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文档简介

2021年九年级数学中考复习——几何小专题:

三角形综合之解答题专项

1.如图,在中,N/C3=9(T,AC=BC,。为/C边的中点,AELAB交BD

的延长线于点E,连接CE.

(1)尺规作图:作N/C夕的平分线交3后于点尸(保留作图痕迹);

(2)求证:DE=DF-,

(3)探究助与。E之间的数量关系,并证明结论.

2.如图,已知点。到△/BC的两边/A/C所在直线的距离相等,且08=。。.

(1)如图①,若点。在上,求证:△4BC是等腰三角形;

(2)如图②,若点。在△45。内部,求证:AB=AC;

(3)若点。在的外部,/3=力。还成立吗?请画图说明.

3.已知,如图AD为△力4。的中线,分别以AS和/C为一边在的外部作等腰三

角形/3E和等腰三角形ACF,KAE=AB,AF^=AC,EF,/_EAF+ABAC=180°

(1)如图1,若N/BE=63°,NA4C=45°,求NR4。的度数;

(2)如图1,请探究线段即和线段40有何数量关系?并证明你的结论;

(3)如图2,设EF交AB于点G,交力。于点K,延长厂GEB交于点M,若点G

为线段底的中点,且NA4E=70°,请探究/月C归和NC4斤的数量关系,并证明你

的结论.

4.在△/3C中,。是直线3c上一点,以力。为一条边在力。的右侧作

使ZDAE=ZBAC,连接CH.

(1)如图,当点。在B。延长线上移动时,若/A4C=40°,则N/CH=,

ADCE=,BC、DC、CE之间的数量关系为;

(2)^Z.BAC=a,"CE=S.

①当点。在BC延长线上移动时,a与0之间有什么数量关系?请说明理由;

②当点。在直线口。上(不与6,。两点重合)移动时,a与B之间有什么数量关系?

请直接写出你的结论.

(3)当CE///B时,若△力四中最小角为15°,试探究的度数(直接写出结

果,无需写出求解过程).

备用图备用图

5.如图①,在△ABC和△OEC中,CA=CB,CD=CE,NACB=£DCE=Q,且点/

在即的延长线上,连接BE.

(1)①求证:△ACg4BCE,,

②填空:乙CDE=(用含a的式子表示);

(2)如图②,若a=60。,利用(1)中的结论,探究线段CH,AE,BE之间的数量

关系,并说明理由.

(图①)(圉②)

6.在平面直角坐标系中,点。为坐标原点,点/、B分别在x轴、y轴的正半轴上,点C

在AS的延长线上,3。=84,3。14。,8=2再。=6,且实数4,6满足@2-44加4〃

=0.

(1)如图1,求证:为等边三角形;

(2)如图2,连接。。,OD,若。。平分求NCQ4的度数;

(3)如图3,在(2)的条件下,点后在ZM的延长线上,连接OE,若。石=12,Z

COD-ZOCB=2ZAOE,求点A的坐标.

fyfyfy

(图1)(图2)(图3)

7.已知,RtA/lBC中,NZCB=90°,/Z=30°,点。是边Z3上一点,连接C。,

且CD=AD.

(1)如图①,求证即=8;

(2)如图②,点E为边AC上一点,连接。E,以。E为边在的左侧作等边三角形

DEF,连接BF,则N。砂'的大小=(度);

(3)如图③,过点。作。尸交/。于点尸,点〃为线段力。上一点,连接夕河,

作NB〃Q=60°,MQ交阳的延长线于点Q.线段用%尸。与期之间有怎样的数

量关系,并证明.

图①图②图③

8.在△力和中,AB=AC,DE=DC,氤E在AB上

(1)如图1,若NACB="CE=60。,求证:ZDAC=ZEBC-,

(2)如图2,设/C与。E交于点尸.

①若N/4CB=NOCE=45°,求证:ADIICB-,

1DP

②在①的条件下,设力。与。E交于点P,当tan/49£=(时,直接写出器的值.

ZEr

9.如图,已知四边形458中,NB=60°,边AB=BC=8cm,动点R。同时从力、

3两点出发,分别沿/A口。方向匀速运动,其中点尸运动的速度是每秒1皿,点。

运动的速度是每秒2cm,当点。到达点。时,P、。两点都停止运动,设运动时间为1

秒.

