山东省淄博市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省淄博市2021-2022学年高一下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．若复数，则的虚部是（

）A． B． C．2 D．12．已知一组数据，且．若该组数据的众数是中位数的倍，则该组数据的平均数为（

）A．6 B．6.5 C．7 D．7.53．在中，点在边上，且．设，，则（

）A． B． C． D．4．已知，，则（

）A． B． C． D．5．已知，．若，则（

）A． B． C．2 D．46．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（

）A．1 B． C．1或 D．或7．已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米评卷人得分二、多选题9．某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（

）A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差10．下列说法正确是（

）A． B．若是复数，则C．空间中垂直同一条直线的两条直线平行 D．若，则11．已知函数，下列结论正确的是（

）A．是周期函数B．的图象关于原点对称C．的值域为D．的单调递减区间为，12．如图，棱长为的正方体的外接球的球心为，、分别为棱、的中点，在棱上，则（

）A．对于任意点，平面B．存在点，使得平面平面C．直线被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得的截面圆面积的最小值为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．已知为虚数单位．若复数为纯虚数，则实数______．14．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.15．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的周长为______．16．在直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的终边交单位圆于点，且、．记、．若，且，那么______．评卷人得分四、解答题17．设函数，．(1)求函数的单调递增区间；(2)内角A，，的对边分别为，，．若，，且，求的值．18．已知在圆锥中，底面的直径，的面积为12．(1)求圆锥的表面积；(2)若球内切于圆锥，用一个与圆锥的底面平行且与球相切（切点）的平面截圆锥得圆台，求球的体积和圆台的体积之比．19．某校有高一学生1000人，其中男女生比例为，为获得该校高一学生的身高（单位：）信息，采用分层随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4．(1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；(2)计算总样本方差．20．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．(1)证明：直线平面；(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．21．将某市20到80岁的居民按年龄分组为，，，，，，并制作频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数；(2)为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市20到80岁的居民中随机抽取若干人作问卷调查．我们把年龄段的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段居民“健步走”活动参与指数（简称健参指数），用表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下：年龄段0.40.50.60.70.750.4假若该市20到80岁的常住居民有100万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题：（i）估算该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数；（ii）据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除20岁以下和80岁以上的居民，60岁以下的人比60岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算与的值，判断本次调查所得结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因（结论开放，写出其中一条原因即可）．22．已知中，．以为一边向外做等边三角形（如图所示），且．(1)当时，求的值；(2)当时，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简求出，即可求出虚部.【详解】因为，所以，虚部为2.故选：C.2．A【解析】【分析】由已知可得该组数据的众数是，以及中位数是，利用众数是中位数的倍列方程解出，进而可计算出该组数据的平均数．【详解】，这组数据为，则该组数据的众数是，又该组数据的众数是中位数的倍，则中位数是，即，解得，则该组数据的平均数为，故选：A．3．C【解析】【分析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于的表达式.【详解】由已知可得，即，所以，.故选：C.4．A【解析】【分析】根据同角三角函数关系，求得，再利用余弦的差角公式，即可求得结果.【详解】由，得，则，．故选：．5．A【解析】【分析】由得，又，代入数值计算即可.【详解】因为，所以，所以，又.故选：A.6．C【解析】【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出.【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，，在中，因为为中点，所以，，因为与所成的角为，所以或，当时，为等边三角形，所以，当，由余弦定理可得，即，所以的长为1或.故选：C.7．D【解析】【分析】根据是奇函数可求得，利用诱导公式得，即可得出结果.【详解】因为是奇函数，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以可把函数的图象向右平移个单位长度.故选：D.8．D【解析】【分析】过点作，垂足为点，设，，且，，计算得出，利用两角差的正切公式以及基本不等式可求得的最小值.【详解】过点作，垂足为点，设，，且，，由题意可得，，所以，，因为，令，则，当且仅当时，等号成立，故（千米）.故选：D.9．ACD【解析】【分析】利用平均数、中位数、平均数、方差的定义进行判断.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B错误.故选：ACD.10．