福建省泉州市南安市柳城中学高一上学期第二次月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题是真命题的是(）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面2．函数y=的定义域为（）A．（2,+∞） B．（﹣∞，2］ C．（0，2］ D．[1，+∞）3．设集合A={1，4，x},B=｛1，x2｝且A∪B=｛1，4，x｝，则满足条件的实数x的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知集合A={y|y=log3x,x＞1｝，B=｛y|y=,x＞1},则A∩B=（)A． B．{y|0＜y＜1} C． D．∅5．设函数f（x)=ln(1+x)﹣ln（1﹣x），则f（x)是（）A．奇函数,且在（0,1)上是增函数 B．奇函数，且在（0，1)上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数6．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A． B． C．2+ D．1+7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16,则这个球的表面积是（）A．16π B．20π C．24π D．32π8．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2,E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（）A．2 B． C． D．9．下列各图是正方体或正四面体，P，Q,R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A． B． C． D．10．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（)A．3π B．3π C．6π D．9π11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A．1：2：3 B．1：3：5 C．1：2：4 D．1：3：912．某商店计划投入资金20万元经销甲和乙两种商品,已知经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P和Q（万元），且它们与投入资金x（万元)的关系是：P=，Q=（a＞0）；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中之一种所获得的利润总不小于5万元，则a的最小值应为（）A． B． C．5 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若幂函数y=f（x)的图象经过点（9,)，则f（25)的值是．14．三条两两相交的直线可确定个平面．15．已知集合A=｛2,3}，B={x｜mx﹣6=0}，若B⊆A，则实数m的值为．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为厘米．三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其他各题12分,共70分）17．将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．18．已知某个几何体的三视图如图，俯视图为等边三角形,试求它的表面积和体积．19．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中,BB1=8，AB=8，AC=6,BC=10,D是BC边的中点．（Ⅰ)求三棱柱的表面积；（Ⅱ）求证：A1C∥面AB1D．20．已知函数f(x)=，（1）判断函数f（x)在（1，+∞)上的单调性并用单调性的定义证明；（2）若x∈[2，4］，求函数f（x）值域．21．已知集合A=｛x∈R|ax2﹣3x﹣4=0｝,(1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围．22．某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．(1）求函数y=f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多？

2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高一（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．下列命题是真命题的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据平面的基本性质的公理和推论逐一判断，即可得到本题答案．【解答】解：对于A，当这三个点共线时,经过这三点的平面有无数个，故A不正确；对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确;对于C,空间四边形不一定能确定一个平面对于D，根据平面的基本性质公理3的推论，可知两条相交直线可唯一确定一个平面,故C正确；故选：D2．函数y=的定义域为（）A．(2,+∞) B．（﹣∞，2] C．（0，2］ D．［1，+∞)【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．【解答】解:要使函数有意义，则4﹣2x≥0，即2x≤4即x≤2，∴函数的定义域为（﹣∞,2]，故选：B．3．设集合A={1，4，x｝，B={1，x2}且A∪B=｛1,4，x｝,则满足条件的实数x的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A∪B={1,4，x｝，得x2=x或x2=4，可解出符合题意的x有0，2，﹣2共3个．【解答】解:∵A={1，4,x｝,∴x≠1，x≠4且x2≠1,得x≠±1且x≠4∵A∪B={1,4，x},∴x2=x或x2=4，解之得x=0或x=±2满足条件的实数x有0，2，﹣2共3个故选：C4．已知集合A=｛y｜y=log3x，x＞1}，B=｛y|y=，x＞1}，则A∩B=（）A． B．｛y｜0＜y＜1｝ C． D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据对数函数、指数函数的单调性分别求出集合A、B，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解:因为y=log3x在定义域上是增函数，且x＞1，所以y＞0,则集合A={y｜y＞0｝,因为y=在定义域上是增函数,且x＞1，所以0＜y＜，则集合B=｛y｜0＜y＜｝,则A∩B={y|0＜y＜｝,故选：A．