2+2+2，比较系数得：x+y+z＝13①，xy＝5②，xz＝7③，yz＝35④，由②得：x＝，代入③得：＝7，即：z＝，代入④得：y2＝52，∴y＝5，∴x＝1，z＝7，∴原式＝1+．故答案为：1+．14.解不等式：．【答案】．【解析】由，得：，即，所以．15.解方程：．【答案】．【解析】由，得：，则，化简，得：．16．（2022秋•静安区校级期中）已知y＝﹣，化简+﹣．【解答】解：∵y＝﹣＜0，∴y＜0，x﹣3≤0，∴x≤3，∴+﹣＝+|y﹣1|﹣|x﹣3|＝|x﹣4|+|y﹣1|﹣|x﹣3|＝4﹣x+1﹣y﹣3+x＝2﹣y．题型3：二次根式的乘法17．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：________．【答案】【详解】解：，∵，∴，18．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）计算：___________．【答案】【详解】解：由题意可得：，19．（2022秋·上海·八年级专题练习）计算：．【答案】【详解】20．（2021秋·上海浦东新·八年级上海市建平中学西校校考阶段练习）计算：．【答案】【详解】解：．21．（2021秋·上海·八年级期中）计算：【答案】【详解】解：原式

题型4：二次根式的除法22．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）计算：______．【答案】【详解】解：．23．（2022秋·上海·八年级统考期中）计算：______．【答案】【详解】解：，24．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）计算：________．【答案】【详解】解：．25．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）_______．【答案】【详解】解：，26．（2021秋·上海·八年级期中）计算：【答案】【详解】解：＝＝＝＝．题型5：分母有理化27．（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【解答】解：原式＝＝﹣3﹣，故答案为：﹣3﹣．28．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）分母有理化：______．【答案】【分析】根据，则可得原式的倒数为，继而化简得出，则可得原式为，然后分子分母同乘以即可得出答案．【详解】解：，∴原式的倒数，∴原式；题型6：解含二次根式的方程或不等式29．（2022秋•奉贤区校级期中）不等式x＞2+2x的解集是．【解答】解：x＞2+2x，x﹣2x＞2，x＜，x＜﹣2﹣4；故答案为：x＜﹣2﹣4．30．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）不等式的解集是____________．【答案】【详解】解：，∴，即，∴，即．31.解关于x的不等式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由， 得：，则，所以， 解得：；（2）由， 得：， 则， 所以．32.解关于x的方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得：，即，所以原方程的解为：；（2）由，得， 所以原方程的解为：．题型7：有理化因式33．（2022秋•奉贤区校级期中）的一个有理化因式是（）A． B． C． D．【解答】解：A、根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故A不符合题意；B、•＝2•＝2（x﹣y），是的一个有理化因式，故B符合题意；C、根据二次根式的乘法法则，+不是的一个有理化因式，故B不符合题意；D、根据二次根式的乘法法则，﹣不是的一个有理化因式，故B不符合题意．故选：B．34．（2022秋•虹口区校级期中）写出a+b的一个有理化因式：．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝（a）2﹣（b）2＝a2x﹣b2y，∴a+b的一个有理化因式：a﹣b，故答案为：a﹣b．题型8：二次根式的混合运算35．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：【答案】．【详解】解：．36．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）计算：【答案】【详解】解：．37．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：【答案】【详解】解：．38．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）化简二次根式：．【答案】【详解】解：原式当时，原式，当时，原式．39．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）计算：【答案】【详解】解：，由二次根式被开方式非负可知，即，，．40．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）计算：【答案】【详解】解：41．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）【答案】【详解】解：．42．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）计算：．【答案】【详解】解：．43．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）化简【答案】【详解】解：====．44．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：．【答案】【详解】解：，根据与得：，∴原式45．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值．【答案】3【详解】解：非零实数a，b满足，由题意可知，，，，，，．题型9：二次根式的应用46．（2021秋·上海普陀·八年级校考期中）等腰三角形有两条边长分别为2cm、3cm，它的周长为_____．【答案】/cm【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，3，因为2+2＜3，不能构成三角形，当3为腰时，三边为3，3，2，符合三角形三边关系定理，周长为：2+3+3＝（2+6）（cm）．故答案为：（2+6）cm．47．（2022秋·上海宝山·八年级统考期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．【答案】【详解】∵三角形的三边长为、、，记，面积，∴当三角形的三边长分别为，，时，，∴面积，∵，，∴，∴，∵介于整数和之间，∴．故答案为：．48．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1），所以，答：的面积是．（2）边上的高，答：边的高是．故答案为（1）；（2）．题型10：分母有理化与完全平方公式综合49．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．【解答】解：∵x＝＝（）2＝5+2，y＝＝5﹣2，∴x+y＝10，xy＝1，∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝102﹣1＝100﹣1＝99．∴x2+xy+y2的平方根为±3．50．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）已知，求的值．【答案】【详解】解：∵，，∴．51．已知，，求的值．【答案】．【解析】∵，，∴．∴．52.已知，求代数式的值．【答案】．【解析】∵，，∴，∴．题型11：利用分母有理化比较二次根式的大小53.不求方根的值比较与的大小．【答案】．【解析】∵，，又，∴．【方法三】仿真实战法考法1：二次根式的加减法1．（2018•上海）下列计算﹣的结果是（）A．4 B．3 C．2 D．【解答】解：﹣＝3﹣＝2．故选：C．考法2：二次根式的混合运算2．（2017•上海）计算：+（﹣1）2﹣+（）-1．【解答】解：原式＝3+2﹣2+1﹣3+2＝+2．【方法四】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．与互为倒数B．若则C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等D．若，则【答案】C【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．【详解】A.，不是互为倒数，选项错误；B.若，由于，则，选项错误；C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；D.由可得，结合可得，，则，选项错误；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．2．（2022秋·上海·八年级专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．【详解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019；∵20222-4×2021=（2021+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2021-1）2=20202，∴b=2020；∵，∴c＞b＞a．