基于反步设计法的鲁棒自适应控制器设计

基于反步设计法的鲁棒自适应控制器设计

1料理罗斯普夫-料马克尔斯泰格算法近年来，非线性系统的自适应越来越受到重视。自适应控制与弹簧控制的结合是控制理论研究的一个重要方向。它有效地提高了自适应控制体系的鲁棒性，改善了系统的性能。Backstepping方法又称为反步设计法,是针对不确定非线性系统进行的鲁棒自适应跟踪控制器设计的主要方法之一,该方法不仅能保证所有闭环系统信号的全局有界性,并能对闭环系统过渡响应进行分析。但是由于它在设计过程中主要是靠递推来完成,递推的每一步都要对未知参数进行估计,即存在过参数化的问题。本文针对不确定非线性系统,在反步设计法的基础上,通过引入调节函数,选取合适的虚拟控制律,设计了一种鲁棒自适应控制器。然后,利用利亚普诺夫方法证明了对该设计的稳定性和有界性。并通过Matlab仿真试验,证明该设计不仅能避免过参数化的问题,而且保证所有闭环系统信号的全局有界性和稳定性。2ix,t非织造条件假设考虑如下不确定非线性系统:{˙xi=xi+1+ϕ0i(x1,⋯,xi)+ϕΤi(x1,⋯,xi)θ+ξi(x,t),(1≤i≤n-1)˙xn=ϕ0n(x)+ϕΤn(x)θ+g0(x)u+ξn(x,t)y=x1(1)式中,u,y分别为系统的输入和输出;x∈Rn为系统状态;θ=[θ1,…,θp]T∈Rp为p维未知常向量;ϕ0(x),ϕi(x1,…,xi),(1≤i≤n)为已知光滑非线性函数向量;ϕ0i为已知光滑非线性函数。对于∀x∈Rn,g0(x)≠0,ξi(x,t)(1≤i≤n)为系统的不确定性,包括非线性不确定性,有界干扰和时变参数等。下文把ϕ0(x),ϕi(x1,…,xi),g0(x)简记为ϕ0,ϕ1,g0其余的以此类推。对于系统式(1),作如下假设:假设1系统不确定性ξi(x,t)满足如下条件:|ξi(x,t)|≤λi|μi|,(1≤i≤n)(2)式中,λi>0(1≤i≤n),μi(x1,…,xi)(1≤i≤n)为已知光滑非线性函数。该假设实际上定义了相当广泛的一类不确定性。如果系统仅存在有界扰动时,如ξi=asin(ωt),(1≤i≤n)该假设满足;当ξi=θT(t)×vi(x1,…,xi),(1≤i≤n),θ(t)为时变有界未知参数向量,vi已知时,ξi也满足该假设;当ξi包含非线性不确定性,比如ξi=xisinωixi(1≤i≤n),ωi未知时,ξi也满足该假设。控制目标是设计合适的控制律和自适应律,使得该不确定非线性系统能够达到良好的鲁棒自适应性和稳定性,避免过参数化问题。3-1,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5针对系统式(1),本文在文献的基础上,引入调节函数τ(x),来解决该问题。其步骤如下:第1步:令z1=x1,z2=x2-α1,则:˙z1=˙x1=x2+ϕ01+θΤϕ1+ξ1=z2+α1+ϕ01+θΤϕ1+ξ1(3)令虚拟控制律:α1=-c1z1-ϕ01-ˆθΤϕ1-Κ1z1μ21(4)将式(4)代入式(3),可得:˙z1=-c1z1+z2-Κ1z1μ21+(θΤ-ˆθΤ)ϕ1+ξ1(5)选Lyapunov函数V1=2-1z21+2-1(θ-ˆθ)Τ(θ-ˆθ),对V1求导,且利用式(5)可得:˙V1=z1˙z1-(θ-ˆθ)Τ˙ˆθ=-c1z21+z1z2-Κ1z21μ21+z1(θ-ˆθ)Τϕ1+z1ξ1-(θ-ˆθ)Τ˙ˆθ(6)取调节函数τ1=z1ϕ1,由式(4)和式(6),利用上面的假设可得:˙V=-c1z21+z1z2-Κ1z21μ21+z1ξ1-(θ-ˆθ)Τ(τ1-˙ˆθ)≤-c1z21+z1z2-Κ1z21μ21+|z1|⋅λ1⋅|μ1|+(θ-ˆθ)Τ(τ1-˙ˆθ)≤-c1z21+z1z2+λ21/(4Κ1)-(Κ1z1μ1-λ1/2)2/Κ1+(θ-ˆθ)Τ(τ1-˙ˆθ)≤-c1z21+z1z2+λ21/(4Κ1)+(θ-ˆθ)Τ(τ1-˙ˆθ)(7)第2步:令z3=x3-α2,由z2=x2-α1,对两边求导可得:˙z2=˙x2-∂α1/∂x1˙x1-∂α1/∂ˆθ˙ˆθ=z3+α2+θΤ(ϕ2-∂α1/∂x1ϕ1)-∂α1/∂x1x2-∂α1/∂x1ξ1+ξ2∂α1/∂ˆθ˙ˆθ(8)令虚拟控制律:α2=-c2z2-z1-ˆθΤ(ϕ2-∂α1∂x1ϕ1)+∂α1∂x1(x2+ϕ01)-ϕ02-∂α1∂ˆθτ2-Κ2z2μ22-Κ2z2|∂α1∂x1μ1|2(9)取调节函数:τ2=τ1+z2(ϕ2-∂α1/∂x1ϕ1)(10)选取Lyapunov函数V2=V1+2-1z22,对V2求导,