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文档简介
2021年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,
只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.)
T的相反数是()
I.(3分)(2021•无锡)
1
A.B.-C.3D.-3
3
函数高中自变量的取值范围是(
2.(3分)(2021•无锡)y=x)
A.x>2B.Q2C.x<2D.#2
3.(3分)(2021♦无锡)已知一组数据:58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数
和众数分别是()
A.54,55B.54,54C.55,54D.52,55
上冷的解是()
4.(3分)(2021•无锡)方程组•
x=2,%=4x=1
A.C.D.
,7=3B・陞7=1)=4
5.(3分)(2021•无锡)下列运算正确的是()
扭/=/
A.a+a=aB.(。2)3=白5C・Cl~Cl—ClD.
下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
▽
B.
7.(3分)(2021•无锡)如图,ZXE、尸分别是aABC各边中点,则以下说法错误的是()
BDC
A.△BOE和△£><?/的面积相等
B.四边形AEQF是平行四边形
C.若AB=BC,则四边形AEOF是菱形
D.若/A=90°,则四边形AEDF是矩形
8.(3分)(2021•无锡)一次函数y=x+"的图象与x轴交于点3,与反比例函数,尸费(«/
>0)的图象交于点4(1,m),且△4OB的面积为1,则机的值是()
A.1B.2C.3D.4
9.(3分)(2021•无锡)在Rt/SABC中,ZA=90°,AB=6,4c=8,点尸是△ABC所在
平面内一点,则出2+pg2+pc2取得最小值时,下列结论正确的是()
A.点P是△4BC三边垂直平分线的交点
B.点P是△ABC三条内角平分线的交点
C.点P是△4BC三条高的交点
D.点P是△ABC三条中线的交点
10.(3分)(2021•无锡)设P(x,yi),Q(x,分别是函数Ci,C2图象上的点,当a
WxWb时,总有-IWyi恒成立,则称函数。,C2在aWxWb上是“逼近函数”,
aWxW。为“逼近区间”.则下列结论:
①函数y=x-5,y=3x+2在1WW2上是“逼近函数”;
②函数y=x-5,y=*-4x在3WxW4上是"逼近函数";
③OWxWl是函数y=»-1,y=2?-x的“逼近区间”;
④2WxW3是函数y=x-5,y=7-4x的“逼近区间”.
其中,正确的有()
A.②③B.①④C.①③D.②④
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程,请把答案直接
填写在答题卡上相应的位置.)
11.(2分)(2021•无锡)分解因式:2i-8x=.
12.(2分)(2021•无锡)2021年5月15日我国天间一号探测器在火星预选着陆区着陆,在
火星上首次留下中国印迹,迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约
320000000F米,320000000这个数据用科学记数法可表示为.
13.(2分)(2021•无锡)用半径为50,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,
则这个圆锥的底面半径为.
14.(2分)(2021•无锡)请写出一个函数表达式,使其图象在第二、四象限且关于原点对
称:•
15.(2分)(2021•无锡)一条上山直道的坡度为1:7,沿这条直道上山,每前进100米所
上升的高度为米.
16.(2分)(2021•无锡)下列命题中,正确命题的个数为.
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
17.(2分)(2021•无锡)如图,在RtZkABC中,ZBAC=90°,AB=2a,AC=6,点E
在线段4c上,且AE=1,£)是线段BC上的一点,连接。E,将四边形A80E沿直线。E
翻折,得到四边形FGOE,当点G恰好落在线段AC上时,AF=.
18.(2分)(2021•无锡)如图,在平面直角坐标系中,。为坐标原点,点C为),轴正半轴
上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=/的图象交于4、8两点,S.CB=3AC,P
为CB的中点,设点P的坐标为P(x,y)(x>0),写出y关于x的函数表达式
三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤等.)
19.(8分)(2021•无锡)计算:
(1)|-||-(-2)3+sin300;
4Q+8
(2)--——.
a2a
20.(8分)(2021•无锡)(1)解方程:(x+1)2-4=0;
(2)解不等式组:卜一10+「
21.(8分)(2021•无锡)已知:如图,AC,08相交于点O,AB=DC,ZABO^ZDCO.
求证:(1)△ABO丝△£>C。;
(2)NOBC=NOCB.
22.(8分)(2021•无锡)将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片(卡片的形状、大小、质
地都相同)放在盒子中,搅匀后从中任意取出1张卡片,记录后放回、搅匀,再从中任
意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分
析过程)
(1)取出的2张卡片数字相同;
(2)取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数字为“3”.
