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文档简介
2021年九年级数学中考复习——几何小专题:
三角形综合之解答题专项
1.如图,在中,N/C3=9(T,AC=BC,。为/C边的中点,AELAB交BD
的延长线于点E,连接CE.
(1)尺规作图:作N/C夕的平分线交3后于点尸(保留作图痕迹);
(2)求证:DE=DF-,
(3)探究助与。E之间的数量关系,并证明结论.
2.如图,已知点。到△/BC的两边/A/C所在直线的距离相等,且08=。。.
(1)如图①,若点。在上,求证:△4BC是等腰三角形;
(2)如图②,若点。在△45。内部,求证:AB=AC;
(3)若点。在的外部,/3=力。还成立吗?请画图说明.
3.已知,如图AD为△力4。的中线,分别以AS和/C为一边在的外部作等腰三
角形/3E和等腰三角形ACF,KAE=AB,AF^=AC,EF,/_EAF+ABAC=180°
(1)如图1,若N/BE=63°,NA4C=45°,求NR4。的度数;
(2)如图1,请探究线段即和线段40有何数量关系?并证明你的结论;
(3)如图2,设EF交AB于点G,交力。于点K,延长厂GEB交于点M,若点G
为线段底的中点,且NA4E=70°,请探究/月C归和NC4斤的数量关系,并证明你
的结论.
4.在△/3C中,。是直线3c上一点,以力。为一条边在力。的右侧作
使ZDAE=ZBAC,连接CH.
(1)如图,当点。在B。延长线上移动时,若/A4C=40°,则N/CH=,
ADCE=,BC、DC、CE之间的数量关系为;
(2)^Z.BAC=a,"CE=S.
①当点。在BC延长线上移动时,a与0之间有什么数量关系?请说明理由;
②当点。在直线口。上(不与6,。两点重合)移动时,a与B之间有什么数量关系?
请直接写出你的结论.
(3)当CE///B时,若△力四中最小角为15°,试探究的度数(直接写出结
果,无需写出求解过程).
备用图备用图
5.如图①,在△ABC和△OEC中,CA=CB,CD=CE,NACB=£DCE=Q,且点/
在即的延长线上,连接BE.
(1)①求证:△ACg4BCE,,
②填空:乙CDE=(用含a的式子表示);
(2)如图②,若a=60。,利用(1)中的结论,探究线段CH,AE,BE之间的数量
关系,并说明理由.
(图①)(圉②)
6.在平面直角坐标系中,点。为坐标原点,点/、B分别在x轴、y轴的正半轴上,点C
在AS的延长线上,3。=84,3。14。,8=2再。=6,且实数4,6满足@2-44加4〃
=0.
(1)如图1,求证:为等边三角形;
(2)如图2,连接。。,OD,若。。平分求NCQ4的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,点后在ZM的延长线上,连接OE,若。石=12,Z
COD-ZOCB=2ZAOE,求点A的坐标.
fyfyfy
(图1)(图2)(图3)
7.已知,RtA/lBC中,NZCB=90°,/Z=30°,点。是边Z3上一点,连接C。,
且CD=AD.
(1)如图①,求证即=8;
(2)如图②,点E为边AC上一点,连接。E,以。E为边在的左侧作等边三角形
DEF,连接BF,则N。砂'的大小=(度);
(3)如图③,过点。作。尸交/。于点尸,点〃为线段力。上一点,连接夕河,
作NB〃Q=60°,MQ交阳的延长线于点Q.线段用%尸。与期之间有怎样的数
量关系,并证明.
图①图②图③
8.在△力和中,AB=AC,DE=DC,氤E在AB上
(1)如图1,若NACB="CE=60。,求证:ZDAC=ZEBC-,
(2)如图2,设/C与。E交于点尸.
①若N/4CB=NOCE=45°,求证:ADIICB-,
1DP
②在①的条件下,设力。与。E交于点P,当tan/49£=(时,直接写出器的值.
ZEr
9.如图,已知四边形458中,NB=60°,边AB=BC=8cm,动点R。同时从力、
3两点出发,分别沿/A口。方向匀速运动,其中点尸运动的速度是每秒1皿,点。
运动的速度是每秒2cm,当点。到达点。时,P、。两点都停止运动,设运动时间为1
秒.
