1-4-2-用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时)-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时

用空间向量研究夹角问题

学习任务核心素养1.能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角．(重点、易混点)2.能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题．(重点、难点)3.能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养.2.通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养.与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．我们能否用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角？探究一、用向量求异面直线所成的角——线线角则两条直线的方向向量的夹角与两异面直线所成角关系是什么？提示：相等或互补．两条直线的方向向量的夹角为锐角(直角)时相等，夹角为钝角时互补．

思考：以上我们用向量解决了异面直线

AM

和

CN所成角的问题，你能用向量方法求直线

AB和平面BCD所成的角吗？

类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角探究二、用向量求直线与平面所成的角——线面角

斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成角.探究三、用向量求两个平面的夹角两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系?

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.二面角的范围：一、用向量求异面直线所成的角二、用向量求直线与平面角三、用向量求两个平面的夹角总结：解：①化为向量问题例1、如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.②进行向量运算③回到图形问题(1)几何法解决此类问题，关键是通过平移求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围．(2)向量法利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角

，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即

.求异面直线所成的角的两种方法课本P382.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的的余弦值是().例2、PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的的余弦值是(

).C

(1)几何法找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．(2)向量法①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为θ，则

.求直线与平面的夹角的方法与步骤解：①化为向量问题分析:因为平面PQR与平西面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可.例3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1，求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.②进行向量运算③回到图形问题

(1)几何法在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，把平面角放到三角形中求解．(2)向量法①建立空间直角坐标系；②求出两个半平面的法向量

，

；③设二面角的平面角为θ，则；④根据图形判断

θ

为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数).求平面与平面的夹角的方法与步骤

A课本P383：

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的