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．3．（2021秋·上海普陀·八年级校考期中）下列结论正确的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最简二次根式【答案】D【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．C、∵（2﹣）x＞1，∴x＜，∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．4．（2021秋·上海普陀·八年级校考期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（）A．相等 B．互为相反数C．互为倒数 D．互为有理化因式【答案】A【分析】求出a与b的值即可求出答案．【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故选：A．【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．5．（2021秋·上海·八年级期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.6．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．二、填空题7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：．【答案】【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x和y的符号，根据二次根式的除法法则计算即可．【详解】解：由题意可知，，，∴，，原式故答案为：．【点睛】此题考查二次根式的除法运算，解题关键在于掌握运算法则．8．（2021秋·上海·八年级校考期中）计算：；．【答案】【分析】（1）先将二次根式化简，然后合并同类项即可；（2）根据二次根式的除法运算进行计算求解即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的化简与除法运算，熟练掌握二次根式的化简与二次根式的运算法则是解答此题的关键．9．（2022秋·上海·八年级校考期中）的有理化因式为．【答案】（答案不唯一）【分析】根据有理化因式的定义求解即可．【详解】解：∵．∴的有理化因式为．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定．10．（2023·上海·八年级假期作业）比较大小：．（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】运用平方法来比较二次根式的大小即可．【详解】解：，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比较二次根式大小的方法，两边同时平方，转化为比较幂的大小，此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小．11．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知则的倒数为．【答案】【分析】根据分母有理化，倒数的定义即乘积为1的两个数互为倒数，计算即可．【详解】∵，∴的倒数为，故答案为：．【点睛】本题考查了倒数，分母有理化，熟练掌握定义，灵活进行分母有理化是解题的关键．12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：=．【答案】/【分析】根据完全平方公式展开，然后利用根式的乘方和乘法法则运算即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式与根式的混合运算，解题的关键是熟练运用乘法公式．13．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：．【答案】【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．14．（2020秋·上海浦东新·八年级校考期中）不等式的解集是．【答案】x＜．【分析】首先判断出＜0，再根据解一元一次不等式的步骤得x＜，最后进行分母有理化即可得到结果．【详解】解：∵＜0，解不等式得，x＜，∴x＜，故答案为：x＜．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，注意要掌握分母有理化的方法．15．（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）满足等式的正整数对的个数有个【答案】8【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案．【详解】解：等式可变为：，∵，∴，即，∴，则正整数对可以是：，，，，，，，，∴满足已知等式的正整数对共有8个．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．16．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）比较大小：．【答案】＞【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较．【详解】∵而，∴．故答案为：＞．【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．17．（2021秋·上海·八年级期中）已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为．【答案】【分析】先根据，判断出，，再将原式化简成进行求解．【详解】解：∵，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简求值．18．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）设为的小数部分，为的小数部分，则值为．【答案】【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可．【详解】∵，且，为的小数部分，∴；∵，且，为的小数部分，∴；∴，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键．三、解答题19．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．【答案】【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．【详解】解：．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的性质．掌握二次根式的性质和二次根加减运算法则是解题的关键．20．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．【答案】【分析】直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键．21．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：【答案】【分析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化化简，再计算加减即可．【详解】解：原式【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化和二次根式混合运算的法则是解题的关键．22．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）计算：【答案】【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．【详解】原式．【点睛】本题考查二次根式的化简及加减运算，零次幂，解题的关键是根据二次根式的性质进行化简．23．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）计算：【答案】【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．24．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市南洋模范中学校考期中）已知，求的值【答案】5【分析】根据的值先求出和的值，再对要求的式子进行化简，然后代值计算即可．【详解】解:∵，∴，∴，故答案为5.【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是通分和配方法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．25．（2022秋·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：，其中.【答案】，【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式当时，原式【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．26．（2021秋·上海·八年级期