解答下列问题:
(1)AP=,BP=,BQ=.(用含f的代数式表示,f<4)
(2)当点Q到达点。时,PQ与的位置关系如何?请说明理由.
(3)在点尸与点。的运动过程中,是否能成为等边三角形?若能,请求出t,
若不能,请说明理由.
A
//\
BQT
10.已知:中,AB=AC,点H为BC中点、,连接4/7,点。为上一点,连接
8交于点歹,点E为上一点,连接。E,2AFD=£ACB+"DE.
(1)如图1,求证:CDIDE;
(2)如图2,过点B作/。的平行线,交的延长线于点G,连接CG,DH,若BD
=DH,求证:BG+AC=CG-,
(3)如图3,在(2)的条件下,点尸为CG上一点,CP=CA,连接7W,若NA4。
=120°,/¥7=6,乙PHB+LADF=9G°,求线段8的长.
图1图2图3
11.如图,在平面直角坐标系中,点/的坐标为(1,0),以线段。4为边在第四象限内
作等边三角形点。为x正半轴上一动点,连接BG以线段为边
在第四象限内作等边三角形△C3。,连接N4并延长,交,轴于点£
(1)求证:XOBUXABD.
(2)在点。的运动过程中,NC4。的度数是否会变化?如果不变,请求出NC4。的
度数;如果变化,请说明理由.
(3)当点。运动到什么位置时,以Z,E,。为顶点的三角形是等腰三角形?
12.已知:△A8C中,4c3=90°,AC=BC.
(1)如图1,点。在的延长线上,连AD,过3作BE上AD于E,交力。于点F.求
证:AD=BF-,
(2)如图2,点。在线段8c上,连/。,过工作力£1/。,且力£=力。,连迎交
于五,连。E,问四与。尸有何数量关系,并加以证明;
(3)如图3,点。在CB延长线上,/£:=力。且/反,力。,连接与反、力。的延长线交
BE千熬M,若/C=3MC,请直接写出空的值.
13.如图,在△45。中,AB=AC,点〃是线段BC中点,/期。=30°.
(1)如图1,若点。、E分别在边/8、力。上,且“。1/B,ME]_AC.求证
ME;
(2)如图2,若点尸在边ZB上,点Q在边力。的延长线上,且NR0Q=15O°,求
证MP=MQ;
(3)如图3,若4l/=12cm,点、N,F,G分别在3GAB,/C上运动,当XNFG
的周长最小时,指出此时点N的位置,并求出周长的最小值.
14.【问题提出】在中,AB=AC^BC,点。和点/在直线的同侧,BD=
BC,NBAC=a,/_DBC=%,且a+B=120°,连接AD,求NAOB的度数.(不必
解答)
【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究,当a=90。,p=30°时,利用轴对称知识,
以为对称轴构造△43。的轴对称图形△/由‘,连接8'(如图2),然后利用
a=90°,3=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.
请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△0’3。的形状是
三角形;NADB的度数为.
【问题解决】
在原问题中,当/。(如图1)时,请计算/月。夕的度数;
【拓展应用】在原问题中,过点工作直线为交直线3。于E,其他条件不变若
BC=7,2.请直接写出线段BE的长为.
15.如图,△力为等边三角形,45=6,将边ZB绕点Z顺时针旋转6(0°<0<120°)
得到线段力。,连接CD,CD与AB交于点G,NA4。的平分线交CD于点区点户
为8上一点,且DF=2CF.
(1)当/区42=30°时,求N/EC的度数;
(2)当线段B尸的长取最小值时,求线段4G的长;
(3)求△/年的周长的最大值.
A
D
G
参考答案
1.(1)解:如图所示,。户是N/CB的平分线;
(2)证明:•・•//CB=90°,AC=BC,
.\Z.ACB=^ABC=45°,
丹是N/CB的平分线,
:.乙ACF=乙BCF=4S°,
':AELAB,
:./_EAB=^a,
r./胡C=90°-NG4B=45°,
在△4E。和△。在D中,
"ZEAD=ZFCD
<AD=CD,
ZADE=ZCDF
:.XAE牛XCFD(ASA),
:.DE=DF-,
(3)解:BD=3DE,
理由如下:由(2)可知,4AED9l\CFD、
:.AE=CF,
在△区4c和△AC8中,
'AE=CF
>ZEAC=ZFCB,
AC=CB
:.XEAC^AFCB(S4S),
:.EC=FB,AACE=Z.CBF,
■:ZECF=ZACE+ZACF=ZACE+A50,ZEFC=ZCBF+/_BCF=ZCBF+45°,
ZECF=ZEFC,
:.EF=EC=BF,
BD=3DE.
