福建省泉州市泉港一中高二下学期期中数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省泉州市泉港一中高二（下）期中数学试卷（文科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4}，B={x｜x2＜16，x∈N｝，则A∩B等于（）A．｛﹣1，0,1，2,3} B．{0,1，2,3，4｝ C．｛1，2,3｝ D．｛0,1，2，3}2．已知集合A=｛x｜y=lg（﹣x2+2x+3）}，且A∩B=∅，则集合B的可能是(）A．｛2，5} B．(﹣∞，﹣1） C．(1，2） D．｛x|x2≤1}3．若x0是方程的解，则x0属于区间(）A．（0，1） B．(1,2） C．（2,e) D．(3，4）4．已知f(x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=1gx，设a=f（3)，b=，c=f（﹣2)，则（)A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c5．若函数f（x）=ax2+,则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，函数f（x)是奇函数B．∃a∈R，函数f(x）是偶函数C．∀a∈R,函数f（x）在（0，+∞）上是增函数D．∃a∈R，函数f（x)在（0，+∞）上是减函数6．实数a=0。2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（)A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．若则“x＞1"是“a＞b”的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．函数的图象大致是（）A． B． C． D．9．已知奇函数f(x）满足f（x﹣2)=f（x）,当0＜x＜l时,f(x）=2x，则f(log29）的值为（）A．9 B．﹣ C．﹣ D．10．函数f（x)=x3+ax2+（a﹣3）x(a∈R）的导函数是f’（x），若f'（x）是偶函数,则以下结论正确的是（）A．y=f（x）的图象关于y轴对称 B．y=f（x）的极小值为﹣2C．y=f(x）的极大值为﹣2 D．y=f（x）在(0,2）上是增函数11．函数f（x）=xsinx，若α、β，且f（α)＞f（β),则以下结论正确的是（）A．α＞β B．α＜β C．｜α|＜｜β｜ D．｜α|＞|β|12．已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）A．(﹣∞，e） B．（﹣∞，e］ C． D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．已知函数（a＞0，a≠1）．若f(e2）=f（﹣2），则实数a=．14．函数f（x）的图象是如图所示的折线段OAB，点A坐标为（1，2），点B坐标为(3，0），定义函数g（x）=f(x)•（x﹣1），则函数g（x）最大值为．15．已知f(x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln(﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点(1，﹣3）处的切线方程是．16．已知函数y=f（x)和y=g（x）在的图象如图所示：则方程f=0有且仅有个根．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），且f（4）﹣f（2)=1．（1）若f（3m﹣3）＜f（2m+1），求实数m的取值范围；（2)求使成立的x的值．18．已知函数f（x）=mlnx﹣（m，n∈R）在x=1处有极值1．(1）求实数m，n的值;(2）求函数f(x）的单调区间．19．如图,在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形,BC⊥EB，EA⊥EB，M，N分别为AE，CD的中点，求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．20．已知二次函数y=f（x）满足f（0)=3，f（1）=0且f（x+2)是偶函数．（1）若f(x）在区间上不单调，求a的取值范围；(2）若x∈,试求y=f（x）的最小值．21．已知函数f（x）=x+alnx（a∈R)，g(x)=ex﹣1（1）若直线y=0与函数y=f（x)的图象相切,求a的值；（2)设a＞0，对于∀x1，x2∈∪时，f（x）=2x,即可求f（log29）的值．【解答】解：∵奇函数f(x）满足f（x﹣2）=f（x),∴∴函数的周期T=2．∴f（log29)=f（﹣4+log29）=f（log2)=﹣f（log2）．∵0＜log2＜1，∴f（log2）=，∴f（log29）=﹣故选C．10．函数f（x）=x3+ax2+(a﹣3)x（a∈R)的导函数是f'（x)，若f'（x)是偶函数，则以下结论正确的是(）A．y=f（x）的图象关于y轴对称 B．y=f(x）的极小值为﹣2C．y=f(x）的极大值为﹣2 D．y=f（x）在(0,2）上是增函数【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f(﹣x）=f(x）建立等式关系，解之即可．【解答】解:对f（x)=x3+ax2+(a﹣3）x求导，得f′（x)=3x2+2ax+a﹣3，又f′(x)是偶函数，即f′(x）=f′(﹣x），即3x2+2ax+a﹣3=3x2﹣2ax+a﹣3，化简得a=0，∴f′(x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，即3x2﹣3=0，∴x=±1令f′（x）＞0得函数的单调增区间为(﹣∞，﹣1），(1,+∞）令f′（x)＜0得函数的单调减区间为（﹣1，1）∴函数在x=1时取得极小值为：﹣2，极大值为2故选：B．11．函数f（x）=xsinx，若α、β,且f（α）＞f（β），则以下结论正确的是（）A．α＞β B．α＜β C．|α｜＜|β｜ D．|α|＞｜β｜【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】f（x)=xsinx，⇒f(﹣x）=f(x）⇔f（|x|）=f（x），可令0≤x≤，f′（x）=sinx+xcosx＞0，⇒f(x）=xsinx在上单调递增，由f（α)＞f（β）⇔f(|α｜）＞f（｜β｜）即可得答案．【解答】解：∵f(x）=xsinx，∴f(﹣x)=f（x),∴f（|x｜）=f（x），不妨令0≤x≤,则f′（x）=sinx+xcosx＞0，∴f(x）=xsinx在上单调递增；∵f（α）＞f（β),f（｜α｜)=f（α),f（β)=f（|β｜）,∴f（｜α|)＞f（｜β|），由f（x)=xsinx在上单调递增得：｜α|＞｜β｜．故选D．12．已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（)A．（﹣∞，e） B．（﹣∞,e] C． D．