解答下列问题:

(1)AP=,BP=,BQ=.(用含f的代数式表示,f<4)

(2)当点Q到达点。时,PQ与的位置关系如何?请说明理由.

(3)在点尸与点。的运动过程中,是否能成为等边三角形?若能,请求出t,

若不能,请说明理由.

A

//\

BQT

10.已知:中,AB=AC,点H为BC中点、,连接4/7,点。为上一点,连接

8交于点歹,点E为上一点,连接。E,2AFD=£ACB+"DE.

(1)如图1,求证:CDIDE;

(2)如图2,过点B作/。的平行线,交的延长线于点G,连接CG,DH,若BD

=DH,求证:BG+AC=CG-,

(3)如图3,在(2)的条件下,点尸为CG上一点,CP=CA,连接7W,若NA4。

=120°,/¥7=6,乙PHB+LADF=9G°,求线段8的长.

图1图2图3

11.如图,在平面直角坐标系中,点/的坐标为(1,0),以线段。4为边在第四象限内

作等边三角形点。为x正半轴上一动点,连接BG以线段为边

在第四象限内作等边三角形△C3。,连接N4并延长,交,轴于点£

(1)求证:XOBUXABD.

(2)在点。的运动过程中,NC4。的度数是否会变化?如果不变,请求出NC4。的

度数;如果变化,请说明理由.

(3)当点。运动到什么位置时,以Z,E,。为顶点的三角形是等腰三角形?

12.已知:△A8C中,4c3=90°,AC=BC.

(1)如图1,点。在的延长线上,连AD,过3作BE上AD于E,交力。于点F.求

证:AD=BF-,

(2)如图2,点。在线段8c上,连/。,过工作力£1/。,且力£=力。,连迎交

于五,连。E,问四与。尸有何数量关系,并加以证明;

(3)如图3,点。在CB延长线上,/£:=力。且/反,力。,连接与反、力。的延长线交

BE千熬M,若/C=3MC,请直接写出空的值.

13.如图,在△45。中,AB=AC,点〃是线段BC中点,/期。=30°.

(1)如图1,若点。、E分别在边/8、力。上,且“。1/B,ME]_AC.求证

ME;

(2)如图2,若点尸在边ZB上,点Q在边力。的延长线上,且NR0Q=15O°,求

证MP=MQ;

(3)如图3,若4l/=12cm,点、N,F,G分别在3GAB,/C上运动,当XNFG

的周长最小时,指出此时点N的位置,并求出周长的最小值.

14.【问题提出】在中,AB=AC^BC,点。和点/在直线的同侧,BD=

BC,NBAC=a,/_DBC=%,且a+B=120°,连接AD,求NAOB的度数.(不必

解答)

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究,当a=90。,p=30°时,利用轴对称知识,

以为对称轴构造△43。的轴对称图形△/由‘,连接8'(如图2),然后利用

a=90°,3=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△0’3。的形状是

三角形;NADB的度数为.

【问题解决】

在原问题中,当/。(如图1)时,请计算/月。夕的度数;

【拓展应用】在原问题中,过点工作直线为交直线3。于E,其他条件不变若

BC=7,2.请直接写出线段BE的长为.

15.如图,△力为等边三角形,45=6,将边ZB绕点Z顺时针旋转6(0°<0<120°)

得到线段力。,连接CD,CD与AB交于点G,NA4。的平分线交CD于点区点户

为8上一点,且DF=2CF.

(1)当/区42=30°时,求N/EC的度数;

(2)当线段B尸的长取最小值时,求线段4G的长;

(3)求△/年的周长的最大值.

A

D

G

参考答案

1.(1)解:如图所示,。户是N/CB的平分线;

(2)证明:•・•//CB=90°,AC=BC,

.\Z.ACB=^ABC=45°,

丹是N/CB的平分线,

:.乙ACF=乙BCF=4S°,

':AELAB,

:./_EAB=^a,

r./胡C=90°-NG4B=45°,

在△4E。和△。在D中,

"ZEAD=ZFCD

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

:.XAE牛XCFD(ASA),

:.DE=DF-,

(3)解:BD=3DE,

理由如下:由(2)可知,4AED9l\CFD、

:.AE=CF,

在△区4c和△AC8中,

'AE=CF

>ZEAC=ZFCB,

AC=CB

:.XEAC^AFCB(S4S),

:.EC=FB,AACE=Z.CBF,

■:ZECF=ZACE+ZACF=ZACE+A50,ZEFC=ZCBF+/_BCF=ZCBF+45°,

ZECF=ZEFC,

:.EF=EC=BF,

BD=3DE.