2.(1)证明:过点。分别作。£工45于E,OFJ_AC于F,
由题意知,LOEB=£OFC=9G°,
在RtAOEB和RtAOFC中,
fOB=OC
lOEOF,
RtAOEB^Rt/^OFC(HL),
Z.ABC=/.ACB,
:.AB=AC.
(2)证明:过点。分别作OE1/3于E,。反L/C于居
图②
由题意知,OE=OF.ZBEO=ZCFO=90°,
•••在RtAOEB和RtAOFC中,
fOB=OC
lOE=OF,
RtAOFC(HL),
ZOBE=ZOCF,
又.03=OC,
ZOBC=zOCB,
:.AABC=/.ACB,
.'.AB—AC.
(3)解:不一定成立,当N/的平分线所在直线与边5。的垂直平分线重合时力8=力。,
否则/4#月。.(如示例图)
3.(1)解:-:AE=AB,
;.2AEB=/ABE=63°,
:.^EAJB=54Q,
■:ABAC=45°,/.EAF+ABAC=\SOa,
:.ZEAB+2£BAC+Z.FAC=1SQQ,
.♦.54°+2X45°+Z/^4C=180°,
Z/^4C=36°;
(2)EF=2AD;理由如下:
延长至H,使。〃=力。,连接8班,如图1所示:
为的中线,
BD=CD,
'BD=CD
在△石和△OD4中,|NBDH=NCDA,
DH=AD
:.l\BDH9XCDA(SAS),
・・,HB=AC=AF,ZBHD=ZCAD,
.-.ACIIBH,
:.NABH+/BAC=180°,
Z.EAF+ABAC=180°,
ZEAF=ZABH,
,AE=AB
在△/B〃和△及1尸中,,ZEAF=ZABH,
AF=BH
:AABH9XEAF(SAS),
:.EF=AH=2AD-,
(3)ZACB-yZCAF=55°;理由如下:
由(2)得,AD=^EF,又点G为防中点,
EG=AD,
由(2)AABHqAEAF,
;.NAEG=NBAD,
'AE=AB
在和中,<ZAEG=ZBAD,
EG=AD
:.XEAG91\ABD(SAS),
:.Z.EAG=Z.ABC=70°,
■:/.EAF+ABAC=1SQ°,
Z£>1^+2ZBAC+ACAF=180°,
即:70°+2ZS4C+ZG4F=180°,
.-.Z^C+yZG4F=55°,
:./_BAC=55°-^/.CAF,
■:ZABC+ZACB+Z5!4C=1800,
.,.Zfi4C=1800-AABC-Z^C^=180°-70°-/_ACB=\\^-Z.ACB,
.-.55°--j-ZC4F=U0°-/_ACB,
:.LACB-^LC4F=55°.