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】由题意可知f（x)=﹣g(x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义,求出切点，结合图象，可知a的范围．【解答】解：函数f(x)=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f(x)=﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3=﹣x3+ax，∴lnx=ax,在(0,+∞）有解，分别设y=lnx，y=ax，若y=ax为y=lnx的切线,∴y′=，设切点为（x0，y0），∴a=,ax0=lnx0，∴x0=e,∴a=，结合图象可知,a≤故选:D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卷的相应位置．13．已知函数(a＞0，a≠1）．若f（e2)=f（﹣2），则实数a=．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】利用分段函数转化列出方程，求解即可．【解答】函数（a＞0,a≠1）．若f(e2)=f（﹣2）,可得：lne2=a﹣2,即a﹣2=2，解得a=．故答案为：14．函数f（x）的图象是如图所示的折线段OAB，点A坐标为（1，2），点B坐标为（3，0)，定义函数g（x)=f（x）•（x﹣1)，则函数g（x）最大值为1．【考点】3H:函数的最值及其几何意义．【分析】先根据函数f(x)的图象求出解析式，再根据g（x）=f（x)•（x﹣1）求得函数g（x）的解析式,分段求出最大值，则函数g（x)最大值可求．【解答】解：如图，由图可知，函数f(x）的解析式为:f(x）=，又∵g（x）=f（x）•(x﹣1），∴函数g（x）的解析式为：g(x）=,当0≤x≤1时，g（x）=，∴g（x）max=g(1）=g（0）=0；当1＜x≤3时，g（x）=﹣（x﹣2）2+1≤1．∴函数g（x）最大值为1，故答案为：1．15．已知f(x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由偶函数的定义,可得f（﹣x）=f（x)，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f(﹣x)=f(x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x)+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1)=ln1﹣3=﹣3，f′(1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．16．已知函数y=f(x）和y=g（x）在的图象如图所示：则方程f=0有且仅有6个根．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．通过f（x）=0可知函数有三个解，g(x）=0有2个解，推出正确结论．【解答】解：由于满足方程f=0的g（x）有三个不同值，由于每个值g（x）对应了2个x值，故满足f=0的x值有6个，即方程f=0有且仅有6个根．故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x)=logax（a＞0，a≠1），且f（4)﹣f（2）=1．（1）若f（3m﹣3）＜f（2m+1），求实数m的取值范围；(2）求使成立的x的值．【考点】57:函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用对数的运算性质解方程得出a，再利用f（x）的单调性列方程组解出m；（2)由题设可知x+=3，解方程得出x的值．【解答】解：（1）∵f（4)﹣f（2)=1，∴loga4﹣loga2=loga2=1．∴a=2,∴f（x)=log2x．∴f（x）在定义域（0,+∞）上单调递增，∵f（3m﹣3)＜f（2m+1），∴,解得：1＜m＜4．（2）∵f（x+）=log2(x+）=log23，∴x+=3，解得x=1或x=2．18．已知函数f（x）=mlnx﹣（m，n∈R）在x=1处有极值1．（1)求实数m，n的值；（2）求函数f(x)的单调区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值为1，列出方程组，求解即可．（2)化简函数的解析式，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．【解答】解：(1)由条件函数f（x)=mlnx﹣得f′（x)=．因为f(x）在x=1处有极值1,得，即解得m=1，n=﹣．经验证满足题意．…（2）由(1）可得f（x)=lnx+,定义域是（0，+∞）,f′（x）==，由f′（x)＞0，得x＞1;f′（x）＜0，得0＜x＜1．所以函数f（x）的单调减区间是（0，1),单调增区间是（1，+∞）．…19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中,四边形ABCD为矩形，BC⊥EB，EA⊥EB，M,N分别为AE，CD的中点，求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS:直线与平面平行的判定．【分析】(1）取BE的中点F，连接CF，MF,通过证明四边形EFCN是平行四边形得出MN∥CF，得出MN∥平面EBC；（2)证明BC⊥平面EAB得出BC⊥AE，结合AE⊥EB得出EA⊥平面EBC．【解答】证明：（1）取BE的中点F，连接CF，MF，∵M是AE的中点，F是BE的中点，∴MF∥AB，MF=AB，又N是矩形ABCD的边CD的中点,∴NC∥AB，NC=AB，∴MF∥NC，MF=NC，∴四边形MNCF是平行四边形，∴MN∥CF,又MN⊄平面BCE,CF⊂平面EBC，∴MN∥平面EBC．(2）∵BC⊥AB，BC⊥EB,EB∩AB=B,AB⊂平面EAB，EB⊂平面EAB，∴BC⊥平面EAB,又EA⊂平面EAB，∴BC⊥AE，又AE⊥EB，EB∩BC=B,EB⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE．20．已知二次函数y=f（x）满足f(0）=3，f（1）=0且f（x+2)是偶函数．（1)若f（x）在区间上不单调，求a的取值范围；（2）若x∈，试求y=f（x）的最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3W：二次函数的性质．【分析】（1）由已知可得y=f（x）的对称轴为x=2,设出二次函数的两根式，结合f（0）=3求得函数解析式，得到函数的对称轴方程，由对称轴大于2a小于a+2求得a的取值范围；（2）由（1）得到函数的对称轴，然后分类利用单调性求y=f（x）在上的最小值．【解答】解：（1）由已知f（x+2)是偶函数，可得y=f（x）的对称轴为x=2，∵y=f(x）是二次函数，且f（1）=0,∴f（3）=0,设f(x）=a(x﹣1)(x﹣3),又f(0