北师大版数学九年级上册 6.2 反比例函数的图象

6.2

反比例函数的图象与性质第六章反比例函数第1课时反比例函数的图象1．什么是反比例函数？2．反比例函数的定义中需要注意什么？（1）k

是非零常数.（2）xy=k．一般地，形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．kx—3．还记得正比例函数的图像与性质吗？回顾与思考函数正比例函数表达式图象形状k>0k<0位置增减性位置增减性y=kx(k是常数，k≠0）直线（经过原点）一、三象限从左到右上升y随

x的增大而增大二、四象限

从左到右下降y随

x的增大而减小反比例函数？4.如何画函数的图象？函数图象画法描点法列表描点连线想一想：

正比例函数y=kx(k≠0)的图像的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？反比例函数的图像与性质又如何呢？反比例函数的图象问题：如何画反比例函数的图象？列表描点连线解：列表如下应注意1.自变量

x

需要取多少值?为什么?2.取值时要注意什么?x-8-4-3-2-112348y-1-2-4-88421描点、连线：x-8

–7

–6

–5

–4

–3

-2

-1

O

1

2

34

5

6

7

8y-1-2-3-4-5-6-7-887654321●●●●●●●●●●●●想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?1.列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算，又便于对称性描点；2.列表描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确地表达函数的变化趋势；3.连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，

依次用光滑的曲线顺次连接各点，从中体会函数的增减性；……注意要点请大家用同样的方法作反比例函数

的图象.解析：通过刚刚的学习可知画图象的三个步骤为列表描点连线需要注意的是在反比例函数中自变量

x不能为

0．解：列表如下x…-6-5-4-3-2-1123456…y…0.8124-4-2-1-0.8…描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得

的图象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4-6-556yxy=

x4O问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？xyxy双曲线

是轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形．OO相同点：1.两支曲线构成；

2.与坐标轴不相交；3.图象自身关于原点成中心对称；4.图象自身是轴对称图形。不同点：

的图象在第一、三象限；

的图象在第二、四象限。归纳总结

形状：反比例函数

的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数

的图象为双曲线.

位置：由

k

决定：

当k>0时，两支曲线分别位于_______________内；当k<0时，两支曲线分别位于_______________内.第一、三象限第二、四象限1.

反比例函数

的图象大致是()CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo练一练例1：若双曲线y=的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜

.故选B.B典例精析例2:如图所示的曲线是函数(m为常数)图象的一支．(1)求常数

m的取值范围；解：由题意可得，m－5＞0，解得m＞5.xyO(2)若该函数的图象与正比例函数

y＝2x的图象在第一象限的交点为

A(2，n)，求点

A的坐标及反比例函数的表达式．解：∵两个函数的交点为A(2，n)，

∴，

解得

.

∴点

A

的坐标为(2，4)；反比例函数的表达式为

.

xyO

１．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有

_____________；

图象位于二、四象限的有___________.(1)(2)(3)(4)3.如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是()A.(1，3)B.(3，1)C.(1，-3)D.(-1，3)xyCO4.已知反比例函数

的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；解：∵反比例函数

的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，

解得k=

6.∴这个函数的表达式为.

(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；解：分别把点B，C的坐标代入反比例函数的表达式，因为点B的坐标不满足该表达式，点C

的坐标满足该表达式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．反比例函数的图象形状双曲线位置画法当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内描点法：列表、描点、连线6.2

反比例函数的图象与性质第六章反比例函数第2课时反比例函数的性质

反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？反比例函数的图象是双曲线复习引入问题1

问题2

反比例函数的图象和性质合作探究例1

画反比例函数与的图象.提示：画函数的图象步骤一般为：列表→描点→连线.需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0.解：列表如下：x…-6-5-4-3-2-1123456……………-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21-2-2.4-3-4-66432.42-1212-1-5-4-6O-2x123456-356y4321-1-2-3-4-5-6描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得函数与的图象.观察这两个函数图象，回答下列问题：思考：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着

x的增大，y如何变化？你能由它们的表达式说明原因吗？(3)对于反比例函数(k＞0)，

考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数(k＞0)的图象和性质：知识要点观察与思考

当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数

(k＜0)的图象和性质吗？yxOyxOyxO反比例函数(k＜0)的图象和性质：●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与

x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随

x的增大而增大.归纳：

(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四

象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.

一般地，反比例函数(k≠0)的图象是双曲线，它具有以下性质：

k的正负决定反比例函数图象的位置和增减性

点(2，y1)和(3，y2)均在函数

的图象上，则

y1

y2(填“＞”“＜”或“=”).＜练一练例2

已知反比例函数，y随x的增大而增大，求

a的值.解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.反比例函数的图象和性质的初步运用练一练

已知反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．解：由题意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.例3

已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：设这个反比例函数的表达式为，因为点

A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.