2.(1)证明:过点。分别作。£工45于E,OFJ_AC于F,

由题意知,LOEB=£OFC=9G°,

在RtAOEB和RtAOFC中,

fOB=OC

lOEOF,

RtAOEB^Rt/^OFC(HL),

Z.ABC=/.ACB,

:.AB=AC.

(2)证明:过点。分别作OE1/3于E,。反L/C于居

图②

由题意知,OE=OF.ZBEO=ZCFO=90°,

•••在RtAOEB和RtAOFC中,

fOB=OC

lOE=OF,

RtAOFC(HL),

ZOBE=ZOCF,

又.03=OC,

ZOBC=zOCB,

:.AABC=/.ACB,

.'.AB—AC.

(3)解:不一定成立,当N/的平分线所在直线与边5。的垂直平分线重合时力8=力。,

否则/4#月。.(如示例图)

3.(1)解:-:AE=AB,

;.2AEB=/ABE=63°,

:.^EAJB=54Q,

■:ABAC=45°,/.EAF+ABAC=\SOa,

:.ZEAB+2£BAC+Z.FAC=1SQQ,

.♦.54°+2X45°+Z/^4C=180°,

Z/^4C=36°;

(2)EF=2AD;理由如下:

延长至H,使。〃=力。,连接8班,如图1所示:

为的中线,

BD=CD,

'BD=CD

在△石和△OD4中,|NBDH=NCDA,

DH=AD

:.l\BDH9XCDA(SAS),

・・,HB=AC=AF,ZBHD=ZCAD,

.-.ACIIBH,

:.NABH+/BAC=180°,

Z.EAF+ABAC=180°,

ZEAF=ZABH,

,AE=AB

在△/B〃和△及1尸中,,ZEAF=ZABH,

AF=BH

:AABH9XEAF(SAS),

:.EF=AH=2AD-,

(3)ZACB-yZCAF=55°;理由如下:

由(2)得,AD=^EF,又点G为防中点,

EG=AD,

由(2)AABHqAEAF,

;.NAEG=NBAD,

'AE=AB

在和中,<ZAEG=ZBAD,

EG=AD

:.XEAG91\ABD(SAS),

:.Z.EAG=Z.ABC=70°,

■:/.EAF+ABAC=1SQ°,

Z£>1^+2ZBAC+ACAF=180°,

即:70°+2ZS4C+ZG4F=180°,

.-.Z^C+yZG4F=55°,

:./_BAC=55°-^/.CAF,

■:ZABC+ZACB+Z5!4C=1800,

.,.Zfi4C=1800-AABC-Z^C^=180°-70°-/_ACB=\\^-Z.ACB,

.-.55°--j-ZC4F=U0°-/_ACB,

:.LACB-^LC4F=55°.

A

4.解:(1)如图1所示:•••/"!£=NA4C,

ZDAE+ZCAD=ZBAC+/_CAD,

:.Z.BAD=ZCAE,

,AB=AC

在△氏4。和△C4E中,1/BAD=/CAE,

AD=AE

:.XBAD^XCAE〈SAS),

:./_ACE=/_B=^(180°-40°)=70°,BD=CE,

BC+DC=CE,

•・,ZACD=NB+NBAC=ZACE+/_DCE,

・•・乙BAC=乙DCE,

••,/A4C=40°,

,/DCE=40。,

故答案为:70°;40°;BC+DC=CE;

(2)①当点。在线段3。的延长线上移动时,a与B之间的数量关系是a=B,理由如

下:

•/ZDAE=ZBAC,

・・・/ZME*+NCAD=Z_BAC^/_CAD,

・•・ZBAD=ZCAE,

rAB=AC

在△期。和中,ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:・l\BAD^l\CAE〈SAS),

:,Z_B=LACE,

NACD=/_B+/_BAC=/_ACE+ZDCE,

:.£BAC=(DCE,

9:Z.BAC=ayZ_DCE=^>,

「.Q=B;

