概率论复习题

第一章1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。解：设Ai={取到第i个箱子}，i=1,2，Bj={第j次取到一等品}，j=1,2（1）由全概率公式（2）所求概率为，其中故：2.某段时间[t0,t0+t]内，t>0，证券交易所来了k个股民的概率为，k=0,1,2……，λ>0，每个来到交易所的股民购置长虹股票的概率为p，且各股民与否购置这种股票互相独立。（1）求此段时间内，交易所共有r个股民购置长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内有r个股民购置了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。解：设Ak={交易所来了k个股民}，k=0,1,2,……，B={有r个股民购置长虹股票}。（1）由于， 故由全概率公式可得（2）由Bayes公式得所求概率为显然，3.设一射手每次命中目的的概率为p，现对同一目的进行若干次独立射击，直到命中目的5次为止，则射手共射击了10次的概率为（A） （B）（C） （D）解：B4.设有三个事件A,B,C，其中P(B)>0,P(C)>0，且事件B与事件C互相独立，证明：分析：运用关系式证明：由于事件B和事件C互相独立，故事件B和事件互相独立，又由于因此从而有第二章1.假设一厂家生产的每台仪器，以概率能够直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以概率能够出厂；以概率定为不合格品不能出厂。现该厂生产了台仪器，假设各台仪器的生产过程互相独立，试求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中正好有两件不能出厂的概率β；（3）其中最少有两件不能出厂的概率θ。解：设A={一台仪器能出厂}，B={一台仪器能直接出厂}，C={一台仪器经调试能出厂}，则，且B与显然互不相容。于是令X表达n台仪器中能出厂的台数，则有X～B(n,。故（1）（2）（3）由于最少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂，故2.假设随机变量X的绝对值不不不大于1，在事件出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求：X的分布函数；X的取负值的概率p解：由条件知，当时又于是，当时当，时，故（2）3.假设一设备开机后无端障工作的时间X服从参数为的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无端障的状况下工作2个小时便关机，试求该设备每次开机无端障工作的时间Y的分布函数解：由题意得，于是又X的分布函数是参数的的指数分布，即其分布函数为因此，当时，，即=1；当时，，即故设随机变量X的概率密度为是X的分布函数，试求随机变量的分布函数解：的分布函数为注意到为分布函数，于是有，因此，当时，；当时，；当时，由于为单调增加函数，从而存在反函数，故（表达F的反函数）即的分布函数为：第三章1.设（X，Y）的联合密度为0，其它试求：（1）常数C；（2）P（X=Y）；（3）P（X＜Y）。解：由得C=4。（2）由于x=y为平面上的一条直线，而二维持续型随机变量在平面上任何一条曲线上获得的概率均为零，故P（X=Y）=0；（3）P(X＜Y)====2.设持续型随机变量X，Y互相独立且服从同一分布，证明P(X≤Y)=.证明：不妨设X，Y的密度函数为，于是由X与Y互相独立得（X，Y）的联合密度为于是P(X≤Y)=由于被积函数有关对称，故但其中表达整个平面，因此即P(X≤Y)=.3.在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3件，令X表达其中一等品数，Y表达其中二等品数，试求：（X，Y）的联合分布律（X，Y）有关X和Y的边沿分布律X和Y与否互相独立在X=1的条件下Y的条件分布。分析：由题意知X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3。因此用古典概型分别计算它们的概率即可解：（1）由于当而当分别将代入计算可得（X，Y）的联合分布律以下表YXYX01232Y010000Y00（2）由联合分布律易得两个边沿分布律为XXY0120123XXXXX（3）由于P（X=1，Y=0）=0，但P（X=1）=，P（Y=0）=，故P（X=1，Y=0）P（X=1）P（Y=0）。因此X与Y不互相独立由于P（Y=j|X=1）==而于是在X=1的条件下Y的条件分布为1121/43/44.