A
4.解:(1)如图1所示:•••/"!£=NA4C,
ZDAE+ZCAD=ZBAC+/_CAD,
:.Z.BAD=ZCAE,
,AB=AC
在△氏4。和△C4E中,1/BAD=/CAE,
AD=AE
:.XBAD^XCAE〈SAS),
:./_ACE=/_B=^(180°-40°)=70°,BD=CE,
BC+DC=CE,
•・,ZACD=NB+NBAC=ZACE+/_DCE,
・•・乙BAC=乙DCE,
••,/A4C=40°,
,/DCE=40。,
故答案为:70°;40°;BC+DC=CE;
(2)①当点。在线段3。的延长线上移动时,a与B之间的数量关系是a=B,理由如
下:
•/ZDAE=ZBAC,
・・・/ZME*+NCAD=Z_BAC^/_CAD,
・•・ZBAD=ZCAE,
rAB=AC
在△期。和中,ZBAD=ZCAE,
AD=AE
:・l\BAD^l\CAE〈SAS),
:,Z_B=LACE,
NACD=/_B+/_BAC=/_ACE+ZDCE,
:.£BAC=(DCE,
9:Z.BAC=ayZ_DCE=^>,
「.Q=B;
②分三种情况:
(I)当。在线段石。上时,a+p=180°,如图2所示,理由如下:
同理可证明:△ZAC匕△/CE(S4S),
,"ADB=£AEC,乙ABC=Z.ACE,
•••/4DC+N4c归=180°,
AADC+Z.AEC=180°,
/.ZDAE+ADCE=180°,
・「"AC=NDAE=a,乙DCE=,,
a+p=180°;
(H)当点。在线段B。反向延长线上时,a=p,如图3所示,理由如下:
同理可证明:XABD^XACE〈SAS),
:./_ABD=/_ACE,
•/ZACE=ZACLh-ZDCE,ZABD=ZACLh-ZBAC,
:.乙ACA/_DCE=/_ACA/_BAC,
・•./_BAC=/_DCE,
•••NA4C=a,/_DCE=,,
「.Q=B;
(DI)当点。在线段EC的延长线上时,如图1所示,a=p;
综上所述,当点。在夕。上移动时,Q=B或Q+B=180°;
(3)AACB=60Q,理由如下:
••・当点少在线段的延长线上或在线段反向延长线上移动时,Q=B,
即/期。=/。。区
•;CEIIAB,
/ABC="CE,
/_ABC=/_BAC,
\-AB=AC9
・•.zABC=zACB="AC,
・•.△ZB。是等边三角形,
AACB=60Q;
•・•当。在线段BC上时,a+p=180°,
即/A4C+/ACH=180°,
•;CEIIAJB,
:.AABC+ADCE=180°,
:./_ABC=/_BAC,
AB-AC,
・•.ZABC=ZACB="AC,
•••△力石。是等边三角形,
AACB=60°;
综上所述,当。石//月3时,若△45。中最小角为15°,N4CE的度数为60°.
图3
A
BCD
图1
5.(1)①证明:
Z.ACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,
即/48=N3CE,
在△48和中,
'CA=CB
<ZACD=ZBCE,
,CD=CE
:.XACD^ABCE<SAS);
②•:/\AC恒XBCE,
CD=CEy
・•.zCDE=zCED,
*.*ZDCE=a,
(2)CE+BE=AE,
理由如下:由(1)知AD=BE,ACDE=90°-yX60°=60°,
「•CD=CE=DE,
又AEh-DE=AE,
:.BE+CE=AE.
6.解:⑴,.•a2-4aZH-4Zz2=0,
(a-2b)2=0,
.\a-2b=0,
...a=2by
:.CD=2BC,
,:BC=BA,BDA_AC9
:,CD=AC,CD=ADy
CD=AC=AD,
・・・△/CO为等边三角形;
(2)在x轴上取点G,使OG=QD,连接。尸,
(12)
•・。。平分/。。4,
・•.ZCOD=ZOFD,
•・,OD=OD,
.\^OCD^^OFD(S4S),
/.ZOCD=ZOFD,CD=DF,
•••△Z8为等边三角形,
CD=DAy
:,DA=DF,
ZOFD=ZDAF,
・•.ZOCD=ZDAF,
•/ZO4ZHZZZ4F=180°,
/.ZOCLH-Z.OAD=180°,
,•,/。。6/04功//。。+//。。=360°,
AAOC+ADC=180°,
•・・N4DC=60°,
.\ZAOC=120°;
(3)在x轴的正半轴上取点G,使OD=OG,过点。作轴于点H,
y
•・,2040=120°,09平分N/OG
.\^AOD=60°,
•/OD=OG,
••.△OAG为等边三角形,
/.OD=DG,
过点。作。AU/斤于M
:,AF=FM,OM=MG9
:.OA=FG,
,:XOCD^XOFD,
・•.OC=OF,
・•.OD=ORFG=OC+OA,
•・•/。。力=120°,2AOH=30°,
:./_COH=30°,
OC=2CH,
•:BC=BA,/_CBH=/_ABO,/_CHB=/_ABO.
