专题01集合及其表示方法（7个知识点5个考点1种高考考法）

专题01集合及其表示方法（7个知识点5个考点1种高考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：集合的含义（重点）知识点2：集合中元素的特征（重点、难点）知识点3：集合相等知识点4：元素与集合的关系（重点）知识点5：常用数集及其记法知识点6：集合的表示方法（重点、难点）知识点7：集合的分类【方法二】实例探索法考点1：集合中元素的特征的应用（必考）考点2：元素与集合的关系问题（必考）考点3：集合的表示方法（必考）考点4：集合的新定义问题考点5：分类讨论思想在集合中的应用（必考）【方法三】仿真实战法考法：元素与集合的关系【方法四】成果评定法【高考考点】1.集合的含义2.集合中元素的特征（必考）3.集合与元素的关系4.集合的表示方法（必考）【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：集合的含义（重点）集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.【例1】（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上①②④．①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解．【解答】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确，②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正确，③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误，④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解，即原不等式的集合为{1，2，3}，符合集合的定义，故④正确．故答案为：①②④．知识点2：集合中元素的特征（重点、难点）1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的三大特征：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．【例2】（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{2，2a﹣1}，且1∈A，则实数a的值为．【解答】解：∵1∈A，∴2a﹣1＝1，解得a＝1，故答案为：1．知识点3：集合相等若，且，则.①若，且，则.②欲证，只需证，且.【例3】若集合与相等，则______【答案】0【详解】因为集合与相等，所以，解得或（舍去，不满足集合中元素的互异性），知识点4：元素与集合的关系（重点）集合常用大写字母…来表示，集合中的元素用…表示，如果是集合的元素，就记作，读作“属于”；如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”知识点5：常用数集及其记法①自然数集（包含和正整数）②正整数集或③整数集④有理数集⑤实数集【例4】用“”或“”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)eq\f(1,3)______Z；(4)－eq\f(1,2)______R；(5)1______N*；(6)0________N．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)知识点6：集合的表示方法（重点、难点）将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为．集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．常见集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函数自变量构成的集合：④函数因变量构成的集合：⑤函数图象上的点构成的集合：⑥方程组的解：或⑦奇数集：⑧偶数集：①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）.【例5】被4除余2的所有自然数组成的集合___________【答案】【分析】用集合描述法表示.【详解】被4除余2的所有自然数组成的集合故答案为:【点睛】此题为基础题，考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.【例6】用列举法表示方程的解集为______________.【答案】【分析】解方程可得答案.【详解】由得或，所以方程的解集为.故答案为：【例7】用区间表示下列集合：（１）｛x｜１≤x＜２｝；（２）不等式２x≤６的所有解组成的集合．解（１）该集合可用区间［１，２）表示．（２）因为不等式２x≤６的解是x≤３，所以它的所有解组成的集合是（－∞，３］．【例8】下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，B为数集，C为点集．解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．知识点7：集合的分类一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集.【例9】用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合.【详解】解：（1），它是无限集；（2），共有6个元素，是有限集；（3），它是无限集.【方法二】实例探索法考点1：集合中元素的特征的应用（必考）1.（2022秋•黄浦区校级月考）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；故选：D．2．已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______．【答案】3或1【详解】∵3∈A，A={1，2，a22a}，∴a22a=3，解得a=1或33．已知，求实数的值.【答案】【详解】因为所以或或解得或由集合元素的互异性可知且所以，4．