②分三种情况:

(I)当。在线段石。上时,a+p=180°,如图2所示,理由如下:

同理可证明:△ZAC匕△/CE(S4S),

,"ADB=£AEC,乙ABC=Z.ACE,

•••/4DC+N4c归=180°,

AADC+Z.AEC=180°,

/.ZDAE+ADCE=180°,

・「"AC=NDAE=a,乙DCE=,,

a+p=180°;

(H)当点。在线段B。反向延长线上时,a=p,如图3所示,理由如下:

同理可证明:XABD^XACE〈SAS),

:./_ABD=/_ACE,

•/ZACE=ZACLh-ZDCE,ZABD=ZACLh-ZBAC,

:.乙ACA/_DCE=/_ACA/_BAC,

・•./_BAC=/_DCE,

•••NA4C=a,/_DCE=,,

「.Q=B;

(DI)当点。在线段EC的延长线上时,如图1所示,a=p;

综上所述,当点。在夕。上移动时,Q=B或Q+B=180°;

(3)AACB=60Q,理由如下:

••・当点少在线段的延长线上或在线段反向延长线上移动时,Q=B,

即/期。=/。。区

•;CEIIAB,

/ABC="CE,

/_ABC=/_BAC,

\-AB=AC9

・•.zABC=zACB="AC,

・•.△ZB。是等边三角形,

AACB=60Q;

•・•当。在线段BC上时,a+p=180°,

即/A4C+/ACH=180°,

•;CEIIAJB,

:.AABC+ADCE=180°,

:./_ABC=/_BAC,

AB-AC,

・•.ZABC=ZACB="AC,

•••△力石。是等边三角形,

AACB=60°;

综上所述,当。石//月3时,若△45。中最小角为15°,N4CE的度数为60°.

图3

A

BCD

图1

5.(1)①证明:

Z.ACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,

即/48=N3CE,

在△48和中,

'CA=CB

<ZACD=ZBCE,

,CD=CE

:.XACD^ABCE<SAS);

②•:/\AC恒XBCE,

CD=CEy

・•.zCDE=zCED,

*.*ZDCE=a,

(2)CE+BE=AE,

理由如下:由(1)知AD=BE,ACDE=90°-yX60°=60°,

「•CD=CE=DE,

又AEh-DE=AE,

:.BE+CE=AE.

6.解:⑴,.•a2-4aZH-4Zz2=0,

(a-2b)2=0,

.\a-2b=0,

...a=2by

:.CD=2BC,

,:BC=BA,BDA_AC9

:,CD=AC,CD=ADy

CD=AC=AD,

・・・△/CO为等边三角形;

(2)在x轴上取点G,使OG=QD,连接。尸,

(12)

•・。。平分/。。4,

・•.ZCOD=ZOFD,

•・,OD=OD,

.\^OCD^^OFD(S4S),

/.ZOCD=ZOFD,CD=DF,

•••△Z8为等边三角形,

CD=DAy

:,DA=DF,

ZOFD=ZDAF,

・•.ZOCD=ZDAF,

•/ZO4ZHZZZ4F=180°,

/.ZOCLH-Z.OAD=180°,

,•,/。。6/04功//。。+//。。=360°,

AAOC+ADC=180°,

•・・N4DC=60°,

.\ZAOC=120°;

(3)在x轴的正半轴上取点G,使OD=OG,过点。作轴于点H,

y

•・,2040=120°,09平分N/OG

.\^AOD=60°,

•/OD=OG,

••.△OAG为等边三角形,

/.OD=DG,

过点。作。AU/斤于M

:,AF=FM,OM=MG9

:.OA=FG,

,:XOCD^XOFD,

・•.OC=OF,

・•.OD=ORFG=OC+OA,

•・•/。。力=120°,2AOH=30°,

:./_COH=30°,

OC=2CH,

•:BC=BA,/_CBH=/_ABO,/_CHB=/_ABO.

