湖南省永州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省永州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．已知，，则（

）A． B． C． D．3．的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（

）A． B． C． D．4．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（

）A． B．2C． D．45．在中，，，，则（

）A． B． C． D．6．已知一组数据为30，40，50，50，55，60，70，80，90，则其极差、第50百分位数和众数的大小关系是（

）A．极差第50百分位数众数 B．众数第50百分位数极差C．极差众数第50百分位数 D．极差第50百分位数众数7．《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，在四棱柱中，棱锥即为阳马，已知，则阳马的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知，点是边上的一点，，，，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．16评卷人得分二、多选题9．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．在复平面内对应的点位于第三象限B．若是纯虚数，那么C．D．若、在复平面内对应的向量分别为、（为坐标原点），则10．在下列关于概率的命题中，正确的有（

）A．若事件A，B满足，则A，B为对立事件B．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件C．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件D．若事件A，B满足，，，则A，B相互独立11．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．过作直线，则C．过，，三点的平面截此正方体所得的截面图形可能为五边形D．三棱锥的外接球的半径的取值范围是第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为_________14．在直角三角形中，，，将此三角形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为________15．定义平面非零向量之间的一种运算“”，记（其中是非零向量，的夹角）．若，均为单位向量，且，则________．16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为________．评卷人得分四、解答题17．在平行四边形中，为中点，记，．(1)试用，表示；(2)若，，，求与的夹角．18．中国神舟十三号载人飞船于2022年4月16日圆满完成飞行任务，神州十三号的成功又一次激发了广大中学生对于航天的极大兴趣.某校举行了一次主题为“航天梦，强国梦”的知识竞赛活动，用简单随机抽样的方法，在全校选取100名同学，按年龄大小分为大龄组甲和小龄组乙两组，每组各50人，所有学生竞赛成绩均在60~100之间，甲组竞赛成绩的频率分布表和乙组竞赛成绩的频率分布直方图，如下图所示．组号组频数频率第一组50.1第二组ab第三组150.3第四组100.2(1)求a，b，x的值；(2)若以平均分为依据确定小组成绩的优劣，你认为哪个小组成绩更优？请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若成绩不低于90分的同学称为“航天追梦者”，以选取的100名同学作为样本，试估计该校2000名学生中“航天追梦者”的人数．19．如图1，在边长为的菱形中，，为线段的中点；将沿折起到的位置，使得平面平面，连接，，如图2．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．20．某品牌电脑售后保修期为一年，根据1000台电脑的维修记录资料（保修期内所有电脑维修次数均不超2次），这1000台电脑在保修期内需要维修1次的有300台，需要维修2次的占．以这1000台电脑维修次数的频率代替1台电脑维修次数的概率．(1)求1台电脑保修期内不需要维修的概率；(2)若某人购买2台这个品牌的电脑，2台电脑在保修期内是否需要维修互不影响，如果2台电脑保修期内需要维修的次数总和不超过2次的概率大于0.8，则认为该品牌电脑“值得信赖”，请判断该品牌电脑是否“值得信赖”，并说明理由．21．如图所示，在四棱锥中，已知底面是边长为6的菱形，，，，为线段上的点，且．(1)证明：平面平面；(2)为线段上的一点，且平面，求的值及直线与平面的夹角．22．如图，设中角A，，所对的边分别为a，b，c，为的中点，已知，．(1)若，求；(2)点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】根据共轭复数的概念判断即可；【详解】解：复数的共轭复数是.故选：A2．B【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据数量积的坐标运算计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以.故选：B3．A【解析】【分析】直接利用正弦定理计算可得；【详解】解：因为，由正弦定理，即，解得.故选：A4．D【解析】【分析】作出原图形，且得出原图形中的线段长度，由三角形的面积公式可求得答案.【详解】解：作出原图形如下图所示：则，所以该平面图形的面积为，故选：D.5．B【解析】【分析】在中，根据求得，再利用余弦定理即可得出答案.【详解】解：在中，，，，所以，所以.故选：B.6．A【解析】【分析】分别算出极差，第50百分位数和众数即可比较大小.【详解】极差为，因为%，所以第5个数55即为第50百分位数，又众数为50，所以它们大小关系是极差第50百分位数众数.故选:A.7．B【解析】【分析】结合线面垂直的判定与性质可得到，，，均为直角三角形，分别求得各面的面积，加和即可得到所求的阳马的表面积.【详解】由题意知：平面，平面，，又，平面，，平面，平面，；同理可得：；则，，，均为直角三角形，，，，，，阳马的表面积.故选：B.8．C【解析】【分析】设，，则，则由已知可得，，然后化简，化简后可利用基本不等式求得结果【详解】在中，，设，，则，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16，所以的最小值为4，故选：C9．BC【解析】【分析】利用复数的几何意义可判断AD选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的乘法可判断C选项.【详解】对于A选项，在复平面内对应的点（-3,2）位于第二象限，A错；对于B选项，为纯虚数，则，可得，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，由已知可得，，则，所以，，D错.故选：BC.10．CD【解析】【分析】对于A：举反例判断命题不成立；对于B：由互斥事件的定义直接判断；对于C：由相互独立事件的性质直接判断；对于D：利用公式法直接判断.【详解】对于A：若事件A、B不互斥，但是恰好，满足，但是A，B不是对立事件.故A错误；对于B：由互斥事件的定义可知，事件A、B互斥，但是A与也是互斥事件不成立.故B错误；对于C：由相互独立事件的性质可知：若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件.故C正确；对于D：因为事件A，B满足，，，所以，所以A，B相互独立.故选：CD11．AD【解析】【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，所以，D正确.故选：AD12．ABD【解析】【分析】对于A，连接，可得平面∥平面，然后进行判断即可，对于B，连接，可证得，从而可得结论，对于C，当点为的中点时，过，，三点的平面为平面，然后向线段两端点运动再进行判断即可，对于D，连接，交于点，过作平面交于，则球心一定在上，当点与重合时，可求出的最小值，当点与或重合时，可求出的最大值【详解】对于A，连接，则∥，因为平面，平面，所以平面∥平面，所以动点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确，对于B，连接，则正方体的性质可知，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，所以B正确，对于C，当点为的中点时，过，，三点的平面为平面，当点从的中点向运动时，截面过平面，点从的中点向运动时，截面过平面，则过，，三点的平面与正方体最多与正方体的四个面相交，所以截面最多为四边形，所以C错误，对于D，连接，交于点，可得为的中点，所以在中，到各顶点的距离相等，过作平面交于，则球心一定在上，且，设半径为，则题意可得，当点与重合时，，得，当点与或重合时，≌，所以，此时最大，所以三棱锥的外接球的半径的取值范围是，所以D正确，故选：ABD13．10【解析】【分析】按照分层抽样规则计算可得；【详解】解：依题意可知高一年级需要选派的人数为人.故答案为：14．##【解析】【分析】由题可知得到的几何体是两个同底圆锥的组合体,由体积公式可得答案.【详解】将三角形绕直线旋转一周得到的几何体是两个同底圆锥的组合体,在直角三角形中，,所以圆锥底面圆的半径为1，两个圆锥的高的和为，所以几何体的体积为,故答案为：15．【解析】【分析】由数量积的定义可得，的夹角，利用新定义和向量模长的计算公式以及数量积的定义可得答案．【详解】，且，，又，则；，故答案为：16．【解析】【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，再利用正弦定理及三角变换可得，，然后利用基本不等式即得.【详解】∵，∴，，又，∴，即，∴，∴或(舍去)，∴，∴，∴，当且仅当，即时取等号，故答案为：.17．(1)(2)90°【解析】【分析】（1）由向量的加法法则和向量的线性运算可求得答案；（2）由已知求得，再运用向量的夹角运算求得答案.(1)解：由题可知；(2)解：因为，记与的夹角为，则，所以与的夹角为.18．(1)，，(2)甲组成绩更优，理由见解析(3)300人【解析】【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图可得答案；（2）分别算出两组的平均分作比较即可；（3）根据所给数据算出甲、乙两组中“航天追梦者”的频率，然后可算出答案.(1)由甲组的频率分布表可知，，由乙组的频率分布直方图可知，，(2)记甲组平均分为，，记乙组平均分为，，因为，即甲组成绩更优.(3)由频率分布表可知，甲组中“航天追梦者”的人数为10，乙组中“航天追梦者”的人数为，甲、乙两组中“航天追梦者”的频率，甲、乙组中“航天追梦者”的人数为.19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由已知面面垂直证得线面垂直，从而证得线线垂直.(2)利用等体积法求出点到平面的距离.(1)在图1中连接，，为等边三角形