含有3个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．【答案】【详解】∵，∴．而，∴．此时，∴．解方程，．当时，与集合中元素互异性不符，∴，．∴．考点2：元素与集合的关系问题（必考）5.给出下列关系：①π∈R；②∈Q；③﹣3∉Z；④|﹣3|∉N；⑤0∉Q，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据数集定义，①π∈R，故①正确，因为为无理数，则②∉Q，故②错误，③﹣3∈Z，故③错误，④因为|﹣3|＝3∈N，故④错误，⑤0∈Q，故⑤错误，故选：A．6．用符号“”或“”填空（1）______，______，______（2）___________Q（3）________【答案】【详解】（1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；（2）是有理数，则；不是有理数，则；（3）7．（2022秋•浦东新区期末）已知集合A＝{2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为．【解答】解：集合A＝{2，a2+3a+3}，且1∈A，则a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或﹣2．故答案为：﹣1或﹣2．8．（2022秋•浦东新区期末）R．（用符号“∈”或“∉”填空）．【解答】解：∈R．故答案为：∈．9．（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{2，2a﹣1}，且1∈A，则实数a的值为．【解答】解：∵1∈A，∴2a﹣1＝1，解得a＝1，故答案为：1．考点3：集合的表示方法（必考）10．集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.【答案】【分析】因为满足，即可得到结果.【详解】因为所以集合11．已知集合，用列举法表示为________．【答案】【详解】由，解得因为，所以可取当取时，对应的值分别为根据集合的互异性可知，故答案为：12.选择适当的方法表示下列集合.（1）Welcome中的所有字母组成的集合；（2）所有正偶数组成的集合；（3）二元二次方程组的解集；（4）所有正三角形组成的集合.【详解】解：（1）列举法：；（2）描述法：；（3）列举法：；（4）描述法：.13．用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【详解】解：（1）大于0且不超过6的全体偶数有，故集合；（2）被3除余2的自然数全体组成的集合；（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合.【点睛】本题考查集合的表示，属于基础题.14.用适当的方法表示下列集合.（1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；（2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.【详解】解：（1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数有3、5、7、11、13、17、19；故由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合为；（2）由所有非负偶数组成的集合为；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合为15.用不同的方法表示下列集合：（1）；（2）；（3）所有被5除余1的正整数所构成的集合；（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点构成的集合．【答案】（1）．（2）．（3）．（4）【详解】解（1）∵，，∴取值为6，3，2，1．从而所求集合为．（2）∵，∴，对应的值为3，0，．故该集合表示为．（3）．（4）．考点4：集合的新定义问题16.设是上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意，有，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（ ）A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集【答案】C17．（2022秋•徐汇区期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，则x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合{1，0，﹣1}是好集；②对任意一个“好集”A，若x、y∈A，则x+y∈A．以下判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【解答】解：对于①，因为1∈{1，0，﹣1}，﹣1∈{1，0，﹣1}，而﹣1﹣1＝﹣2∉{﹣1，0，1}，所以集合{1，0，﹣1}不是“好集”，故①错误；对于②，因为集合A是“好集”，所以0∈A，0﹣y＝﹣y∈A，所以x﹣（﹣y）＝x+y∈A，故②正确，所以①为假命题，②为真命题，故选：D．18．（2022秋•长宁区校级期末）对于x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，定义在R上的函数f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]，若A＝，则A中所有元素的和为（）A．12 B．3 C．14 D．15【解答】解：当0时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+0+0＝0，当时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+0+1＝1，时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+1+2＝3，当时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+1+3＝4，x＝时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝1+2+4＝7，故A＝{0，1，3，4，7}，元素和为0+1+3+4+7＝15．