尼曼-半导体物理与器件第三章2

第三章固体量子理论初步（2）0

高等半导体物理与器件

第三章固体量子理论初步（2）第三章固体量子理论初步（2）13.3三维扩展势函数的三维扩展晶体中不同方向上原子的间距不同。晶体中不同方向上的势场是不同的。产生不同的k空间边界。E~k关系是k空间方向上的函数。第三章固体量子理论初步（2）2一维模型，关于k坐标对称。GaAs：导带最低能量与价带最高能量位于同一个k位置。直接带隙半导体材料，电子在能带间跃迁无动量改变，这对于半导体材料的光电特性具有重要意义。（1）硅和砷化镓的

k空间能带图第三章固体量子理论初步（2）3右图为Si晶体材料沿[100]、[111]方向的E~k关系图。Si导带最低点与价带最高点处于不同的k值——间接带隙半导体材料。此种材料，电子在不同能带间跃迁涉及动量改变，除了满足能量守恒之外，还必须要满足动量守恒。第三章固体量子理论初步（2）4E~k关系曲线，导带最小值附近曲率→电子有效质量，价带最大值附近曲率→空穴有效质。三维晶体，各方向上的E~k曲线不同，且能带极值可能不在原点；因而，在不同方向上的有效质量不同。对于大多数器件的计算，使用有效质量的统计学平均值就可。（2）有效质量的补充概念第三章固体量子理论初步（2）5k空间量子态密度量子化效应导致k分立一维无限深势阱模型，势阱代表晶体，晶体的长为a，由（2.33）可知：在一维k空间中相邻两个量子状态间隔为π/a。3.4状态密度函数第三章固体量子理论初步（2）6推广到三维：

晶体为边长是a的立方体，体积为a3=V。k空间中的状态分布kx••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••kzky电子的一个允许能量状态的代表点每一个k状态所占k空间体积为：第三章固体量子理论初步（2）7单位k空间允许的状态数为：单位k空间体积内所含的允许状态数等于晶体体积1/8(V/

3)——k空间的量子态（状态）密度gT(k)考虑自旋，k空间的量子态密度为：gT(k)=2V/(2

)3任意k空间体积中所包含的量子态数为：第三章固体量子理论初步（2）8球所占的k空间的体积为：设这个球内所包含的量子态数为Z(k)：k空间中的体积微元为：则k空间量子态密度的微分为：第三章固体量子理论初步（2）9单位体积、单位能量的量子态密度导带底的E~k关系：球形等能面的半径k为：则第三章固体量子理论初步（2）10化简得到：因为有单位体积、单位能量的导带底附近电子的量子态密度（导带底附近电子的状态密度）：第三章固体量子理论初步（2）11同理，可求得价带顶附近空穴的状态密度：状态密度的特点：状态密度同时是体积密度和能量密度；状态密度和能量、有效质量有关；实际半导体中，有效质量具有方向性，因而等能面不为球面，采用平均的有效质量（状态密度有效质量）计算。第三章固体量子理论初步（2）12当Ev<E<Ec时，为禁带（带隙），在此区间g(E)=0。如右图所示，当mn*=mp*时，gc(E)~E图像和gv(E)~E图像关于禁带中心线相对称。第三章固体量子理论初步（2）133.5统计力学（1）统计规律粒子在有效能态中的分布法则

分布函数比较名称项目麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数玻色-爱因斯坦分布函数费米-狄拉克分布函数不同微观粒子间相互可区分不可区分不可分辨每个能态所能容纳的粒子数不受限制不受限制只允许一个粒子适用范围经典粒子能量分布玻色子，不受泡利不相容原理约束费米子，服从泡利不相容原理举例容器中的气体处于相对低压时的状态光子，黑体辐射晶体中的电子第三章固体量子理论初步（2）14（2）费米-狄拉克分布函数费米-狄拉克分布函数fF(E)

代表能量为E的量子态被电子占据的可能性（被电子填充的量子态占总量子态的比率）。表示为： 其中，N(E)为单位体积单位能量的粒子数，g(E)为单位体积单位能量的量子状态。k为波尔兹曼常数，T为绝对温度，EF是费米能级。第三章固体量子理论初步（2）15（3）分布函数和费米能级T=0K，如右上图所示，当E<EF时，fF(E)=1；而当E>EF时，fF(E)=0；T>0K，E>EF，fF(E)<1/2；E=EF，fF(E)=1/2；E<EF，fF(E)>1/2。注意：费米能级EF反映电子在不同能态上的填充水平，但并不一定对应于某个具体能级。第三章固体量子理论初步（2）16T=0K时，13个电子在不同能级、不同量子态上的分布示意图。第三章固体量子理论初步（2）17考虑量子态密度g(E)是能量E的连续函数，如图所示；假设系统中的电子总数为N0，T=0K，电子在这些量子态上的分布情况如图中虚线所示。电子从低能级开始填充，最后使得费米能级EF以下的能级全部填满，而EF以上的能级全部为空。已知g(E)和N0，则可确定费米能级EF。第三章固体量子理论初步（2）18当T>0K时，部分电子将获得一定的热运动能量，因此13个电子在不同能级、不同量子态上的分布情况将会有所改变，如图所示。第三章固体量子理论初步（2）19当T>0K时，电子分布情况的改变可以通过费米-狄拉克分布函数的改变来反映。T>0K时，如果取E=EF，则有：第三章固体量子理论初步（2）20fF(E)反映的是能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率，而1−fF(E)反映的则是能量为E的一个量子态未被电子占据（即为空穴）的几率。空穴的分布：第三章固体量子理论初步（2）21当温度不太高时，E>EF的量子态基本上没有被电子占据；E<EF的量子态，基本上被电子所占据；对于任何温度，电子占据E=EF能态的几率总是1/2。EF位置比较直观地反映了电子占据量子态的情况，即标志电子填充能级的水平。EF

越高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子占据。第三章固体量子理论初步（2）22麦克斯韦-玻尔兹曼近似（或简约玻尔兹曼近似）

当E−EF>>kT时，则有：玻尔兹曼近似exp[(E-EF)/kT]>>1实际使用中E−EF>>kT第三章固体量子理