又为的中点

即

在图2中，平面平面，交线为，平面平面

平面

(2)在图2中，连接，平面，平面

又，平面

平面，则

即，均为直角三角形

在中，，设点到平面的距离为故

即点到平面的距离为20．(1)0.5(2)认为该品牌“值得信赖”，理由见解析【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率公式计算可得；（2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；(1)解：（1）由题意可知该品牌电脑保修期内维修1次的概率为：，该品牌电脑保修期内维修2次的概率为：，该品牌电脑一年不需要维修的概率为：.(2)解：品牌表示第1台电脑在保修期内维修次的事件（）品牌表示第2台电脑在保修期内维修次的事件（）

与相互独立，都互斥

2台电脑保修期内需要维修的次数总和为0的概率：2台电脑保修期内需要维修的次数总和为1的概率：

2台电脑保修期内需要维修的次数总和为2的概率：

2台电脑保修期内需要维修的次数总和不超过2次的概率

所以认为该品牌“值得信赖”.21．(1)证明见解析(2)，【解析】【分析】（1）设与相交于点，连接，依题意可得、，即可得到平面，从而得证；（2）在线段上作点，过点作，交于，连接，，由线面平行的性质及三角形相似求出，过作，交于点，连接，则为直线与平面的夹角，再根据线段关系求出角即可；(1)证明：设与相交于点，连接，四边形为菱形，，

，，

又，平面，

则平面，

平面，平面平面.(2)解：在线段上作点，过点作，交于，连接，，，，则，故，，，四点共面，平面，平面，平面平面，

，故四边形为平行四边形，则，，，

，，

在中，，，在（1）知，又，平面，

平面，

过作，交于点，故且，在中，，，

连接，在中，，平面，则为直线与平面的