故选：D．19．（2022秋•青浦区校级期中）设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S（a与b可以相等，也可以不相等），a+b∈S且a﹣b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为假命题的是（）A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合{x|x＝k，k∈Z}是“和谐集” C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R【解答】解：A是真命题，S＝{0}是和谐集；B是真命题：设x1＝k1，x2＝k2，k1，k2∈Z，x1+x2＝（k1+k2）∈S，x1﹣x2＝（k1﹣k2）∈S，∴S＝{x|x＝k，k∈Z}是和谐集，C是真命题：任意和谐集中一定含有0，∴S1∩S2≠∅；D假命题：取S1＝{x|x＝2k，k∈Z}，S2＝{x|x＝3k，k∈Z}，S1，S2均是和谐集，但5不属于S1，也不属于S2，∴S1∪S2不是实数集．故选：D．20.定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________【答案】18【详解】当当当当和为21.定义“×”的运算法则为：集合，设集合，，则集合中的元素个数为________.【答案】12【详解】解：因为，所以故集合中含有12个元素22．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．【答案】3【详解】由题意，得当时，；当且时，；当且时，；当且时，；所以含有的元素有：1、2、，即中元素个数为3个.23．（2022秋•闵行区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点（3，5）的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为（3，4）和（3，7）．（2）点P（，）是点（a，b）的“下位点”．证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，∴﹣＝＝＜0，∴，∴点P（）是点（a，b）的“下位点”．（3）可证点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，∴﹣＝＝＝＞0，即＞，∴点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，同理得＝＝，即，∴点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”，∴点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，根据题意知点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”对m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}时恒成立，根据上述的结论知，当n＝2022+2023＝4045，k＝2m+1时，满足条件，故n＝4045．考点5：分类讨论思想在集合中的应用（必考）24．已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，当时，，因此，若都为正数，则；若两正一负，则；若一正两负，则；若都为负数，则.所以代数式表示的所有的值的集合是.25.集合是单元素集合，则实数________【答案】0，2或18【详解】当时，，符合题意；当时，令，即，解得或26.1{a2−a−1，a，−1}，则a的值是_________．【答案】2【详解】当时，解得或若，则集合为，符合题意；若，不满足集合的互异性，舍去；当时，不满足集合的互异性，舍去；则a的值是27.已知集合各元素之和等于3，则实数___________.【答案】或【详解】由题意知：中元素，即为的解，∴或，可知：或∴当时，；当时，，∴或，28.集合且，用列举法表示集合________【答案】【详解】由题意，集合且，可得，则，解得且，当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，此时分母为零，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；综上可得，集合.故答案为：.29.已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．【方法三】仿真实战法考法：元素与集合的关系一．元素与集合关系的判断（共2小题）30．（2023•上海）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（）A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．31．（2019•上海）已知集合A＝[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0∉A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是．【解答】解：当t＞0时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t+4，t+9]，当a∈[t+4，t+9]时，则∈[t，t+1]，即当a＝t时，；当a＝t+9时，≥t，即λ＝t（t+9）；当a＝t+1时，≥t+4，当a＝t+4时，≤t+1，即λ＝（t+1）（t+4），∴t（t+9）＝（t+1）（t+4），解得t＝1．当t+1＜0＜t+4时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t，t+1]．