福建省泉州市泉港一中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省泉州市泉港一中高二(下)期中数学试卷（理科）一、选择题1。在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72,则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．183．我们知道：“心有灵犀"一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4,5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b,若|a﹣b｜≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是(）A． B． C． D．4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度X的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与X之间的回归方程，算出对应相关指数R2如下表:则这组数据模型的回归方程的最好选择应是(）拟合曲线直线指数曲线抛物线二次曲线y与x回归方程=19.8x﹣463.7=e0。27x﹣3.84=0。367x2﹣202=相关指数R20。7460。9960。9020.002A．=19。8x﹣463.7 B．=e0。27x﹣3。84C．=0。367x2﹣202 D．=5．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P(ξ≥2）=(）A．0.4 B．0。3 C．0.2 D．0。16．n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=()A．6 B．7 C．8 D．97．设随机变量X的概率分布列如表,则P（｜X﹣3|=1）（）X1234PmA． B． C． D．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（)A． B． C． D．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种 B．36种 C．42种 D．48种11．将数字“123367"重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24012．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9,0。8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0。998 B．0.046 C．0。002 D．0。954二、填空题复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．14．在（2x+1)(x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是（用数字作答）．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B｜A)=．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对,则获得第一名的选手号数是．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤)17．(10分)已知盒子中有4个红球，2个白球,从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率;（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．18．（12分）如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1)证明：PA∥平面BDE;（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．19．（12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：员工编号12345678910年薪（万元）44。5656。57。588.5951（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；(2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8。5万元,预测该员工第五年的年薪为多少？附:线性回归方程中系数计算公式分别为：，,其中为样本均值．20．（12分）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游,某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间,随机抽取了100人,得如下所示的列联表：赞成“自助游”不赞成“自助游"合计男性30女性10合计100（1）若在100这人中,按性别分层抽取一个容量为20的样本,女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料能否在犯错误的概率不超过0。05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系?(2）若以抽取样本的频率为概率,从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品,记这3人中赞成“自助游”人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500。0100。001k2.7063.8416.63510。82821．(12分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在(1,f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ)若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．22．(12分)已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B,且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．

2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1。在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解:∵复数z=i（2﹣i)=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（)A．6 B．9 C．12 D．18【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过给x赋值1得各项系数和,据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法;考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．3．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在｛1,2，3，4,5,6｝中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若｜a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A． B． C． D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果,根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率列举出所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3）,（4，4），(5,5），（6，6）（1，2），（2，1）,(1,3),（3，1）,（1，4），（4，1）,（1，5)，（5，1），（1，6），(6，1）（1，3），（3，1），（2，4）,(4，2)，(3，5），（5，3），（4，6），(6，4）,（1，4），（4，1）,(2，5），（5，2)，（3，6）,（6，3），(1,5），（5，1），(2，6），(6,2），（1,6），(6，1），共计36个．记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，事件B包含的基本事件为：（1，1),(2，2），（3，3)，（4，4），（5，5)，（6，6）（1,2)，(2，1）,（2，3），(3,2)，（3,4)，（4，3)，（4，5)，（5,4)，（5，6），（6，5），共计16个．∴P==，∴“甲乙心有灵犀"的概率为．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力,注意列举出的事件数做到不重不漏．4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度X的几组数据后发现两个变量有相关关系,并按不同的曲线来拟合y与X之间的回归方程，算出对应相关指数R2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是()拟合曲线直线指数曲线抛物线二次曲线y与x回归方程=19。8x﹣463.7=e0.27x﹣3.84=0.367x2﹣202=相关指数R20。7460.9960。9020.002A．=19.8x﹣463.7 B．=e0.27x﹣3.84C．=0.367x2﹣202 D．=【考点】BK：线性回归方程．【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0。98是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.996是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是指数曲线:=e0。27x﹣3.84．故选:B．【点评】本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0。4，则P(ξ≥2）=（)A．0.4 B．0.3 C．0。2 D．0。1【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用正态分布的对称性得出答案．【解答】解：∵ξ～N（1，σ2）,∴P（ξ≥2）=P(ξ≤0)=P（ξ≤1)﹣P(0＜ξ≤1)=0。5﹣0.4=0。1．故选:D．【点评】本题考查了正态分布的特点,属于基础题．6．（1+3x）n(其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=(）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数,列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5,36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．设随机变量X的概率分布列如表,则P(｜X﹣3|=1）（)X1234PmA． B． C． D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量X的概率分布列,求出m的值，再利用和概率公式计算P（|X﹣3|=1)的值．【解答】解：根据随机变量X的概率分布列知,+m++=1，解得m=；又｜X﹣3｜=1，∴X=2或X=4，则P（|X﹣3|=1）=P（X=2）+P（X=4)=+=．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是基础题．8．考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A． B． C． D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解:甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C62=15条,甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法,因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型,所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】由于本题所给的命题是一个特称命题,故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可【解答】解：用反证法证明命题:“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°"时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B【点评】本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题,要注意记忆与领会．10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班,每天安排2人,每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日,则不同的安排方法共有（）A．30种 B．36种 C．42种 D．