浙江省绍兴市诸暨市2021-2022学年高二下学期学考模拟（5）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页浙江省绍兴市诸暨市2021-2022学年高二下学期学考模拟（5）数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．集合，用列举法可以表示为（

）A． B．C． D．2．（

）A．1 B． C． D．3．设x，y为正数，则的最小值为（

）A．6 B．9 C．12 D．154．已知命题，则的否定是（

）A． B．C． D．5．复数,则在复平面内，z对应的点的坐标是（

）A． B． C． D．6．为了得到函数的图象，需要把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．8．已知点O，P在△ABC所在平面内，且，，则点O，P依次是△ABC的（

）A．重心，垂心 B．重心，内心 C．外心，垂心 D．外心，内心9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为A．4+2 B．4﹣2 C．1 D．110．某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（

）A． B．C． D．11．已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．12．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（

）A． B．C． D．13．如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到）分别是（

）A．， B．，C．， D．，14．法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高，底宽，则塔身的表面积（精确到是（可能用到的参考数据：，A． B．C． D．15．已知，不等式恒成立，实数取值范围是（

）A． B．C． D．评卷人得分二、多选题16．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下甲选手：78

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乙选手：72

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94则以下结论正确的是（

）A．甲成绩的极差比乙成绩的极差小B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数小C．甲成绩的方差比乙成绩的方差小D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大17．设，是两条不同的直线，，是不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若＝＝，则△ABC一定是等边三角形；②若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形；③若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形；④若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形.上面四个结论正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题19．已知定义在上的函数满足：，当时，，则等于___________.20．半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为，则此石凳的体积是________．21．已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______．评卷人得分四、双空题22．设x，y为实数，若，则的最大值为________；的最小值为_________.评卷人得分五、解答题23．已知函数（1）求函数的单调减区间；（2）求当时函数的最大值和最小值．24．如图，△ABC为正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（1）当AD＝2时，求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角为60°，求AD的长．25．已知函数.（1）若，求实数a的取值范围；（2）设，函数.（i）若，证明：；（ii）若，求的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】直接根据条件列举即可.【详解】解：因为，可得；所以.故选：C2．A【解析】【分析】根据对数的除法运算即可得出结果.【详解】故选：A.3．B【解析】【分析】根据基本不等式进行求解即可.【详解】，因为x，y为正数，所以（当且仅当时取等号，即当时取等号），因此，故选：B4．C【解析】【分析】利用特称命题的否定求解.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以的否定是：.故选：C5．D【解析】【分析】根据题意，求出复数的实部与虚部，即可求解.【详解】由题意得，，因此z对应的点的坐标为.故选：D.6．C【解析】【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论．【详解】函数，根据图像左加右减的变换原则，只需把函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：．7．C【解析】【分析】结合函数零点的存在性定理即可得出结果.【详解】因为是连续的减函数，，，，，有，所以的零点所在的区间为．故选：C8．C【解析】【分析】根据内心、外心、重心、垂心以及向量运算等知识确定正确答案.【详解】由于，所以是三角形的外心.由于，所以，同理可证得，所以是三角形的垂心.故选：C9．D【解析】先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可知的值，代入到余弦定理中求得．【详解】解：由已知可得：，解得：，又，由正弦定理可得：，由余弦定理：，解得：，．故选：．【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．10．D【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式，列出方程组，即可求得的值.【详解】因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，所以，即，解得.故选:D.11．