当a∈[t+4，t+9]，则∈[t+4，t+9]，即当a＝t时，≤t+1，当a＝t+1时，≥t，即λ＝t（t+1），即当a＝t+4时，≤t+9，当a＝t+9时，≥t+4，即λ＝（t+4）（t+9），∴t（t+1）＝（t+4）（t+9），解得t＝﹣3．当t+9＜0时，同理可得无解．综上，t的值为1或﹣3．故答案为：1或﹣3．【方法四】成果评定法一．填空题（共12小题）1．（2022秋•杨浦区校级期中）用列举法表示方程组的解集{（，）}．【分析】解方程组，然后用列举法表示该方程组的解集即可．【解答】解：解得，，∴用列举法表示方程组得，．故答案为：．【点评】本题考查了列举法的定义及表示，考查了计算能力，属于基础题．2．（2022秋•长宁区校级期中）所有正奇数组成的集合用描述当表示为{x|x＝2n+1，n∈N}．【分析】由集合的定义直接写出答案即可．【解答】解：所有正奇数组成的集合用描述当表示为{x|x＝2n+1，n∈N}；故答案为：{x|x＝2n+1，n∈N}．【点评】本题考查了集合的表示法的应用，属于基础题．3．（2022秋•浦东新区校级期中）若集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有且只有一个元素，则a的取值集合为{0，1}．【分析】根据条件分a＝0和a≠0两种情况，求出a的取值集合．【解答】解：①若a＝0，则﹣2x+1＝0，解得，满足集合A中只有一个元素，所以a＝0符合题意；②若a≠0，则ax2﹣2x+1＝0为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于Δ＝（﹣2）2﹣4×a×1＝0，解得a＝1．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．4．（2022秋•闵行区校级期中）若A＝{y|y＝x2﹣2x+2}，且a∈A，则的取值范围是（0，]．【分析】直接根据二次函数的图象及其性质可求出集合A，进而判断出a的取值范围，从而得出所求的答案．【解答】解：因为y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1，所以集合A＝{y|y＝x2﹣2x+2}＝{y|y≥1}，因为a∈A，所以a≥1，所以a+2≥3，所以0＜≤，故答案为：（0，]．【点评】本题考查集合的概念，考查数学抽象的数学核心素养，属简单题．5．（2022秋•长宁区校级月考）被7除余2的所有自然数组成的集合可以表示为{x|x＝7n+2，n∈N}．【分析】被7除余2的所有自然数为x＝7n+2，n∈N，然后利用集合的描述法即可求解．【解答】解：被7除余2的所有自然数为x＝7n+2，n∈N，所以组成的集合为{x|x＝7n+2，n∈N}，故答案为：{x|x＝7n+2，n∈N}．【点评】本题考查了集合的表示法，属于基础题．6．（2022•杨浦区校级开学）若﹣2∈{3，5，x，x2+3x}，则实数x＝﹣1．【分析】根据元素与集合的关系进行求解即可．【解答】解：∵﹣2∈{3，5，x，x2+3x}，当x＝﹣2时，x2+3x＝﹣2，与集合中元素的互异性矛盾：当x2+3x＝﹣2时，x＝﹣1或x＝﹣2，检验可得x＝﹣1成立．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．7．（2022秋•静安区校级期中）若集合A＝{x|（k+1）x2+x﹣k＝0，x∈R}有且仅有一个元素，则实数k的值是﹣1或．【分析】对k进行分类讨论，结合判别式求得k的值．【解答】解：当k+1＝0，k＝﹣1时，A＝{﹣1}，符合题意，当k+1≠0，k≠﹣1时，令Δ＝1+4（k+1）k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2＝0，解得，综上所述，k的值为﹣1或．故答案为：﹣1或．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．8．（2022秋•嘉定区校级期中）若集合A＝{x|ax2+2x﹣1＝0，x∈R}只有一个元素，则实数a的取值范围是{﹣1，0}．【分析】集合A＝{x|ax2+2x﹣1＝0，x∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x﹣1＝0只有一个根（一元一次方程）或有两个相等的实数根（一元二次方程），由此可求出实数a的取值范围．【解答】解：当a＝0时，方程ax2+2x﹣1＝0为一元一次方程2x﹣1＝0，只有一个实根，此时集合A只有一个元素；当a≠0时，方程ax2+2x﹣1＝0为一元二次方程，若要使集合A只有一个元素，需使方程ax2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4+4a＝0，解得a＝﹣1，综上所述，实数a的取值范围是{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．【点评】本题考查集合的表示法以及元素与集合的关系，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．9．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，则集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和为28．【分析】根据新定义，求解出z的所有元素，再求所有元素之和．【解答】解：有题意：{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{4，8}，那么：当x＝1时：y＝4或8，可得z：4、8，当x＝2时：y＝4或8，可得z：8、16，故得z的所有元素：4、8、16，即集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素为：4、8、16，元素之和为：16+4+8＝28．故答案为：28．【点评】本题考查集合的基本运算，新定义的应用，是基础题．10．（2022秋•黄浦区校级月考）已知集合A＝有唯一元素，用列举法表示满足集合A的条件的a的取值集合．【分析】由已知可得方程只有一个唯一解，则方程可以为一次方程或者为一元二次方程，然后分别根据方程的特征求解即可．