48种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析，首先计算计算6名职工在3天值班的所有情况数目，再排除其中甲在5月28日和乙在5月30日值班的情况数目，再加上甲在5月28日且乙在5月30日值班的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先安排6人在3天值班，有C62×C42×C22种情况，其中甲在5月28日值班有C51×C42×C22种情况，乙在5月30日值班有C51×C42×C22种情况，甲在5月28日且乙在5月30日值班有C41×C31种情况,则不同的安排方法共有C62×C42×C22﹣2×C51×C42×C22+C41×C31=42种，故选:C．【点评】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同,本题中要注意各种排法间的关系,做到不重不漏．11．将数字“123367"重新排列后得到不同的偶数个数为（)A．72 B．120 C．192 D．240【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析：①．在2、6中任选1个安排在个位数字，②由倍分法分析前5个数位的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意,分2步进行分析：①、要求为偶数，则其个位数字为2或6，有2种情况，②、将其余5个数字全排列，安排在前5个数位,由于其中有2个“3",则前5个数位有=60种情况，则可以得到2×60=120个不同的偶数；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，注意数字中有两个“3”．12．在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9,0。8,若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁,则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0。046 C．0。002 D．0.954【考点】CA:n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】三架武装直升机各向目标射击一次，可以设Ak表示“第k架武装直升机命中目标”．分两种情况：①恰有两架武装直升机命中目标，分为三种:甲乙射中丙不中或甲丙射中乙不中或乙丙射中甲不中；②三架直升机都命中．分别求出其概率,再用加法原理，相加即可得到目标被摧毁的概率．【解答】解：设Ak表示“第k架武装直升机命中目标”．k=1,2，3．这里A1，A2,A3独立，且P（A1）=0。9，P（A2)=0.9，P（A3）=0。8．①恰有两人命中目标的概率为P（）=P（A1）P（A2）P（）+P（A1）P（）P（A3)+P（)P(A2)P(A3）=0。9×0.9×0.1+0。9×0。1×0.8+0。1×0。9×0.8=0.306②三架直升机都命中的概率为:0.9×0。9×0.8=0。648∴目标被摧毁的概率为：P=0。306+0.648=0。954．故选D．【点评】此题主要考查n次重复独立试验发生k次的概率问题，其中涉及到相互独立事件的概率乘法公式．这两个知识点在高考中都属于重点考点，希望同学们多加理解．二、填空题（2017春•泉港区校级期中）复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解:∵==为纯虚数，∴，解得a=2．∴z=2+i．则复数z=2+i的模为：．故答案为:．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法,是基础题．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是﹣10（用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把(x﹣1）5按照二项式定理展开，可得（2x+1)（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：∵（2x+1)（x﹣1)5=（2x+1)(•x5﹣•x4+•x3﹣•x2+•x﹣）故含x3项的系数是2(﹣)+=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．如图所示,在边长为1的正方形OABC内任取一点P,用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内"，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A)=．【考点】CM:条件概率与独立事件．【分析】阴影部分由函数y=x与围成,由定积分公式，计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解:根据题意,阴影部分由函数y=x与围成，其面积为(﹣x）dx=（）=，A表示事件“点P恰好取自曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，面积为+=，则P（B|A）等于=．故答案为．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测:3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4,5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是3．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别假设甲对、乙对、丙对,丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【解答】解：若甲猜对,则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对,则丙猜对，与题意不符,故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对,与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．综上，获得第一名的选手号数是3．故答案为：3．【点评】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力,考查命题的真假判断及应用，是中档题．三、解答题（6大题,共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•泉港区校级期中）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率;（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）使用组合数公式计算概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（1)没有抓到白球,即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是．（2）X的所有可能取值为1，2，3，,=，,∴X的分布列为：X123P∴E(X）=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了组合数公式，超几何分布,数学期望的计算,属于基础题．18．（12分）(2012•雁塔区校级模拟)如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．(1）证明：PA∥平面BDE;（2)求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【考点】MR:用空间向量求平面间的夹角；LS:直线与平面平行的判定．【分析】（1）法一：连接AC，设AC与BD交于O点,连接EO．由底面ABCD是正方形，知OE∥PA由此能够证明PA∥平面BDE．法二：以D为坐标原点,分别以DA，DC，DP所在直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则，设是平面BDE的一个法向量，由向量法能够证明PA∥平面BDE．(2)由（1）知是平面BDE的一个法向量,又是平面DEC的一个法向量．由向量法能够求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【解答】（1)解法一：连接AC，设AC与BD交于O点,连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点,∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE．解法二：以D为坐标原点,分别以DA，DC，DP所在直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0,0，2)，E（0，1，1）,B(2，2，0）．∴，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，∴．∵,∴,又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2)由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ,由题意可知．∴．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重点题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•湖北模拟）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表:员工编号12345678910年薪（万元）44.5656.57。588。5951（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人,此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元,5。5万元，6万元,8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率,即可求ξ的分布列和期望；（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．【解答】解：（1）平均值为11万元，中位数为=7万元．(2)年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1,2。，，，所以ξ的分布列为ξ012P数学期望为．（3）设xi，yi（i=1，2，3，4)分别表示工作年限及相应年薪,则，，，得线性回归方程：y=1.4x+2。5．可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．20．（12分）（2017•黄山二模）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉,包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游,某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性30女性10合计100（1)若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？(2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品,记这3人中赞成“自助游”人数为X,求X的分布列和数学期望．附：K2=P（K2≥k)0。1000.0500。0100。001k2。7063。8416。63510。828【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根所给数据得到列联表，利用公式求得K2,与临界值比较,即可得到结论．(2）X的所有可能取值为：0，1，2,3,求出相应的概率，即可得到X的分布列、数学期望．【解答】解:（1)赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性301545女性451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入计算，得K2的观测值：，∵3。030＜3.841,∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系．（2）X的所有可能取值为：0,1，2，3，依题意,X的分布列为：X0123P(X）．【点评】本题考查独立性检验知识，考查分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．21．（12分)(2014•河北区三模）已知函数f（x）=．(Ⅰ）若a=2，求f（x）在(1，f（1））处的切线方程;（Ⅱ）求f(x）在区间上的最小值；(Ⅲ）若f(x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程;51：函数的零点；6E:利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1,1＜＜e,，三种情形来讨论,可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1)=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f(1）)处的切线方程为：y﹣=﹣(x﹣1)化为一般式可得2x+2y﹣3=0…