:.△CBH9XABO(AAS),

;.CH=OA,

OC=2OA9

OD=3OA9

设N4OE=a,

ACOD=ACAD=60°,

・•.ZOCB=ZODA,

,/ZCOD-ZOCB=2/_AOE,

.*.60°-/。ZM=2a,

•:AODA=180°一LDOA-Q-LE,

Z^=a+60°,

ADOE=60°+a,

・•・/_E=乙DOE,

/.OD=DE,

,:DE=12,

OA=4,

:.A(4,0)・

7.(1)证明:•・・N/CB=90°,Z»=30°,

・・.NB=90。-30°=60°,

,:CD=AD,Z^=30°,

・・・/。。4=/力=30°,

・••/38=90°-30°=60°,

・•./_B=/_BCD,

BD=CD;

(2)解:♦:Z.CBD=2BCD=60°,

,/BDC=60°,

••・△OE厂是等边三角形,

;.£EDF=60°,DE=DF,

AZBDC=ZFDE,

ZBDC-ZFDC=ZFDE-ZFDC,即ZBDF=ZCDE,

在△BE>尸和△CDE中,

'BD=CD

-ZBDF=ZCDE,

FD=ED

△BDF^△CDE{SAS),

:.£DBF=NDCE=3G°,

故答案为:30;

(3)解:PQ=ARPM,

理由如下:如图③,连接30,延长BP至储使PF=PM,连接M尸,

在Rt^4BC中,ZC=90°,/力=30°,点。是中点,DPLAB,

:.AP=BP,N4B尸=//=30°,

•••ZFPM=Zy4+ZABP=300+30°=60°,

;.4PMF为等边三角形,

;.PF=PM=MF,"=60°,

:N4PQ=90°-ZA=60°,

:.NF=/QPM=6G°,

“0。=180°-乙APQ-Z.FPM=60°,

:.£BPQ=£BMQ=60°,

N。=NMBF,

在△BA='和中,

'/F=NQPM

■ZMBF=ZQ,

,MF=MP

(A4S),

:.PQ=FB=BRPF,

■:AP=BP,PM=PF,

:.PQ=AP^PM.

图③

8.(1)证明:-:AB=AC,DE=DC,/ACB=NDCE=60°,

△力CB和△。。反都是等边三角形,

:.BC=AC,EC=DC,ZDCA=ZECB,

rAC=BC

在△Z?C4和△ECB中,<ZDCA=ZECB,

CD=CE

:.XDCA2t\ECB〈SAS),

NDAC=ZEBC-,

(2)①证明:\AB=AC9DE=DC,AACB=ADCE=45°,

△力。石和石都是等腰直角三角形,CAB=ACDE=90°,£ECB=^DCA,

cosZACB=cosZDCE,

.AC或即EEJD

^BC"ECBC'AC,

又,:ZECB="CA,

:,AECBSADCA,

・・・N6=/ZMC=45°,

ADAC=^ACJB=45°,

:.ADIICB\

②解:作EHIIAD交AC干点H,如图2所示:

DPAD

贝niUI:=,

PEEH

由①中的△ECBs/\Z?C4得:器噌■啦,

•:ADAC=^B=45°=ZDEC,

.\AADE=Z_ACE9

tanZACE=tanZADE=-^-y

设AE=2m,

AR1

・•.tan//CE=^=高,

AvZ

AC=4TH,

:.BE=AB-AE=AC-AE=4m-2m=2my

:,AE=BE,

BC=\p^AC=4A/2ZT2,

YEHIIAD,ADIICB9

:.EHIICB,

・・・石//是△SBC的中位线,

EH=^BC=^-X4-,f2m=2y]2m,

.BE2mr~

FF二如m,

.DP_AD_V2m1

"PE=EH-2V2m-'2'

D,

图2

9.解:(1)由题意得,AP=t,BP=8-t,BQ=2t,

故答案为:f;8-t;2t-,

(2)PQLAB,

理由如下:连接力。,

•."2=60°,AB=BC,

为等边三角形,

,••点。到达点。时,BQ=BC=8cm,AP=4,

..•尸为44的中点,

:.PQ1AB;