【解答】解：由已知可得方程只有一个唯一解，则方程可以为一次方程或者为一元二次方程，当方程为一次方程时，a＝1或﹣1，当方程为一元二次方程时，x2﹣x+a﹣1＝，则Δ＝1﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝，所以满足条件的实数a的取值集合为{1，﹣1，}，故答案为：{1，﹣1，}．【点评】本题考查了集合的表示法，涉及到方程的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．11．（2022秋•普陀区校级期中）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若u≥v＞0，且u⊗v与v⊗u都是集合的元素，则u⊗v＝．【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系可求．【解答】解：由u⊗v与v⊗u都是集合的元素，不妨设＝，，n1，n2∈Z，因为u≥v＞0，所以，因为，所以＝λ•∈（0，1），因为n2∈Z，所以n2＝1，即，所以∈（），所以∈（），∈（2，4），则＝×＝∈（1，2），因为n1∈Z，所以n1＝3，＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系的应用，考查了推理能力，属于中档题．12．（2022秋•黄浦区校级期中）若集合A＝{x|x2+ax+b|＝2，a，b∈R}中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a+b＝﹣2．【分析】根据二次函数的图象可得，y＝|x2+ax+b|与y＝2恰有三个交点，由题意方程x2+ax+b＝2，有两个解x1，x2，且x1＜x2，一解为直角边x1和另一解为斜边x2，其中一条边直角边为﹣，且x1+x2＝﹣a……①，x1•x2＝b﹣2……②根据勾股定理：……③，当x＝﹣时，函数y＝x2+ax+b的函数值为﹣2，即b＝﹣2……⑤即可求解出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：由题意二次函数的图象可得，y＝|x2+ax+b|与y＝2恰有三个交点，即方程x2+ax+b＝2，有两个解x1，x2，不妨设x1＜x2，∵3个元素恰为直角三角形的三边，∴一解为直角边x1和另一解为斜边x2，其中一条边直角边为﹣（a＜0），且x1+x2＝﹣a……①，x1•x2＝b﹣2……②根据勾股定理：……③，由①②③可得：﹣4（b﹣2）……④当x＝﹣时，函数y＝x2+ax+b的函数值为﹣2，即b＝﹣2……⑤由④⑤解得a＝﹣16，b＝62，所以4a+b＝4×（﹣16）+62＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题考查学生以元素与集合为载体，二次函数图象翻折问题以及图象之间的性质关系的综合应用，属于中档题二．选择题（共4小题）13．（2022秋•浦东新区校级月考）若集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数为（）A．9 B．5 C．3 D．1【分析】根据题意求出B集合，从而得解．【解答】解：∵A＝{0，1，2}，B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}，∴B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴B中元素的个数为5，故选：B．【点评】本题考查元素与集合的关系，属基础题．14．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是（）A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M【分析】通过比较和的平方的大小关系，即可判断AB，再结合集合与元素的关系，即可判断CD．【解答】解：∵15＜20，∴，∴a∉M，故A错误，B正确，实数与实数构成的集合是元素与集合的关系，只有属于和不属于的关系，没有相等不相等的关系，故CD错误．故选：B．【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题．15．（2022秋•浦东新区校级月考）下列结论中，不正确的是（）A．若a∈N，则﹣a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则【分析】利用实数的运算性质对给出的四个选项逐一运算即可得到正确答案．【解答】解：若0∈N，﹣0∈N，所以选项A不正确；因为整数的平方为整数，所以选项B正确；有理数的绝对值是有理数，所以选项C正确；任何实数的立方根都还是实数，所以选项D正确．故选：A．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了实数的运算性质，是基础题．16．（2022秋•宝山区校级月考）集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】讨论m＝1，2，3，4及m≥5，求出满足条件的n，从而可求解．【解答】解：依题意m，n是正整数，x≤30，当m＝1时，由21+3n≤30，可得3n≤28，可得n＝1，2，3；当m＝2时，由22+3n≤30，可得3n≤26，可得n＝1，2；当m＝3时，由23+3n≤30，可得3n≤22，可得n＝1，2；当m＝4时，由24+3n≤30，可得3n≤14，可得n＝1，2；当m≥5时，由2m+3n≥25+3n＞30，不符合题意．又因为m＝1，n＝2时，x＝11，m＝3，n＝1时，x＝11，故集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为9．故选：C．【点评】本题考查了集合的元素个数，属于中档题．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•普陀区校级月考）对于实数a，b的不同取值，求关于x的方程（a+1）x＝3b﹣1的解集．【分析】根据已知条件，分a，b不同的取值，分类讨论，即可求解．【解答】解：当a≠﹣1时，x＝，当a＝﹣1且b＝时，x为一切实数，当a＝﹣1，b时，无解，综上所述，当a≠﹣1时，解集为{}，当a＝﹣1且b＝时，解集为R，当a＝﹣1，b时，解集为∅．【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．