:.△CBH9XABO(AAS),
;.CH=OA,
OC=2OA9
OD=3OA9
设N4OE=a,
ACOD=ACAD=60°,
・•.ZOCB=ZODA,
,/ZCOD-ZOCB=2/_AOE,
.*.60°-/。ZM=2a,
•:AODA=180°一LDOA-Q-LE,
Z^=a+60°,
ADOE=60°+a,
・•・/_E=乙DOE,
/.OD=DE,
,:DE=12,
OA=4,
:.A(4,0)・
7.(1)证明:•・・N/CB=90°,Z»=30°,
・・.NB=90。-30°=60°,
,:CD=AD,Z^=30°,
・・・/。。4=/力=30°,
・••/38=90°-30°=60°,
・•./_B=/_BCD,
BD=CD;
(2)解:♦:Z.CBD=2BCD=60°,
,/BDC=60°,
••・△OE厂是等边三角形,
;.£EDF=60°,DE=DF,
AZBDC=ZFDE,
ZBDC-ZFDC=ZFDE-ZFDC,即ZBDF=ZCDE,
在△BE>尸和△CDE中,
'BD=CD
-ZBDF=ZCDE,
FD=ED
△BDF^△CDE{SAS),
:.£DBF=NDCE=3G°,
故答案为:30;
(3)解:PQ=ARPM,
理由如下:如图③,连接30,延长BP至储使PF=PM,连接M尸,
在Rt^4BC中,ZC=90°,/力=30°,点。是中点,DPLAB,
:.AP=BP,N4B尸=//=30°,
•••ZFPM=Zy4+ZABP=300+30°=60°,
;.4PMF为等边三角形,
;.PF=PM=MF,"=60°,
:N4PQ=90°-ZA=60°,
:.NF=/QPM=6G°,
“0。=180°-乙APQ-Z.FPM=60°,
:.£BPQ=£BMQ=60°,
N。=NMBF,
在△BA='和中,
'/F=NQPM
■ZMBF=ZQ,
,MF=MP
(A4S),
:.PQ=FB=BRPF,
■:AP=BP,PM=PF,
:.PQ=AP^PM.
图③
8.(1)证明:-:AB=AC,DE=DC,/ACB=NDCE=60°,
△力CB和△。。反都是等边三角形,
:.BC=AC,EC=DC,ZDCA=ZECB,
rAC=BC
在△Z?C4和△ECB中,<ZDCA=ZECB,
CD=CE
:.XDCA2t\ECB〈SAS),
NDAC=ZEBC-,
(2)①证明:\AB=AC9DE=DC,AACB=ADCE=45°,
△力。石和石都是等腰直角三角形,CAB=ACDE=90°,£ECB=^DCA,
cosZACB=cosZDCE,
.AC或即EEJD
^BC"ECBC'AC,
又,:ZECB="CA,
:,AECBSADCA,
・・・N6=/ZMC=45°,
ADAC=^ACJB=45°,
:.ADIICB\
②解:作EHIIAD交AC干点H,如图2所示:
DPAD
贝niUI:=,
PEEH
由①中的△ECBs/\Z?C4得:器噌■啦,
•:ADAC=^B=45°=ZDEC,
.\AADE=Z_ACE9
tanZACE=tanZADE=-^-y
设AE=2m,
AR1
・•.tan//CE=^=高,
AvZ
AC=4TH,
:.BE=AB-AE=AC-AE=4m-2m=2my
:,AE=BE,
BC=\p^AC=4A/2ZT2,
YEHIIAD,ADIICB9
:.EHIICB,
・・・石//是△SBC的中位线,
EH=^BC=^-X4-,f2m=2y]2m,
.BE2mr~
FF二如m,
.DP_AD_V2m1
"PE=EH-2V2m-'2'
D,
图2
9.解:(1)由题意得,AP=t,BP=8-t,BQ=2t,
故答案为:f;8-t;2t-,
(2)PQLAB,
理由如下:连接力。,
•."2=60°,AB=BC,
为等边三角形,
,••点。到达点。时,BQ=BC=8cm,AP=4,
..•尸为44的中点,
:.PQ1AB;
(3)△8PQ能称为等边三角形,
••,"=60°,
.•.当BP=3。时,能称为等边三角形,
此时,8-t=2t,
解得,
10.(1)证明:•・・43=/。,H为B。的中点,
:./_B=LACB,AH\_BC,