(3)△8PQ能称为等边三角形,

••,"=60°,

.•.当BP=3。时,能称为等边三角形,

此时,8-t=2t,

解得,

10.(1)证明:•・・43=/。,H为B。的中点,

:./_B=LACB,AH\_BC,

・・.NCWF=9(T,

•・•ZDEC=ZBDE+ZB,

・・.ZDEC=ZBDE+ZACB,

•・,ZAFD=ZACB+ZBDE,

:.AAFD=/_DEC,

•:£CFH=/_AFD,

・•.ZDEC=ZCFH,

^CFH+Z.DCE=90°,

1,ZDCE+ZDEC=90°,

•,./8E=1800-{ADCE+/_DEO=90°,

:.CD_\_DE;

(2)证明:由(1)得,ZAHB=90°,

♦:BD=DH,

・•.ZDBH=ZDHB,

.-.90°-ADBH=90°-Z_DHB,

:./_DAH=/_DHA,

:.DH=AD,

BD=AD,

如图2,延长GO交C4的延长线于M,

■:BGIIAC,

:.乙M=乙BGD、ZDAM=ZDBG,

:./\DBG^/\DAM(AAS),

:.DG=DM,AM=BG,

由(1)知,CD'DE,

:.CG=CM,

:.CG=CM=AM+AC=BG+AC-,

(3)解:如图3,

延长GO交。1的延长线于M,连接/尸交CD于Q,连接BP交DG于N,连接DP,

延长PH交CD于K,连接AK,在。。上取一点R,使DR=HK,

由(2)知,ZDAM=ZDBG,BD=AD,

■:CP=CA,

:.CD\_AP,8平分Z尸,

:,AD=DP,NCQ尸=90°,

,:BD=AD=DP,

:.ZDBP=ZDPB,ZDPA=ZDAP,

•/ZABP^ZAPB+ZBAP=1800,

/.ZDBP^/_DPB+/_DPA^/_DAP=180°,

・•.ZAPB=90°,

:./_CQP=/_APB,

:.CD\\PB.

/.ZHBP=ZHCK,乙HPB=LHKC,

,:BH=CH,

MXHKSXHPB(AAS),

:.HK=PH=6,CK=PB,

:,PK=PH+HK=6+6=12,

•・•点K在CD上,

.\AK=PK=12,

•:£AHK+/PHB=\8G-AAHB=90°,

,:ZPHB+£ADF=9G°,

••.Z.AHK=AADF,

':AD=AH9DR=HK,

:.RADR^XAHK〈SAS),

:,AR=AK,/_DAR=/_HAK,

:.QR=QK,ZDAR+/_RAF=ZHAK+Z.RAF,

ZDAF=ZRAK,

ABAC=120°,AB=AC9AH_LBC,

・・.NZMF=//期。=60。,

・・.△NKR是等边三角形,

.・.M?=4f=12,

-:AP_\_CD,

.・.&0=/A7?=6,

DQ=DR+RQ=6+6=12,

•.28G=90°,

・•.ZCDE=ZCQP,

:.MGIIAP,

,/APB+/DNP=180°,

:.ADNP=9G°,

YBD=DP,

;.BN=NP,

•・,MGHAP,

・•.ZNDP=ZQPD,

•:/_DNP=/_CQP=)S,DP=DP,

:.XND蜂XQPD(AAS),

:,DQ=PN=\2,

:.PB=2PN=2DQ=24,

:,CK=PB=24,

・•.CD=DR+KR+CK=6+12+24=42,

即线段8的长为42.

M

图3

图2

ii.解:(1)•・・△/oe,△。加都是等边三角形,

OB=AByCB=DJB,ZABO=Z_DBCy

:./_OBC=/_ABC,

在△OBC和中,

'OB=AB

Z0BC=ZABC,

,CB=DB

:./\OBC^^ABD(S/1S);

(2)点。在运动过程中,NC4。的度数不会发生变化,理由如下:

是等边三角形,

.・./504=/043=60°,

,:XOBSlxABD,

/期。=/口。。=60°,

ZO4Z?=180°-/OAB-/BAD=60°;

(3)-:AOBC^AABD,

;."OC=/BAD=60°,

又•.,NQ4B=60°,

CME=180°-60°-60°=60°,

ZEAC=120°,NOEA=30°,

.•.以/,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时,力E和是腰,

•.•在RtZ\/OE中,OA=1,NOEA=30°,

'.AE=r2,

\AC—AE=2,

OC=1+2=3,

・•・当点。的坐标为(3,0)时,以E,。为顶点的三角形是等腰三角形.