18．（2022秋•徐汇区校级月考）已知数集A＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}（a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6），其中a1＝1，对于任意的x、y∈A（x＜y），x+y和y﹣x中至少有一个属于A，求集合A．【分析】设出集合A，然后根据题意检验即可求解．【解答】解：由题意可设A＝{1，2，3，4，5，6}，当x＝1，y＝2时，x+y＝3∈A，y﹣x＝2﹣1＝1∈A，所以集合A满足题意，故A＝{1，2，3，4，5，6}（不唯一）．【点评】本题考查了元素与集合的关系，考查了学生的理解能力，属于基础题．19．（2022秋•徐汇区校级月考）对于两个正整数m、n，定义某种运算“⊙”如下，当m、n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m、n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，求集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}中元素的个数．【分析】根据已知条件，结合运算“⊙”的定义，即可求解．【解答】解：∵当m、n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n，当m、n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，故集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}中元素的个数为13．【点评】本题主要考查集合中元素个数的求解，属于基础题．20．（2022秋•长宁区校级月考）设集合M＝{x|x＝a2﹣b2，a，b∈Z}．（1）判断元素7是否属于M，并说明理由；（2）已知实数x0＝4k﹣2（k∈Z），证明：x0∉M；（3）对任意x1，x2∈M，判断x1x2是否是集合M中的元素？并证明你的结论．【分析】（1）令a＝4，b＝3时，a²﹣b²＝7，则可判断．（2）假设4k﹣2∈M，则4k﹣2＝a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），a，b∈Z，再分a，b同为奇数或偶数以及a，b为一奇一偶两种情况进行讨论可解．（3）设，，（a，b，c，d∈Z），表示出x1•x2，即可解．【解答】解：（1）根据题意可得，当a＝4，b＝3时，a²﹣b²＝7，则7∈M，（2）证明：假设4k﹣2∈M，则4k﹣2＝a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），a，b∈Z，若a，b同为奇数或偶数，则（a+b）（a﹣b）为4的倍数，而4k﹣2被4整除余数为2，所以等式不成立，若a，b为一奇一偶，则（a+b）（a﹣b）为奇数，而4k﹣2是偶数，所以等式也不成立，故x0∉M；（3）证明：因为对任意x1，x2∈M，设，，（a，b，c，d∈Z），x1•x2＝（a²﹣b²）（c²﹣d²）＝（a²c²+b²d²）﹣（a²d²+b²c²）＝（a²c²+b²d²+2abcd）﹣（a²d²+b²c²+2abcd）＝（ac+bd）²﹣（ad+bc）²，因为a，b，c，d∈Z，所以ac+bd∈Z，ad+bc∈Z，故x1x2∈M，【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．21．（2022秋•浦东新区校级期中）对正整数n，记In＝{1，2，3，⋯，n}，．（1）用列举法表示集合P2；（2）求集合P5中元素的个数；（3）若Pn的子集A中任意两个元素的和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，证明：存在n使得Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集，且n的最大值为14．【分析】（1）由题意可得I2＝{1，2}，由m∈In，k∈In，可得P3＝{1，2，，}；（2）对于集合P5，有n＝5．当k＝4时，根据Pn中有2个数与In＝{1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P5中元素的个数．（3）先用反证法证明当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．【解答】解：（1）由题意可得I2＝{1，2}，由m∈In，k∈In，可得P2＝{1，2，，}．（2）对于集合P5，有n＝5．当k＝1时，m＝1，2，3…，5，Pn＝{1，2，3…，5}，5个数，当k＝2时，m＝1，2，3…，5，Pn对应有5个数，当k＝3时，m＝1，2，3…，5，Pn对应有5个数，当k＝4时，Pn＝{|m∈In，k∈In}＝Pn＝{，1，，2，}中有2个数（1，2）与k＝1时Pn中的数重复，当k＝5时，m＝1，2，3…，5，Pn对应有5个数，由此求得集合P5中元素的个数为5×5﹣2＝23．（3）证明：先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn⊇In，不妨设I∈A，则因1+3＝22，故3∉A，即3∈B，同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1+15＝42，这与A为稀疏集矛盾．再证P14符合要求，当k＝1时，P14＝{|m∈I14，k∈I14}＝I14，分成两个稀疏集之并集，事实上，只要取Λ1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14．当k＝4时，集合中除整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并集，．k＝9时，集合中除正整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并集：，．最后，集合中的值的分配，为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此．令A＝A