23.(8分)(2021•无锡)某企业为推进全民健身活动,提升员工身体素质,号召员工开展
健身锻炼活动,经过两个月的宣传发动,员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查
本企业员工上月参加健身锻炼的情况,现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月
健身锻炼的次数,并将调查所得的数据整理如下:
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数X0V启55cxW1010vxW1515cM2020VxW2525<xW30
(代号)(A)(B)(C)(D)(E)(F)
频数10a68c246
频率0.05b0.34d0.120.03
某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图
(2)请把扇形统计图补充完整;(只需标注相应的数据)
(3)请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人?
24.(8分)(2021•无锡)如图,已知锐角△ABC中,AC=BC.
CC
△△
(图1)(图2)
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作NACB的平分线CO;作△ABC的外接
圆。O;(不写作法,保留作图痕迹)
4P
⑵在(1)的条件下,若AB=半,。0的半径为5,则sin8=.(如
需画草图,请使用图2)
25.(8分)(2021•无锡)如图,四边形48CD内接于。0,AC是的直径,AC与BD交
于点E,PB切于点、B.
(1)求证:NPBA=NOBC;
(2)若NP3A=20°,ZACD=40",求证:^OAB<^/\CDE.
26.(8分)(2021•无锡)为了提高广大职工对消防知识的学习热情,增强职工的消防意识,
某单位工会决定组织消防知识竞赛活动,本次活动拟设一、二等奖若干名,并购买相应
奖品.现有经费1275元用于购买奖品,且经费全部用完,已知一等奖奖品单价与二等奖
奖品单价之比为4:3.当用600元购买一等奖奖品时,共可购买一、二等奖奖品25件.
(1)求一、二等奖奖品的单价;
(2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件,则共有哪几种购买方式?
27.(10分)(2021•无锡)在平面直角坐标系中,。为坐标原点,直线y=-x+3与x轴交
于点8,与y轴交于点C,二次函数y=a/+2x+c的图象过8、C两点,且与x轴交于另
一点A,点M为线段08上的一个动点,过点M作直线/平行于y轴交BC于点尸,交二
次函数y=ajr+2x+c的图象于点E.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当以C、E、尸为顶点的三角形与△ABC相似时,求线段EF的长度;
(3)已知点N是y轴上的点,若点N、尸关于直线EC对称,求点N的坐标.
28.(10分)(2021•无锡)已知四边形48C。是边长为1的正方形,点E是射线8C上的动
点,以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF,NAEF=90°,设BE=m.
备用图
(1)如图,若点E在线段BC上运动,EF交CD于点P,AF交C。于点Q,连结CF,
①当〃?=看时,求线段CF的长;
②在△PQE中,设边QE上的高为〃,请用含〃?的代数式表示6,并求人的最大值;
(2)设过8C的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形4E尸截得的线段长为y,请
直接写出》与机的关系式.
2021年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,
只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.)
1.(3分)(2021•无锡)一寺的相反数是()
11
A.—«B.-C.3D.-3
33
【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.
【解答】解:-匏相反数是点
故选:B.
【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.一
个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.学生易把相反数的
意义与倒数的意义混淆.
2.(3分)(2021•无锡)函数)=7三中自变量尤的取值范围是()
y/X-2
A.x>2B.x22C.x<2D.x#2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式,解不等式得到答
案.
【解答】解:由题意得:x-2>0,
解得:x>2,
故选:A.
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定,掌握二次根式的被开方数是非负
数、分母不为。是解题的关键.
3.(3分)(2021•无锡)己知一组数据:58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数
和众数分别是()
A.54,55B.54,54C.55,54D.52,55
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.
【解答】解:将这组数据按照从小到大的顺序排列:51、52、53、54、55、55、58,
中位数为54,
V55出现的次数最多,
...众数为55,
故选:A.
【点评】本题主要考查的是众数和中位数的定义,掌握相关定义是解题的关键.
4.(3分)(2021•无锡)方程组产+y=?的解是()
(X—y=3
A.『B.尸C.尸:D.『=:
(y=3(y=2(y=1(y=4
【分析】将两个方程相加,可消去y,得到x的一元一次方程,从而解得x=4,再将x
=4代入①解出),的值,即得答案.
【解答】解:卜+、=5巴
卜-y=3②
①+②得:2x=8,
•*»x=4t
把x=4代入①得:4+y=5,
**»y=1,
...方程组的解为{;二:.
故选:C.