且利用式(4),式(7),式(9),式(10)可得:˙V2≤-c1z21-c2z22+z2z3+λ21/(4Κ1)+λ21/(4Κ2)+λ22/(4Κ2)(θ-ˆθ)Τ(τ2-˙ˆθ)+z2∂α1/∂ˆθ(τ2-˙ˆθ)(11)第i步:取调节函数τi:τi=τi-1+zi(ϕi-i-1∑j=1∂αi-1/∂xjϕj)(12)αi=-cizi-zi-1-Κiziμ2i-Κizii-1∑j=1(∂αi-1/∂xjξj)2-(ϕ0j-i-1∑j=1∂αi-1/∂xj(xj+1+ϕ0j))+ˆθΤ(ϕi-i-1∑j=1∂αi-1/∂xjϕj)+∂αi-1/∂θτi+(ϕi-i-1∑j=1∂αi-1/∂xjϕj)i-1∑j=2zj∂αj-1/∂ˆθ(13)选取Lyapunov函数Vi=Vi-1+2-1z2i,对Vi两边求导,可得:˙Vi≤-i∑j=1cjz2j+zizi+1+i∑j=1i∑m=jλ2j/(4Κm)+i-1∑j=2zj∂αj-1∂ˆθ(τi-˙ˆθ)+(θ-ˆθ)Τ(τi-˙ˆθ)(14)第n步:令zn=xn-αn-1,则:˙zn=˙xn-n-1∑j=1∂αn-1∂xj˙xj-∂αn-1∂ˆθ˙ˆθ=ϕ0n+g0u+θΤ(ϕn-n-1∑j=1∂αn-1∂xjϕj)-n-1∑j=1∂αn-1∂xj(xj+1+ϕ0j)+∂αn-1∂ˆθ˙ˆθ-n-1∑j=1∂αn-1∂xjξj+ξn(15)选Lyapunov函数Vn=Vn-1+2-1z2n,g0≠0,所以可选取:u=-g-10[cnzn+zn-1+ϕ0n+ˆθΤ(ϕn-n-1∑j=1∂αn-1∂xjϕj)+n-1∑j=1∂αn-1∂xj(xj+1+ϕ0j)-∂αn-1∂ˆθτn)+Κnznμ2n+Κnznn-1∑j=1|∂αn-1∂xjμj|2-(ϕn-n-1∑j=1∂αn-1∂xjϕj)zj×n-1∑j=2∂αj-1∂ˆθ](16)选取调节函数:τn=τn-1+zn(ϕn-n-1∑j=1∂αn-1∂xjϕj)(17)˙ˆθ=τn(18)对Vn两边求导,可得:V˙n≤-∑j=1ncjzj2+∑j=1n∑m=jnλj2/(4Κm)(19)这里式(16)是设计的控制律,式(18)是设计的自适应律,至此,控制器的设计完成。4vn-2cvn引理1若:V˙≤-2cV+Μ(20)则V(t)≤V(0)exp(-2ct)+M/(2c)。定理1针对系统式(1),在控制率式(16)和自适应率式(18)作用下,则该闭环系统具有鲁棒自适应稳定性,且所有输出信号均一致有界,并满足‖y‖≤[2V(0)/]1/2exp(-2ct)+[M/c]1/2。证明假设c=min{cj,1≤j≤n},则由式(19)可得:V˙n≤-∑j=1ncjzj2+∑j=1n∑m=jnλj2/(4Κm)≤-2c(∑j=1n2-1zj2+2-1∑j=1n∥θ˜j∥2)+c∑j=1n∥θ˜j∥2+∑j=1n∑m=jnλj2/(4Κm)(21)式中,θ˜j=θ-θ^j,1≤j≤n。令Μ=∑j=1n∑m=jnλj2/(4Κm)+c∑j=1n∥θ˜j∥2,则式(21)可变成式(20)的形式,即V˙n≤-2cVn+Μ。设V=Vn,则由引理知:V˙n≤-∑j=1ncjzj2+∑j=1n∑m=jnλj2/(4Κm)≤-2c(∑j=1n2-1zj2+2-1∥θ˜∥2)+∑j=1n∑m=jn)λj2/(4Κm)+c∥θ˜∥2(22)式中,θ˜=θ-θ^。令Μ=∑j=1n∑m=jnλj2/(4Κm)+c∥θ˜∥2,则式(19)可变成:V˙n≤-2cVn+Μ(23)‖y‖2=‖x1(t)‖2≤2V(t)≤2V(0)exp(-2ct)+M/c≤([2V(0)]1/2exp(-ct)+[M/c]1/2)2至此,定理得证。5参数估计变换曲线及自适应律考虑如下非线性系统:{x˙1(t)=x2+x12(t)θΤ(t)+ξ1(t)x˙2(t)=u(t)+ξ2(t)y(t)=x1(t)(24)假设ξ1(t)=x1(t)sint,ξ2(t)=2x1(t)sin2t,ξ1≤|x1|,ξ2≤|x1|,满足假设条件,取λ1=1,λ2=2,μ1=x1,μ2=x1。依据本文算法,可求得控制律u:u=-c2z2-z1+∂α1/∂x1x12θ^+∂α1/∂x1x2+∂α1/∂θτ2-Κ2z2μ22-Κ2z2(∂α1/∂x1μ1)2(25)式中,∂α1/∂θ^=-x12;∂α1/∂x1=-3Κ1x1-2θ^Τx1-c1;各参数选择为c1=c2=K1=K2=1。自适应律为,θ^˙=τ2。系统状态x1(t)和x2(t)变化情况,如图1所示。控制量和参数估计的变换曲线,如图2所示。从图中可以看出,在不确定性干扰输入存在