5．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f(x）是(）A．奇函数，且在(0，1）上是增函数 B．奇函数,且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在(0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x)﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x)=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣［ln（1+x）﹣ln(1﹣x）]=﹣f（x）,所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0)=0；x=时，f（)=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f(），函数是增函数，所以B错误,A正确．故选：A．6．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是（）A． B． C．2+ D．1+【考点】斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形,求出上底，高,下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2,下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选:C7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（)A．16π B．20π C．24π D．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4,正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（)A．2 B． C． D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】要求EF的长度，可以利用正三棱柱的侧面与底面垂直的关系,连接AC的中点G与F、E；也可以作FG⊥AC于G，连接EG,在△EFG中求解EF即可．【解答】解：如图所示,取AC的中点G，连EG,FG,FG∥C1CC1C⊥底面ABC,则C1C⊥EGFG⊥EG；则易得：FG=2，EG=1，故EF=，故选C．9．下列各图是正方体或正四面体，P，Q,R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A． B． C． D．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】在A中，由PQ与SR相交，知P、Q、R、S四个点共面；在B中,由QR与PS相交，知P、Q、R、S四个点共面；在C中,由QR∥PA,知P、Q、R、S四个点共面；在D中，由QR和PS是异面直线,并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四个点共面不共面．【解答】解：在A中，由题意知在正方体中，PQ与SR相交，则P、Q、R、S四个点共面，故A不对；在B中,由题意知在正方体中，QR与PS相交，所以P、Q、R、S四个点共面，故B不对；在C中，因为PR和QS分别是相邻侧面的中位线,所以PR∥BS,QS∥BD，即QR∥PA，所以P、Q、R、S四个点共面，故C不对；在D中，根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交,故四个点共面不共面，故D对；故选：D．10．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（)A．3π B．3π C．6π D．9π【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)．【分析】先求出圆锥的底面半径和母线长,然后再求圆锥的全面积．【解答】解:一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则它的边长是a，所以，∴a=2，这个圆锥的全面积是:×2π×2=3π故选A．11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（)A．1：2:3 B．1：3：5 C．1：2：4 D．1:3：9【考点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先从得到的三个圆锥入手,根据“过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面"，结合相似比：可知底面半径之比:r1：r2：r3=1：2：3，母线长之比:l1:l2:l3=1：2：3，侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，从而得到结论．【解答】解:由此可得到三个圆锥，根据题意则有：底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，母线长之比:l1：l2：l3=1：2：3，侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9,所以三部分侧面面积之比：S1：(S2﹣S1）:（S3﹣S2)=1:3：5故选B12．某商店计划投入资金20万元经销甲和乙两种商品,已知经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P和Q(万元),且它们与投入资金x（万元)的关系是：P=，Q=(a＞0）;若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中之一种所获得的利润总不小于5万元，则a的最小值应为（）A． B． C．5 D．【考点】函数最值的应用．【分析】设投资甲商品20﹣x万元，则投资乙商品x万元（0≤x≤20）,由题意,可得P+Q≥5，0≤x≤20时恒成立，化简求最值，即可得到结论．【解答】解:设投资甲商品20﹣x万元，则投资乙商品x万元(0≤x≤20）．利润分别为P=，Q=（a＞0)∵P+Q≥5，0≤x≤20时恒成立则化简得，0≤x≤20时恒成立(1）x=0时，a为一切实数;（2）0＜x≤20时，分离参数a≥，0＜x≤20时恒成立∴a要比右侧的最大值都要大于或等于∵右侧的最大值为∴a≥综上，a≥．