高考数学(考点解读-命题热点突破)专题19-坐标系与参数方程-文

PAGEPAGE16专题19坐标系与参数方程文【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程例1、【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此【变式探究】[2015·全国卷]在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程是θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情况灵活选取．【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4t2－6))(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)，l与C相交于A，B两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；(2)设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．【解析】：(1)直线l的直角坐标方程为y＝eq\r(3)x，则直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)．曲线C的普通方程为y＝x2－6.(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t，))代入y＝x2－6，得t2－2eq\r(3)t－24＝0，∴Δ＝108>0，t1＋t2＝2eq\r(3)，∴eq\f(t1＋t2,2)＝eq\r(3)，即点M所对应的参数为eq\r(3)，∴点M的直角坐标为(eq\f(\r(3),2)，eq\f(3,2))，∴点M的极坐标为(eq\r(3)，eq\f(π,3))．【命题热点突破二】简单曲线的参数方程例2、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【答案】（I）圆,（II）1时，极点也为的公共点，在上.所以.【变式探究】已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝eq\f(π,6).(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．【解析】：(1)直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝1＋\f(1,2)t))(t是参数)．(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4中，整理得t2＋(eq\r(3)＋1)t－2＝0.①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.【特别提醒】直线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(其中t为参数，α为直线的倾斜角)中t的几何意义是点P(x0，y0)到参数t对应的点的有向线段的数量，解题中注意使用直线参数方程的几何意义，同时注意直线的参数方程中t的系数是否符合上述参数方程．【变式探究】已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋\r(3)t，,y＝2\r(3)＋t))(t为参数)．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合例3、【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【变式探究】已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(4eq\r(3)，eq\f(π,6))，曲线C的极坐标方程为ρ2＋4eq\r(3)ρsinθ＝4.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；(2)若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋2t))(t为参数)距离的最大值．【解析】：(1)x＝ρcosθ＝6，y＝ρsinθ＝2eq\r(3)，∴点P的直角坐标为(6，2eq\r(3))．由ρ2＋4eq\r(3)ρsinθ＝4得x2＋y2＋4eq\r(3)y＝4，即x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16，∴曲线C的普通方程为x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16.(2)由l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋2t))可得直线l的普通方程为x－y－5＝0，由曲线C的普通方程x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16可设点Q(4cosθ，4sinθ－2eq\r(3))，∴则点M的坐标为(2cosθ＋3，2sinθ)，∴点M到直线l的距离d＝eq\f(|2cosθ＋3－2sinθ－5|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos（θ＋\f(π,4)）－2)),\r(2))，当cos(θ＋eq\f(π,4))＝－1时，d取得最大值2＋eq\r(2)，∴点M到直线l距离的最大值为2＋eq\r(2).【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中，一个基本的思路是把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题．【变式探究】以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知圆C的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝1＋2sinφ))(φ为参数)，直线l的极坐标方程是2ρcosθ＋ρsinθ＝6.(1)求圆C的极坐标方程；(2)过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值与最小值．【高考真题解读】1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【答案】（I）圆,（II）13.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.4.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．1．(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，点A的极坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，则点A到直线l的距离为________．【答案】eq\f(5\r(2),2)【解析】依题已知直线l：2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)和点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝eq\f(|2－（－2）＋1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(5\r(2),2).2．(2015·北京，11)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直线ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距离为________．【答案】1【解析】在平面直角坐标系下，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化为(1，eq\r(3))，直线方程为：x＋eq\r(3)y＝6，∴点(1，eq\r(3))到直线的距离为d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,2)＝eq\f(|－2|,2)＝1.3．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距离的最大值是________．【答案】6【解析】由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝eq\f(π,3)得y＝eq\r(3)x，即eq\r(3)x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝eq\r(3)x的距离为2，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝eq\f(π,3)的最大距离为4＋2＝6.4．(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圆C的半径．5．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解析】(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为eq\f(1,2).6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，eq\r(3))，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．【解析】(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将代入②式，得t2＋5eq\r(3)t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.1.【2014高考安徽卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（）A.B.C.D.【答案】D2.【2014高考北京卷理第3题】曲线，（为参数）的对称中心（）A．在直线上B．在直线上C．在直线上D．在直线上【答案】B【解析】参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.3.【2014高考湖北卷理第16题】已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为.【答案】【解析】由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为.4.【2014高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.【答案】5.【2014江西高考理第12题】若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据，得：解得，选A.6.【2014重庆高考理第15题】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.【答案】7.【2014陕西高考理第15题】在极坐标系中，点到直线的距离是.【答案】1【解析】直线化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，点到直线的距离，故答案为1.8.【2014天津高考理第13题】在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．若是等边三角形，则的值为___________．【答案】3．【解析】圆的方程为，直线为．是等边三角形，∴其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得．9.【2014高考福建理第21（2）题】已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（I）求直线和圆的普通方程；（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.【答案】（I）,;（II）10.【2014高考江苏第21C题】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.【答案】【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.11.【2014高考辽宁理第23题】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；(Ⅱ)设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】