浙江树人大学高等数学竞赛章程

浙江树人大学高等数学竞赛章程第一条总则树人大学高等数学竞赛（以下简称竞赛）是由校大学生科技竞赛委员会主办、树人大学基础部承办的面向全校大一学生的一项科技竞赛，旨在激发我校学生学习数学的积极性，提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，同时也为省高等数学竞赛（5月底）、全国大学生数学竞赛（10月底）和全国大学生数学建模竞赛（9月初）选拔人才。第二条竞赛内容1．竞赛分为三个类别，分别为理工类、经管类和文专类。（1）理工类面向信息学院、生环学院的所有本科专业以及城建学院的土木工程专业。（2）经管类面向管理学院和现代服务业学院的所有本科专业。（3）文专类面向所有开设高等数学类课程的文科、专科各专业以及城建学院除土木工程外的各本科专业。2.各类别竞赛内容分别为（1）理工类：极限、导数（及应用）、不定积分、定积分（及应用）、微分方程；（2）经管类：极限、导数（及应用）、不定积分、定积分（及应用）、微分方程；（3）文专类：极限、导数（及应用）、不定积分、定积分。3.竞赛试题以当前正在使用的《高等数学》、《微积分》或《应用高等数学》教材及配套习题册作为出题的主要依据。第三条竞赛形式、规则和纪律1．竞赛由树人大学基础部数学教研室统一命题，闭卷考试方式，考试时间为120分钟。2．竞赛一般在每年3，4月的某一周的周二下午13：30—15：30举行。3．参赛对象为大一学生，以班级为单位报名参赛。原则上每班报名人数不超过班级人数的25％。4．参赛学生携带至少两证(身份证、学生证或一卡通）入场参赛。工作人员将密封的赛题按时启封发给参赛学生，参赛学生在规定时间内完成答卷，并准时交卷。5．对违反竞赛规则的参赛学生，一经发现，取消参赛资格，成绩无效。第四条组织形式竞赛由校大学生科技竞赛委员会主办，树人大学基础部承办，校数学建模社团与校学生会学习部协助基础部完成竞赛的各项组织工作。由基础部数学教研室负责拟定赛题、安排场地、组织监考、阅卷和评奖、颁发获奖证书和奖品。报名表将发放到各个班级，以班级为单位报名。报名截止时间以报名表上注明的为准。第五条评奖办法评卷采用流水批卷形式，按理工、经管、文专三个类别分别从高分到低分确定奖级。竞赛每个类别均设一、二、三等奖，三个奖级占本类别参赛人数的比例分别为：一等奖5％、二等奖10％、三等奖25％，赛后发放获奖证书及奖品。校大学生科技竞赛委员会浙江树人大学基础学院2018-3附：（样卷仅供参考。本届赛题覆盖范围与往届不一定相同，以本章程正文中提供的范围为准）HYPERLINK\l"样卷一"样卷一（17年理工类试卷）HYPERLINK\l"样卷二"样卷二（17年经管类试卷）HYPERLINK\l"样卷三"样卷三（17年文专类试卷）样卷一：浙江树人大学第十一届《高等数学》竞赛(2017)工科类试卷考试时间：120分钟题号一二三四五六七总分分值2424128121010100得分一、计算题：（每题6分，共24分）1..2..3..4..二、填空题：（每题4分，共24分）1.设常数，则____________.2.设，则____________.3.设是由所确定的隐函数，则___________.4.设连续，则________________.5.设_______________.6.设是某个二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则该方程是________________________.三、(12分)设函数满足方程和.(1)求的表达式.(2)求曲线的拐点.四、(8分)求数列中的最大者.五、(12分)设在(为正整数)上有连续的导数,在内二阶可导，且，证明：(1)存在，使得；(2)任取正整数，存在，使得.六、(10分)设在上有连续的二阶导数,,证明：(1)；(2)若，则.七、(10分)设抛物线通过原点，且当时，.若该抛物线与轴、直线所围成平面图形的面积为，试求的值，使得这个图形绕轴旋转所成的旋转体体积最小.浙江树人大学第十一届《高等数学》竞赛(2017)工科类试卷答案一、1.(3分)(6分)2.(3分)(6分)3.(3分)(6分)4.(3分)(6分)二、1.；2.；3.；4.；5.；6..三、解：(1)由题设，，其通解为(3分)将代入得，.所以，.(5分)(2)利用可知，.于是，(7分).(9分)当时，有；当时，有，又，故曲线的拐点为.(12分)四、解：设，则，得.(4分)在上单调增加，在上单调减少，故为在上的最大值点.(6分)可知和可能为最大者，因为，故为最大者.(8分)五、证明：(1)若，由Rolle定理，结论明显.(1分)若，因为在上连续，所以在上连续，且有最大值和最小值.于是，，故.(3分)由介值定理，存在，使得.(5分)应用Rolle定理，存在，使得.(7分)(2)令(为任取正整数)，则由.(9分)应用Lagrange中值定理，存在，使得，即.(12分)六、证明：(1).(5分)(2)由(1)及，有(7分).(10分)七、解：因为经过原点，所以.(1分)由题设，，即.(3分)于是，图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积为：.(6分)所以，.令，得惟一驻点.(8分)又，则是的最小值点.此时，.(10分)样卷二：浙江树人大学第十一届《高等数学》竞赛(2017)经管类试卷考试时间：120分钟题号一二三四五六七总分分值21271010101012100得分一、填空题（每空格3分，共21分）1....2.若，则常数，.3.设是连续函数，则＝．4.设，则.二、计算题(每小题9分,共27分)1.，求2.3.讨论方程根的个数．三、(10分)在曲线上求点，使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度最小.四、(10分)在上连续且满足,求.五、(10分)设为的一个原函数，为的一个原函数，且，求.六、(10分)在上连续,在内可导,且满足.,使得.七、(12分)若在的某个邻域中有连续的一阶导数，且存在，证明：.浙江树人大学第十一届《高等数学》竞赛(2017)经管类试卷答案一、填空题（每空格3分，共21分）1.-1,-1,2.-1,33.04.二、计算题(每小题9分,共27分)1.2.3.讨论方程根的个数．解：令，则在内递增当时，，当时，.故在内单调增加，在内单调减少．由于，所以在和内分别有一个零点，即方程有两个根．三、(10分)在曲线上求点，使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度最小.解：设点的坐标为，则过该点的切线与两坐标轴的交点为.两交点的距离令，则，.0+不存在0+减极小值增减极小值增，，.四、(10分)解：.两边积分得:所以..五、(10分)解：.六、(10分),有.由罗尔定理得：,使得,即.七、(12分)证：其中,,由得：.样卷三：浙江树人大学第十一届《高等数学》竞赛（2017.4）文专类试卷考试时间：120分钟题号一二三四五六七八总分分值241810771888100得分一、填空题(每空格3分,共24分)1.2.设是可导函数,且则3.设,则4..abxc5.如果在abxc则函数在处取得______________(填“极大值”、“极小值”或“无极值”;曲线在上的凹凸性为________.二、计算下列极限(每小题6分,共18分)1.2.3.三、设,求,(10分)四、设,求.(7分)五、设是连续函数,且,求.(7分)六、求下列积分(每小题6分,共18分)1.2.3.七、设可导函数满足,求(7分)八、证明：当时,(7分)浙江树人大学第十一届《高等数学》竞赛（2017.4）文专类试卷解答一、填空题(每空格3分,共24分)1.2.3.4.5.

极小值，凹.二、计算下列极限(每小题6分,