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若幂函数y=f(x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】设出幂函数f（x）=xα,α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式,进而可求f（25)的值．【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，）,设幂函数f(x）=xα,α为常数,∴9α=，∴α=﹣，故f(x)=，∴f(25）==，故答案为：．14．三条两两相交的直线可确定1或3个平面．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用平面的基本性质及推论即可求出．【解答】解：由平面的基本性质及推论可知:两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3．①a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c在平面α内，则直线a、b、c确定一个平面；②a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c不在平面α内,则直线a、b、c确定三个平面；如图．故答案是：1或3．15．已知集合A=｛2，3｝，B=｛x｜mx﹣6=0｝,若B⊆A，则实数m的值为0，2或3．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意求出集合B的所有可能情况，一一讨论即可．【解答】解:由B=｛x|mx﹣6=0｝，且B⊆A得，B=∅，｛2}，{3｝;①B=∅时,mx﹣6=0无解，m=0；②B=｛2｝时，2m﹣6=0,m=3；③B=｛3｝时，3m﹣6=0，m=2;故答案为：0，2或3．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为12厘米．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据圆柱水面升高的高度，求出水的体积,就是球的体积，然后求出球的半径．【解答】解：（cm）故答案为：12三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他各题12分,共70分)17．将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆锥的母线与底面半径，根据所给的圆锥的侧面积和圆心角,做出圆锥的母线长与底面半径，利用表面积公式和体积公式做出结果．【解答】解:设圆锥的母线为l，底面半径为r,∵3π=∴l=3，∴120°=，∴r=1，∴圆锥的高是∴圆锥的表面积是πr2+πrl=4π圆锥的体积是=18．已知某个几何体的三视图如图，俯视图为等边三角形，试求它的表面积和体积．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知,该几何体是正三棱柱，结合图中数据求出它的表面积和体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正三棱柱，如图所示;且三棱柱的底面是边长为4的等边三角形，三棱柱的高为2，则它的表面积是S=3×4×2+2××4×2=24+8；体积是V=×4×2×2=8．19．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC﹣A1B1C1中，BB1=8，AB=8,AC=6，BC=10，D是BC边的中点．（Ⅰ）求三棱柱的表面积；(Ⅱ）求证：A1C∥面AB1D．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（Ⅰ)根据直三棱柱的表面积=5个面之和进行解答；（2)设A1B与AB1的交点为E，连结DE．欲证明A1C∥面AB1D，只需推知DE∥A1C即可．【解答】（Ⅰ）解:∵AB=8，AC=6，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．又∵在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，BB1=8，∴三棱柱的表面积=AB•BB1+AC•BB1+BC•BB1+2AB•AC=240；(II）证明：设A1B与AB1的交点为E，连结DE．∵D是BC的中点,E是AB1的中点,∴DE∥A1C∵DE⊂平面ADB1,A1C⊄平面ADB1，∴A1C∥平面ADB1．20．已知函数f（x）=，（1）判断函数f（x）在(1，+∞)上的单调性并用单调性的定义证明；（2)若x∈［2，4］，求函数f（x）值域．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1)根据减函数的定义，设x1＞x2＞1，通过作差证明f（x1）＜f（x2)即可．(2）由（1）知函数f(x）在[2，4]上是减函数,即可求函数f(x）值域．【解答】解:（1）函数f（x)在（1，+∞）上是减函数,证明如下：设x1＞x2＞1，则：f（x1)﹣f（x2）=,∵x1＞x2＞1，∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴f（x1)＜f（x2）；∴f（x）在（1，+∞）上是单调减函数．（2)由（1）知函数f（x）在［2，4］上是减函数，∴f（x）min=f（4）=2，f（x)max=f（2）=6．21．已知集合A=｛x∈R｜ax2﹣3x﹣4=0},(1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．（2）当a=0时,方程为﹣3x﹣4=0，所以集合A=；当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时；若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0没有实数根，则A没有元素,此时．由此能求出实数a的取值范围．【解答】解:（1)∵A中有两个元素，∴关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不等的实数根，∴△=9+16a＞0,且a≠0，即所求的范围是，且a≠0}；(2)当a=0时，方程为﹣3x﹣4=0,∴集合A=；当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个相等的实数根，则A