BD【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；利用复数的运算可判断B选项；利用已知条件判断线线位置关系，可判断C选项；利用平面向量模的性质可判断D选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，设，则，所以，，B对；对于C选项，空间中垂直同一条直线的两条直线平行、相交或异面，C错；对于D选项，若，则，则，D对.故选：BD.11．AC【解析】【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性可判断B选项；考查函数在上的值域，可判断C选项；求出函数的单调递减区间，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，故函数为周期函数，A对；对于B选项，，为偶函数，B错；对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，不妨考虑函数在上的值域即可，当时，则，，因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，因此，函数的值域为，C对；对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，当时，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，因此，函数的单调递减区间为、、，D错.故选：AC.12．BC【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面，再结合面面垂直的判定定理可得出结论；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.【详解】对于A选项，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；对于B选项，因为四边形为正方形，则，当为的中点时，，则，平面，平面，则，因为，则平面，因为平面，所以，同理，，因为，所以平面，即平面，平面，故平面平面，B正确；对于C选项，取的中点，，为的中点，则，，同理可得，则.因为平面，平面，则，所以，，则，球的半径为，所以直线的被球截得的弦长为，C正确；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，D错误，故选：BC.13．或##或【解析】【分析】根据复数的类型可得出关于的等式，即可求得实数的值.【详解】因为复数为纯虚数，则，解得或.故答案为：或.14．【解析】【分析】根据平面向量共线定理可设，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可；【详解】解：因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以，所以.故答案为：15．【解析】【分析】作出原图形，可知原图形为平行四边形，计算出的长，即可得解.【详解】在直观图中，设线段交轴于点，如下图所示：易知，且，则为等腰直角三角形，所以，，，作出原图形如下图所示：可知原图形为平行四边形，且，，，由勾股定理可得，因此，原图形的周长为.故答案为：.16．##【解析】【分析】由三角函数定义可得，，，，由两角差的余弦公式以及平面向量数量积的坐标运算可得出，再利用辅助角公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得，，，，，因为、，则，由三角函数定义可得，且，.故答案为：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可求出；（2）先由解得，再由正弦定理化角为边，由余弦定理求得，即可由正弦定理求得.(1)，令，解得，所以函数的单调递增区间为；(2)，则，因为，所以，则，解得，由可得，由正弦定理可得，由余弦定理得，因为，所以，由正弦定理可得，即.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用圆锥的表面积公式求解即可.（2）利用几何体的轴截面进行处理，分别求出球和圆台的体积.(1)设圆锥的母线长为，底面的直径为，所以，因为的面积为12，所以，解得，由勾股定理有：，由圆锥的表面积公式有：.所以圆锥的表面积为.(2)作该圆锥的轴截面，如图，则因为球内切于圆锥，所以，所以，设球的半径为，则，即，解得，所以球的体积为.由题知，，所以，即，解得.所以圆的面积，又圆的面积，圆台的高记为，所以，由圆台的体积公式有，所以球的体积和圆台的体积之比为.19．(1)167；168(2)37.5【解析】【分析】（1）根据男女生的样本均值计算样本均值；根据男女生的平均身高得到全校所有学生的身高总和，再求学生身高的平均值；（2）根据男女生的样本均值和方差，直接计算样本总体的方差即可.(1)把男生样本记为，平均数记为，方差记为；把女生样本记为，平均数记为，方差记为；把样本数据的平均数记为，方差记为；高一全体学生的身高均值记为.根据平均数的定义，总样本均值为：；高一全体学生的身高均值为：；(2)根据方差的定义，总样本方差为：，由，可得：，同理，.因此，所以，总的样本方差为.20．(1)证明见解析(2)点到直线的距离为，二面角的余弦值为【解析】【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质定理可证得结论成立；（2）延长、交与点，连接，则直线即为直线，然后过点在平面内作直线，垂足为点，连接，推导出点为的中点，二面角的平面角为，计算出、，即可得解.(1)证明：取的中点，连接、、，在正方体中，且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则且，又因为且，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，因为且，故四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.(2)解：延长、交与点，连接，则直线即为直线，因为且，为的中点，则，故点为的中点，为的中点，在中，，，，由余弦定理可得，则，，则，过点在平面内作直线，垂足为点，连接，，所以，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，故二面角的平面角为，且，故点到直线的距离为，，因此，二面角的平面角的余弦值为.21．(1)59岁(2)（i）60万人，（ii）见解析【解析】【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可，（2）（i）先根据频率分布直方图求出各年龄段的人数，再根据各个健参指数求出各年龄段参与“健步走”活动的人数，从而可求得结果，（ii）通过（i）计算的数据计算与的值，进行比较(1)因为前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以第80百分位数在第4组，设为，则，解得，所以该市20到80岁居民年龄的第80百分位数为59岁，(2)（i）由频率分直方图可得年龄在的人数为万人，在的人数为万人，在的人数为万人，在的人数为万人，在的人数为万人，在的人数为万人，所以参数“健步走”活动的人数为万人，参数“健步走”活动的人数为万人，参数“健步走”活动的人数为万人，参数“健步走”活动的人数为万人，参数“健步走”活动的人数为万，参数“健步走”活动的人数为万人，所以该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数为万人，（ii）