设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（X，Y）|0<x<1,|y|<x}，试求（X，Y）有关X和有关Y的边沿密度和条件密度分析：求边沿密度时，首先拟定随机变量的取值范畴，X（或Y）的取值范畴是二维随机变量（X，Y）的取值范畴在X轴（或Y轴）上的投影，在取值范畴外，密度函数的值为0解：易知D的面积为1，故(x,y)的联合密度函数为：1，0，其它因X的取值范畴为（0，1），于是当0<x<1时，又Y的取值范畴为（-1，1），于是当时故：由于在Y=y的条件下，当时，X的条件下分布不存在；当时，故X的条件密度函数为同理可得：5.某种商品一周的需求量X是一种随机变量，其概率密度为假设各周的需求量互相独立，以表达k周的总需求量求的概率密度求接连三周中的周最大需求量的概率密度。分析：若以表达第周的需求量则互相独立且同分布，，从而问题归结为求随机变量的函数的分布解：运用卷积公式设表达第周的需求量表达三周中的周最大需求量，于是，且与同分布由卷积公式，的密度为由于的分布函数为故的密度函数为6.设随机变量与互相独立，的密度函数为，的分布律为试求的密度函数分析：这是一种求两个随机变量的和函数的分布问题，两个随机变量中一种为离散型，另一种为持续型，从而写不出“联合密度”，因此在分布函数的求法，也就是概率的计算办法上有所不同解：由于的分布函数为因此，的密度函数为：第四章设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，设在各交通岗碰到红灯是互相独立的，其概率均为2/5，求途中碰到红灯次数的数学盼望与方差。解：设X表达途中碰到红灯的次数，则X～B(3,2/5)，因此 E(X)=np=3×2/5＝6/5 D(X)=np(1-p)=3×2/5×3/5=18/25设互相独立的两个随机变量X，Y含有同一分布，且X的分布律为X01p1/21/2 求Z=min(X,Y)的数学盼望与方差。解：因X与Y独立同分布，因此（X，Y）的联合分布律为：YXY0101/41/411/41/4由此得Z=min(X,Y)的分布律为：Z=min(X,Y)01p3/41/4因此E(Z)=0*3/4+1*1/4=1/4E(Z2)=02*3/4+12*1/4=1/4D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2=1/4-1/16=3/16设随机变量X的概率密度为ax,0<x<2f(x)=cx+b0其它又已知E(X)=2，D(X)=2/3，求：a,b,c的值随机变量Y=eX的数学盼望与方差解：（1）由于f(x)为概率密度函数，故即有：2a+2b+6c=1又故有4a+9b+28c=3因D(X)=2/3，于是即于是有6a+28b+90c=7联立（1）、（2）、（3）解得a=1/4、b=1、c=-1/4（2）由（1）知 x/40<x<2f(x)= 0其它于是故设X～N(μ,σ2)，Y～N(μ,σ2)，且设X，Y互相独立，求Z1＝αX+βY，Z2=αX-βY的有关系数（其中αβ是不为0的常数）解：Cov(Z1,Z2)=Cov(αX+βY,αX-βY) =α2Cov(X,X)-αβCov(X,Y)+βαCov(Y,X)-β2Cov(Y,Y)=α2D(X)-β2D(Y)=(α2-β2)σ2又X，Y互相独立，因此D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2故卡车装运水泥，设每袋水泥重量X（以公斤计）服从N(50,，问最多装多少袋水泥使总重量超出的概率不不不大于。解：设最多装n袋水泥使总重量超出的概率不不不大于，n袋水泥的总重量为Y，Xi表达第i袋水泥的重量，i=1,2......n，则X1，X2，......Xn独立同服从N(50,，且Y=X1+X2+......+Xn，于是 E(Y)=E(X1)+E(X2)+......+E(Xn)=50n D(Y)=D(X1)+D(X2)+......+D(Xn)= 即Y～N(50n，， 查表得 故最多装39袋水泥。6.6.第五章1.现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式预计和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超出的概率。解：设X表达所取的6000粒种子中良种的粒数，由题意可知X～B(6000,1/6)，因此 E(X)=np=1000，D(X)=np(1-p)=5000/6，要预计的概率为。（1）由切比雪夫不等式知，（2）由德莫弗－拉普拉斯中心极限定理知：2.一种食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一种随机变量，它取1（元）、（元）、（元）各个值的概率分别为、、。某天售出300只蛋糕。求这天的收入最少400（元）的概率；求这天售出价格为（元）的蛋糕多于60只的概率。解：设Xk（k=1,2,...300）表达售出的第k只蛋糕的价格，则X1、X2、..