奉贤高考补习班,恒高教育任意角及其度量、三角比

优质资料优质资料§1任意角及其度量、三角比一、基本知识点1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．规定：按 方向旋转形成的角叫做正角，按 方向旋转形成的角叫做负角．如果没有作任何旋转，我们称它形成了一个 ．我们把开始位置的射线称为始边，结束位置的射线称为终边，如不作特别说明，一般以x轴正半轴作为始边。（2）终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合$=与角a终边关于x轴对称的角构成的集合$=与角a终边关于丫轴对称的角构成的集合$=与角a终边关于原点对称的角构成的集合$=（3）坐标轴上角如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴正半轴上的角的集合可记作｛a|a=2kn,k£Z｝；②终边在x轴负半轴上的角的集合可记作③终边在丫轴正半轴上的角的集合可记作④终边在丫轴负半轴上的角的集合可记作⑤终边在x轴上的角的集合可记作⑥终边在丫轴上的角的集合可记作；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作．（4）象限角使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的 重合.角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①a是第一象限角可表示为；②a是第二象限角可表示为；③a是第三象限角可表示为；④a是第四象限角可表示为.弧度制（1）把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．=，其中1是半径为「的圆的圆心角a所对弧的长.（2）弧度与角度的换算：180°o_n__rad弧度制将任意角与实数之间建立了一一对应的关系，即任意一个实数都可作为一个角.5（3）若圆心角a用弧度制表示，则弧长公式1= ;扇形面积公式$扇==.任意角的三角函数（1）任意角的三角函数的定义设a是一个任意角，它的终边上任意一点P（x,丫）与原点的距离为r（r>0）,则sina=,cosa=,tana=（x，0）,TOC\o"1-5"\h\zcota=（y，0）, \、「疆seca=（x?0）, ,csca=（y，0）. f（2）正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sinacosatanacotasecacsca(3)三角函数值在各象限的符号j'A yjkTOC\o"1-5"\h\z+ + - + 一 +~0qO o- - - + + -sina cosa tana三角函数线如图，角a的终边与单位圆交于点巳过点P作X轴的垂线，垂足为乂，过点做1,0）作单位圆的切线，设它与a的终边（当a为第一、四象眼角时）或其反向延长线（当a为第二、三象眼角时）相交于点［根据三角函数的定义，有OM=x=,MP=y= ,AT== J£OM,MP,AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,人「分别叫做角a的 、 、 ，统称为三角函数线．

r改的整边二、基础自测1.在坐标系中画出特殊角的终边：11兀在［—兀,兀)内找出与下列各角同终边的角：460。，——;给出下列命题：①小于的角是锐角；②第二象眼角是钝角；③终边相同的角相等；④若a与P有相同的终边，则必有a-P=2kn(k£Z).其中正确命题的个数是()TOC\o"1-5"\h\zA．0 B．1 C．2 D．3终边在第一、三象限角平分线上的角的集合是.5．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A-n B6C-n D-6解析将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故人、8不正确，又因为拨快10

、一… 1 , 1n…分钟，故应转过的角为圆周的渭为-6x2n一本答案C6.特殊角的三角函数值角a0。30。45。60。90。120。135。150。180。270。360。弧度0兀兀兀兀2兀3兀5兀兀3兀2兀sina01肥巡1更企10-10cosa1召盘10_1_走_血101tana0后1不存在-43-1_苴0不存在0cota不存在V131*0_且-1-X3不存在0不存在G-fJ5;secacsca7.（2014全国）已知角a的终边经过点（一4,3）,则cosa=（）A.B.C．－D．－解：cosa==一.故选D.sinl,cosl,tanl的大小关系是（）sinl<cosl<tanltanl<sinl<coslC.cos1<tan1<sin1D.cos1<sin1<tan1解：如图，单位圆中/MOPnlrad>rad,•••OM<<MP<AT,・・.cos1<sin1<tan1.故选D.三、例题解析【例1【例1】(1)在坐标系中写出以下射线为终边的角的集合：【例2】(1)若4n<口<6加且a与-fn终边相同，则a=316答案：5n(2)(2014.XX调研)已知角a=45°,在区间［-720°,0°］内与角a有相同终边的角万=.【例3】(1)若a是第三象限角，则180°-a是第象眼角.解析：:a是第三象限角，，k360°+180°<a<k-360°+270°,，-k360°-270°<-a<-k.360°-180°,-(k+1)360°+270°<180°-a<-(k+1)360°+360°,其中keZ,所以180°-a是第四象限角．答案：四(1万、(2)已知角a的终边上有一点的坐标为一,--,若ae(-2n,2n),则所有的a组12 2J成的集合为 ．(1解析：因为角(1解析：因为角a的终边上有一点的坐标为-12子31，所以角a为第四象限角，且tana一立即a=-3+垢，后，因此落在(-2%为内的角a的集合为卜本察【例4】如图所示，已知扇形人。8的圆心角/人08=120。，半径口=6,求:

①AB的长；②弓形ACB的面积.2n-解：①•••NAOB=120°=e，R=6,32n/.l="3x6=4n.1 1盘=]x4nx6-2x62x方=12n-9',,;3.1 1盘=]x4nx6-2x62x方=12n-9',,;3.【例5】扇形人。8的周长为8cm.若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小.解：设扇形半径为「，则弧长为8-2r,1・・.S=2.(8-2。「=3,解得r=1或3.宜、区弧长8-2r0.2；•圆心角8=半径=—r-=6或3.【例6】已知扇形的圆心角是a，半径为口，弧长为l.①若a=60°,R=10cm,求扇形的弧长l；②若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)a=60°=：,l=10x3=-3-(cm).(2)由已知得，l+2R=20,所以S=1lR=1(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5时，S取得最大值25,此时l=10(cm),a=2rad.【例7】已知角a的终边经过点P(a,2a)(a>0),求sina,cosa,tana的值.解：・・・角a的终边经过点P(a,2a)(a>0),.\r=\''5a,x=a,y=2a.y 2a 2、J5 xa-..,'5y2a・•.sina=F=蕊=^"，cosa=r=75a=T，tana=X=万=2.【例8】已知角a的终边经过点以31^-9,m+2).①若m=2,求5sina+3tana的值；②若cosa<0且sina>0,XX数用的取值X围.解：(1),.，m=2,・，.P(-3,4),・，.X=-3,y=4,r=5.y4Ay4Asina=7=7r5tana=y=-4.x34 (。一...5sina+3tana=5xg+3x[-§J=0.[3m-9<0,•「cosa<0且sina>0,.'I -2<m<3— lm+2>0.【例9】(1)已知人(0,2k)，则满足sina=1角a的集合是J1，草!；2 l66I(2)满足sina>1的角a的集合是【例10】(1)即已知0<a<2n,求证：|sina|+|COSa|>1.证明：作平面直角坐标系xOy和单位圆.①当角a的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox轴，设它交单位圆于人点，如图1,显然sina=0,cosa=OA=1,所以|sina|+|cosa|=1.②当角a的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP,设它交单位圆于人点，过A作AB，x轴于B,如图2,则sina=BA,cosa=OB.口OAB中，|BA|+|OB|>|OA|=1,所以|sina|+|cosa|>1.综上所述，|sina|+|cosa|>1.兀、…(2)求证：当a£(0,—)时，sina<a<tana.2证明：如图所示，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A,线交OP的延长线于T,过P作PM，OA于M,连接AP,则在Rt△POM中在田△人。丁中，12口a=人丁，又根据弧度制的定义，有=a•OP=a,易知1POA<S扇形poa<"“明到Mp<2・OA<；OA-ATJDsina<a<tana.四、巩固练习(一)基础训练.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的班长是()2A.2 B.. C2sin1D.sin2过点A作圆的切,sina=MP,解：班长公式1过点A作圆的切,sina=MP,得出rsin2=1,所以r=焉.故选B.sn.已知角a的终边经过点已一4@,34但<0),则2sina+COSa的值为()A.-B.C.0口.或-解：*/x=-4a,y=3a,a<0,/.r=-5a,...sina=-,cosa=,2sina+cosa=2x+=-.故选A..已知角a的终边上有一点P(t,t2+1)(t>0),则tana的最小值为()A.1B.2C.；D.\也解：根据已知条件得12n口=，1=1+；22,当且仅当t=1时，tana取得最小值2.答案B.已知a和p的终边关于直线y=x对称，且外小则sina等于()3A.-^B手C.-1 D.1又0=-或所以a

3解：因为a和p的终边关于直线旷=*对称，所以a+p=2kn+又0=-或所以a

35n 1一一=2版+/k斗，即得甑a=2.［答案］D.(2014.XX模拟)已知角a(0<a<2昉的终边过点P(sin__,cos__)，则a=..一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,则该扇形的圆心角的弧度数为.解：设圆的半径为r皿弧长为lcm,圆心角为a,11r-1 rr_1l|2r=, 解得｛=: ••朋心角a=；=2.11=2. rl+2r=4,.点P从(1,0)出发，沿圆心在原点的单位圆逆时针方向运动|n弧长到达点Q,3则^的坐标为.解：由三角函数的定义知点Q(x,y)满足故填..若一扇形的周长为600^,那么当它的半径和圆心角各为©1^和rad时，扇形的面积最大．解：设该扇形的半径为「，圆心角为仇弧长为1,面积为S,则l+2r=60,.・.l=60-2r..•.S=lr=(60-2r)r=-r2+30r=-(「-15)2+225.・•.当r=15时，$最大，最大值为225cm