12.(1)证明:如图1中,

YBE1AD于E,

:,Z.AEF=/_BCF=3D°,

,:乙AFE=/_CFB,

;・Z_DAC=/_CBF,

♦;BC=CA,

;.BF=AD.

(2)结论:BD=2CF.

理由:如图2中,作石于H

•/ZAHE=ZACD=ZDAE=90°,

・••NZZ4C+N400=90。,/_DAC+/_EAH=90°,

:.乙DAC=(AEH,・・・AD=AE,

:.XACD^XEHA,

:.CD=AH,EH=AC=BC9

,:CB=CA,

・・・BD=CH,

VZEHF=ZJBCF=90°,ZEFH=ZBFC,EH=BC,

:.XEHF^XBCF、

:.FH=CF,

:,BD=CH=2CF.

(3)如图3中,同法可证m=2C〃.

-:AC=3CM,设CM=a,则ZC=CS=3a,BD=2a,

・DB=2a_=2

,•而一石-T

13.证明:(1)...ZB=4GM是中点,

是NA4O的角平分线,

':MDAB,MEIAC,

:.ME=MD,

(2)如图2,过点〃作MELACTE,作MDJ_AB于D,则ZMDP=ZMEQ=90°,

ED

C

MB

O

图2

由(1)知:ME=MD,

•:APMQ=150°,/840=30°,

AZBAC+APMQ=180°,

・•・/力必什N0=180°,

':Z.APM+/_DPM=180°,

・・•ZDPM=ZQ,

:.XMDP^XMEQ(AAS),

:.MP=MQ;

(3)如图3,作点N关于SC的对称点N,点N关于ZB的对称点抽,连接“抽交

ZC于F,交4S于G,连接4佻,ANz,AN,

图3

由对称得:AN=ANi=AN?,乙CAN=々CAN】,/_BAN=/_BAN?,

,.284。=30°,

:.ANxAN2=60°,

抽是等边三角形,

:.AN[=N[N2,

■:FN=FNX,GN=GN2,

:.4NFG的周长=FN+GN+FG=FNX+FG+GN2,

•.•点MF,G分别在BGAB,/C上运动,

,当FN>FG,G叫共线时,△TVRG的周长最小,

.,.△NRG的周长的最小值是“、的长,即当“、最小时,△7VFG的周长最小,

,:N\N?=AN,

当时,/N最小,此时N与"重合,

-:AM=12,

二△八犷G的周长的最小值是12.

14.解:【特例探究】①如图2中,作N/B。’=/_ABD,BD'=BD,连接8',47',

•:AB=AC,NA4C=90°,

/45。=45°,

•;"BC=30°,

:.ZABD=ZABC-ZDBC=15°,

,AB=AB

在△/BZ?和△/B。’中,,ZABD=ZABD/

BD=BD'

:.AABD=AABD'=15°,/_ADB=/_AD'B,

zD'BC=AABD'+AABC=60a,

■:BD=BD',BD=BC,

:.BD'=BC,

.•.△O'是等边三角形,

②・・•△O'BC是等边三角形,

:.D'B=D'C,乙BD'C=60°,

,AD,二AD,

在8和△力。'。中,(D'B=D'C,

AB=AC

:.^AD'B^/\AD'C,

:./_AD'B=ZAD'C,

:./_AD'ZBD'C=30°,

:.£ADB=30a.

故答案为:等边,30°;

【问题解决】解:NDBC<ZABC,

.,.60°<a<120°,

如图3中,作NAB。'=£ABD,BD'=BD,连接8',AD',

D'

图3

■:AB=AC,

:.AABC=/_ACB,

•:/_BAC=a.,

:.AABC=^(180°-a)=90°--^-a,

ZABD=ZABC-ZDBC=900-^a-p,

同(1)①可证,

:.AABD=ABD'=90°-石a-0,BD=BD',/_ADB=/_AD'B

:.ZD'BC=/_ABD'+/ABC=90°--^-a-p+90°--1-a=180o-(a+p),

•••a+p=120°,

ZD'30=60°,

由(1)②可知,XAD'B^

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