・・.NCWF=9(T,
•・•ZDEC=ZBDE+ZB,
・・.ZDEC=ZBDE+ZACB,
•・,ZAFD=ZACB+ZBDE,
:.AAFD=/_DEC,
•:£CFH=/_AFD,
・•.ZDEC=ZCFH,
^CFH+Z.DCE=90°,
1,ZDCE+ZDEC=90°,
•,./8E=1800-{ADCE+/_DEO=90°,
:.CD_\_DE;
(2)证明:由(1)得,ZAHB=90°,
♦:BD=DH,
・•.ZDBH=ZDHB,
.-.90°-ADBH=90°-Z_DHB,
:./_DAH=/_DHA,
:.DH=AD,
BD=AD,
如图2,延长GO交C4的延长线于M,
■:BGIIAC,
:.乙M=乙BGD、ZDAM=ZDBG,
:./\DBG^/\DAM(AAS),
:.DG=DM,AM=BG,
由(1)知,CD'DE,
:.CG=CM,
:.CG=CM=AM+AC=BG+AC-,
(3)解:如图3,
延长GO交。1的延长线于M,连接/尸交CD于Q,连接BP交DG于N,连接DP,
延长PH交CD于K,连接AK,在。。上取一点R,使DR=HK,
由(2)知,ZDAM=ZDBG,BD=AD,
■:CP=CA,
:.CD\_AP,8平分Z尸,
:,AD=DP,NCQ尸=90°,
,:BD=AD=DP,
:.ZDBP=ZDPB,ZDPA=ZDAP,
•/ZABP^ZAPB+ZBAP=1800,
/.ZDBP^/_DPB+/_DPA^/_DAP=180°,
・•.ZAPB=90°,
:./_CQP=/_APB,
:.CD\\PB.
/.ZHBP=ZHCK,乙HPB=LHKC,
,:BH=CH,
MXHKSXHPB(AAS),
:.HK=PH=6,CK=PB,
:,PK=PH+HK=6+6=12,
•・•点K在CD上,
.\AK=PK=12,
•:£AHK+/PHB=\8G-AAHB=90°,
,:ZPHB+£ADF=9G°,
••.Z.AHK=AADF,
':AD=AH9DR=HK,
:.RADR^XAHK〈SAS),
:,AR=AK,/_DAR=/_HAK,
:.QR=QK,ZDAR+/_RAF=ZHAK+Z.RAF,
ZDAF=ZRAK,
ABAC=120°,AB=AC9AH_LBC,
・・.NZMF=//期。=60。,
・・.△NKR是等边三角形,
.・.M?=4f=12,
-:AP_\_CD,
.・.&0=/A7?=6,
DQ=DR+RQ=6+6=12,
•.28G=90°,
・•.ZCDE=ZCQP,
:.MGIIAP,
,/APB+/DNP=180°,
:.ADNP=9G°,
YBD=DP,
;.BN=NP,
•・,MGHAP,
・•.ZNDP=ZQPD,
•:/_DNP=/_CQP=)S,DP=DP,
:.XND蜂XQPD(AAS),
:,DQ=PN=\2,
:.PB=2PN=2DQ=24,
:,CK=PB=24,
・•.CD=DR+KR+CK=6+12+24=42,
即线段8的长为42.
M
八
图3
图2
ii.解:(1)•・・△/oe,△。加都是等边三角形,
OB=AByCB=DJB,ZABO=Z_DBCy
:./_OBC=/_ABC,
在△OBC和中,
'OB=AB
Z0BC=ZABC,
,CB=DB
:./\OBC^^ABD(S/1S);
(2)点。在运动过程中,NC4。的度数不会发生变化,理由如下:
是等边三角形,
.・./504=/043=60°,
,:XOBSlxABD,
/期。=/口。。=60°,
ZO4Z?=180°-/OAB-/BAD=60°;
(3)-:AOBC^AABD,
;."OC=/BAD=60°,
又•.,NQ4B=60°,
CME=180°-60°-60°=60°,
ZEAC=120°,NOEA=30°,
.•.以/,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时,力E和是腰,
•.•在RtZ\/OE中,OA=1,NOEA=30°,
'.AE=r2,
\AC—AE=2,
OC=1+2=3,
・•・当点。的坐标为(3,0)时,以E,。为顶点的三角形是等腰三角形.