A【解析】【分析】作出图象，令，数形结合，可得时有1个根，时有2个根，将所求转化为，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.【详解】作出图象，如图所示，令，当时，与图象有1个交点，即有1个根，当时，与图象有2个交点，即有2个根，则关于的方程转化为，由题意得，解得，方程的两根为，因为关于的方程有三个不同的实数，则，解得，满足题意.故选：A12．D【解析】【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，讨论当0<x<1时函数值的符号，利用排除法进行判断即可.【详解】的定义域为R.因为，所以为奇函数，故排除A、C.当时，有，所以，，所以，故排除B.故选：D13．C【解析】根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数，利用最高矩形底边的中点值可得出众数.【详解】由频率分布直方图得，自学时间在的频率为，自学时间在的频率为，所以，自学时间的中位数为，众数为.故选：C.【点睛】本题考查中位数、众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．C【解析】【分析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥表面积公式求解．【详解】如图，正四棱锥，底面，，，则，所以，作，则所以该塔身的表面积故选：．15．A【解析】【分析】将不等式恒成立转化为，令，若，等价于；若，等价于，运用一元二次不等式对应的一元二次方程根的分布分类讨论，求出的取值范围即可.【详解】，，，即，令，若，，等价于，令，，，若，，即，①当，即时，不等式在上恒成立；②当，即或时，要使不等式在上恒成立，则有，解得，，综上所述，实数取值范围是.故选：A.16．ABC【解析】【分析】根据已知条件，分别求出极差，中位数，众数，平均值，即可依次求解．【详解】由题中的数据，可得甲的极差为，乙的极差为，甲成绩的极差比乙成绩的极差小，故A选项正确，甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，甲成绩的众数比乙成绩的中位数小，故B选项正确，观察甲、乙数据，可得甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更离散，甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C选项正确，甲成绩的平均数为，乙成绩的平均数为，甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小，故D选项错误．故选：ABC17．BD【解析】【分析】利用线线、线面、面面之间的位置关系逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】对于选项A：，，则可能相交、平行或异面，故选项A不正确；对于选项B：若，，则，，又，则，故选项B正确；对于选项C：若，，，则可能平行或异面，故选项C不正确；对于选项D：若，，可得，又因为，所以，故选项D正确.故选：BD18．AC【解析】【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个结论即可．【详解】对于①，若，则，即，即，即是等边三角形，故正确；对于②，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于③，若，所以，所以，即，则是等腰三角形，故正确；对于④，中，，又，所以角为锐角，但题中没有告诉最大，所以不一定是锐角三角形，故错误；故选：AC．19．【解析】【分析】根据题意，得出，得到是最小正周期为2的周期函数，从而算出，由时，，结合，算出，即可得到所求的函数值.【详解】，，可得是最小正周期为2的周期函数，，，即，因此，，而，所以，故答案为：.20．【解析】【分析】根据题意，该石凳是由棱长为cm的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，故由正方体的体积减去个三棱锥的体积，即可求解.【详解】解：由图可知：该石凳是由棱长为cm的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，该石凳的体积为：.故答案为：.21．6【解析】【分析】设，，，，根据条件，借助平面图形得到点的轨迹，即可得到结果．【详解】如图，设，，，，连接，，则由可知四边形为矩形，则．由，可得，连接，则，所以点在以点为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为．故答案为：6.22．

【解析】【分析】只需将中配成形式，再用基本不等式即可；直接将不等式变形为在再化简为，然后将该不等式应用到上式中即可.【详解】当且仅时等号成立，所以的最大值为又则当且仅当时等号成立故的最小值为故答案为：；23．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将化为，然后解出不等式即可；（2）当时，，然后可求出答案.【详解】（1）令，可得所以函数的单调减区间为（2）当时，，所以即24．（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）根据长度关系得到AE⊥平面BCD，得到证明.（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，计算HQ，AH，计算得到答案.【详解】（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，则A在底面BCD内的射影为△BCD的外心，∵△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，∴A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，∴AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，可得BC⊥平面AOE，过A作AH⊥OE于H，过H作HN∥BC交CD于N，连接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离为2HQ，则sin60，得HQ，设AH＝x，有，解得x，即AH，又AO，∴H与O重合，则AD．【点睛】本题考查了面面垂直，根据线面夹角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.25．（1）或（2）（i）证明见解析（ii）【解析】【分析】（1）对底数分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；（2）（i）若，则，令，则，所以，，根据对称轴与区间的中点值之间的关系求出最大值，对最大值配方可证不等式成立；（ii）若，则，令，则，所以，，分类讨论