因为点B，C的坐标都满足该表达式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D

不在这个函数的图象上.所以反比例函数的表达式为.(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？Oxy例4

如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？解：因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，

y1＜y2.5.已知反比例函数

的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；解：∵反比例函数

的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，

解得k=

6.∴这个函数的表达式为.

(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；解：分别把点B，C的坐标代入反比例函数的表达式，因为点B的坐标不满足该表达式，点C

的坐标满足该表达式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．

(3)当－3<x<－1时，求y的取值范围．解：∵当x=－3时，y=－2；当x=－1时，y=－6，且k>0，∴当x<0时，y随x的增大而减小，∴当－3<x<－1时，－6<y<－2.1.在反比例函数的图象上分别取点

P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为

S1，S2

的矩形，并填写下页表格：合作探究反比例函数表达式中k的几何意义51234-15xyOPS1

S2P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系44S1

=S2S1=S2=k-5-4-3-21432-3-2-4-5-1QS1

的值S2

的值S1与

S2的关系猜想

S1，S2与k的关系P(－1，4)，Q(－2，2)2.

若在反比例函数的图象

上也用同样的方法取

P，Q两点，并分别向两坐标轴引垂线，

围成面积为

S1，S2

的矩形，填写表格：44S1=S2S1=S2=-kyxOPQS1

S2由前面的探究过程，可以猜想：

若点

P是反比例函数(k≠0)图象上的任意一点，作PA⊥x轴于点

A，PB⊥y轴于点

B，点

O

为坐标原点，则矩形AOBP的面积与

k的关系是

S矩形AOBP=|k|.自己尝试证明

k>0的情况.yxOPS我们就k＜0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b).AB∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP=

PB·PA=-a·b=-ab=

-k.若点P

在第二象限，则a＜0，b＞0.若点P在第四象限，则a＞0，b＜0.∴S矩形AOBP=

PB·PA=a·(-b)=

-ab=

-k.BPA综上可知，S矩形AOBP=|k|.k＞0的情况请同学们自行证明！点Q是其图象上的任意一点，作QA⊥y轴于点

A，作QB⊥x轴于点

B，则矩形

AOBQ的面积与k的关系是

S矩形AOBQ

=

.推论：△QAO

与△QBO

的面积和k的关系是

S△QAO

=

S△QBO

=.对于反比例函数

(k≠0)，AB|k|yxO归纳：反比例函数的面积不变性QA，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与

x

轴、y

轴围成的矩形的面积分别为

SA，SB，SC，则()A.SA＞SB＞SC

B.SA＜SB＜SCC.SA=

SB

=

SC

D.SA＜SC＜SB1.如图，在函数(x＞0)

的图象上有三点

yxOABCC练一练2.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于

A.若△POA的面积为6，则k=

.-12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.yxOPA3.

若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向

x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形

PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是

.或的任意两点，过P作x轴的垂线PA，垂足为A，过点C作x轴的垂线CD，垂足为D，连接OC交PA于点E.设△POA的面积为S1，则S1

=

；梯形

CEAD

的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1

S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是

S3

S2.例5

如图，P，C

是函数(x＞0)图象上典例精析2S1S2＞＝S3如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知

S△OFE

=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为

S1=S2＜

S3FS1S2S3是

AB上的点，△AOC的面积S1，△BOD的面积S2，△POE的面积S3的大小关系为

.S1=S2＜S3例6

如图，点A是反比例函数(x＞0)

图象上的任意一点，AB∥x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S平行四边形ABCD=___.yDBACx325

如图所示，在平面直角坐标系中，过点

M的直线与x轴平行，且直线分别与反比例函数(x＞0)和(x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ的面积为8，则k=______.QPOxMy－10练一练例7

如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线上，且x2－x1=4，y1－y2=2.分别过点A，B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C，D，E，F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的表达式为

.解得k=6.∴双曲线的表达式为.解析：∵x2－x1=4，y1－y2=2，∴BG=4，AG=2，∴S△ABG=4×2÷2=4.由反比例函数面积的不变性可知，S长方形ACOE=S长方形BDOF=k.∴S五边形AEODB

=

S四边形ACOE+S四边形BDOF－S四边形FOCG+S△ABG=k+k－2+4=14.解析：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x

轴于点F.∵P

是AC的中点，∴S四边形OCPD=S四边形ACOE=S四边形BDOF

=k，

如图，已知点A，B在双曲线上，AC⊥x轴于点

C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为

6，则k=

.24练一练EFS△ABP=S四边形BFCP，=(S四边形BDOF－S四边形OCPD)=(k－k)=k=6.∴k=24.1.已知反比例函数的图象在第一、三象限内，

则

m的取值范围是________.2.

下列关于反比例函数