抛物线的几何性质 全市获奖

抛物线的几何性质1、抛物线定义

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.2、抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p>0)(2)开口向左y2=-2px(p>0)(3)开口向上x2=2py(p>0)(4)开口向下x2=-2py(p>0)M·Fl·e=1焦点准线由抛物线y2=2px（p>0）有所以抛物线的范围为如何研究抛物线y2=2px（p>0）的几何性质?类比椭圆和双曲线可以从几个方面来研究？1、范围关于x轴对称即点(x,-y)

也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，2、对称性

定义：抛物线与坐标轴的交点称为抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点是（0，0）.3、顶点P(x,y)

抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。

由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.4、离心率xyOFABy2=2px2p过焦点且垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5、通径连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：xyOFP(x0,y0)6、焦半径1、当焦点在x轴上时，2、当焦点在y轴上时，方程图形范围对称性顶点焦半径离心率通径

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2p2p2p2p1111归纳:

(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；

(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,⑸、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.

因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，解：所以设方程为：又因为焦点F(5，0)，

所以p=10因此所求抛物线标准方程为：例题讲解：例1．求顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)的抛物线方程。对应训练：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。光学性质：例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0)

1、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P

=

。

2、抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为

。42巩固提高：3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：焦点在直线x-2y-4=0上.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线