12.(1)证明:如图1中,
YBE1AD于E,
:,Z.AEF=/_BCF=3D°,
,:乙AFE=/_CFB,
;・Z_DAC=/_CBF,
♦;BC=CA,
;.BF=AD.
(2)结论:BD=2CF.
理由:如图2中,作石于H
•/ZAHE=ZACD=ZDAE=90°,
・••NZZ4C+N400=90。,/_DAC+/_EAH=90°,
:.乙DAC=(AEH,・・・AD=AE,
:.XACD^XEHA,
:.CD=AH,EH=AC=BC9
,:CB=CA,
・・・BD=CH,
VZEHF=ZJBCF=90°,ZEFH=ZBFC,EH=BC,
:.XEHF^XBCF、
:.FH=CF,
:,BD=CH=2CF.
(3)如图3中,同法可证m=2C〃.
-:AC=3CM,设CM=a,则ZC=CS=3a,BD=2a,
・DB=2a_=2
,•而一石-T
13.证明:(1)...ZB=4GM是中点,
是NA4O的角平分线,
':MDAB,MEIAC,
:.ME=MD,
(2)如图2,过点〃作MELACTE,作MDJ_AB于D,则ZMDP=ZMEQ=90°,
ED
C
MB
O
图2
由(1)知:ME=MD,
•:APMQ=150°,/840=30°,
AZBAC+APMQ=180°,
・•・/力必什N0=180°,
':Z.APM+/_DPM=180°,
・・•ZDPM=ZQ,
:.XMDP^XMEQ(AAS),
:.MP=MQ;
(3)如图3,作点N关于SC的对称点N,点N关于ZB的对称点抽,连接“抽交
ZC于F,交4S于G,连接4佻,ANz,AN,
图3
由对称得:AN=ANi=AN?,乙CAN=々CAN】,/_BAN=/_BAN?,
,.284。=30°,
:.ANxAN2=60°,
抽是等边三角形,
:.AN[=N[N2,
■:FN=FNX,GN=GN2,
:.4NFG的周长=FN+GN+FG=FNX+FG+GN2,
•.•点MF,G分别在BGAB,/C上运动,
,当FN>FG,G叫共线时,△TVRG的周长最小,
.,.△NRG的周长的最小值是“、的长,即当“、最小时,△7VFG的周长最小,
,:N\N?=AN,
当时,/N最小,此时N与"重合,
-:AM=12,
二△八犷G的周长的最小值是12.
14.解:【特例探究】①如图2中,作N/B。’=/_ABD,BD'=BD,连接8',47',
•:AB=AC,NA4C=90°,
/45。=45°,
•;"BC=30°,
:.ZABD=ZABC-ZDBC=15°,
,AB=AB
在△/BZ?和△/B。’中,,ZABD=ZABD/
BD=BD'
:.AABD=AABD'=15°,/_ADB=/_AD'B,
zD'BC=AABD'+AABC=60a,
■:BD=BD',BD=BC,
:.BD'=BC,
.•.△O'是等边三角形,
②・・•△O'BC是等边三角形,
:.D'B=D'C,乙BD'C=60°,
,AD,二AD,
在8和△力。'。中,(D'B=D'C,
AB=AC
:.^AD'B^/\AD'C,
:./_AD'B=ZAD'C,
:./_AD'ZBD'C=30°,
:.£ADB=30a.
故答案为:等边,30°;
【问题解决】解:NDBC<ZABC,
.,.60°<a<120°,
如图3中,作NAB。'=£ABD,BD'=BD,连接8',AD',
D'
图3
■:AB=AC,
:.AABC=/_ACB,
•:/_BAC=a.,
:.AABC=^(180°-a)=90°--^-a,
ZABD=ZABC-ZDBC=900-^a-p,
同(1)①可证,
:.AABD=ABD'=90°-石a-0,BD=BD',/_ADB=/_AD'B
:.ZD'BC=/_ABD'+/ABC=90°--^-a-p+90°--1-a=180o-(a+p),
•••a+p=120°,
ZD'30=60°,
由(1)②可知,XAD'B^
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