【点评】本题考查解二元一次方程组,解题的关键是消元,常用消元的方法有代入消元
法和加减消元法.
5.(3分)(2021•无锡)下列运算正确的是()
A.cr+a=a3B.(«2)3=o5C.aSjra1=aiD.a2,a3=a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及第的乘方运算法则、同底数基的乘法、除法运算
法则计算得出答案.
【解答】解:A.J+a,不是同类项,无法合并,故此选项不合题意;
B.(J)3=”6,故此选项不合题意;
C./+42=。6,故此选项不合题意:
D.。2./=/,故此选项符合题意.
故选:D.
【点评】此题主要考查了合并同类项以及基的乘方运算、同底数累的乘法、除法运算法
则等知识,正确掌握相关运算法则是解题关键.
6.(3分)(2021•无锡)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
▽
A.B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意:
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;
C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:A.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称
轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图
重合.
7.(3分)(2021•无锡)如图,D、E、F分别是aABC各边中点,则以下说法错误的是()
A.和△OCb的面积相等
B.四边形AE3F是平行四边形
C.若A8=BC,则四边形AE£)/是菱形
D.若NA=90°,则四边形AEDF是矩形
【分析】根据矩形的判定定理,菱形的判定定理,三角形中位线定理判断即可.
【解答】解:A.连接EF,
:。、E、F分别是△ABC各边中点,
:.EF//BC,BD=CD,
设E厂和BC间的距离为
11
•'•SABD£=S^DCE=-^CD'h,
:・S公BDE=S^DCE,
故本选项不符合题意;
B.;D、E、尸分别是AABC各边中点,
:.DE//AC,DF//AB,
J.DE//AF,DF//AE,
四边形AEDF是平行四边形,
故本选项不符合题意;
C.•;。、E、尸分别是△ABC各边中点,
:.DE=^AC,DF=^AB,
若AB=BC,WJDE=DF,
':四边形AEDF是平行四边形,
四边形4比下是菱形,
故本选项符合题意;
四边形AEQF是平行四边形,
...若/A=90°,则四边形AEDF是矩形,
故本选项不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查了矩形的判定,菱形的判定,平行四边形的判定,三角形的中位线定
理,熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.
8.(3分)(2021•无锡)一次函数y=x+〃的图象与x轴交于点B,与反比例函数),=£(加
>0)的图象交于点4(1,m),且△408的面积为1,则〃?的值是()
A.1B.2C.3D.4
【分析】由已知得B(-〃,0),而A(1,相)在一次函数),=x+〃的图象上,可得〃=加
-1,即8(1-次,0),根据△AOB的面积为1,可列方程-利•加=1,即可解得m=
2.
【解答】解:在y=x+〃中,令y=0,得工=-〃,
B(-rit0)>
VA(1,m)在一次函数y=x+〃的图象上,
.*.zn=1+n,HPn=m-1,
:.B0),
♦△AQB的面积为1,m>0,
11
:.-OB^yA\=l9即•机=L
解得机=2或机=-l(舍去),
••加==2,
故选:B.
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的应用,解题的关键是根据△AOB的面积为1
列方程.
9.(3分)(2021•无锡)在RtZ\ABC中,乙4=90°,AB=6,AC=8,点尸是△ABC所在
平面内一点,则%2+P52+PC3取得最小值时,下列结论正确的是()
A.点P是△4BC三边垂直平分线的交点
B.点P是△ABC三条内角平分线的交点
C.点尸是△A8C三条高的交点
D.点P是△4BC三条中线的交点
【分析】过P作PO_LAC于。,过P作PE_LAB于E,延长CP交AB于M,延长8P交
AC于N,设AC=PE=x,AE=DP=y,则4/+(?户+8户=3(x-2)2+3(>-1)2+^,
opAMAC
当x=2,y=飘,4尸+"2+8内的值最大,此时AO=PE=2,AE=PL>=],由而=―,
得AM=4,M是AB的中点,同理可得AN=4AC,N为4c中点,即P是AABC三条中
线的交点.
【解答】解:过P作PO_LAC于。,过尸作PE_L48于E,延长CP交AB于延长
BP交AC于N,如图:
・・・四边形AEPD是矩形,
设AO=PE=x,AE=DP=y,
RtZsAEP中,AP2=x2+y2,
n△CQP中,CA=(6-x)2+/,
「△BEP中,BP2:,+(8-y)2,
.,.AP2+CP2+BP2=/+y2+(6-x)2+y2+^+(8-y)2
=37-12x+3y2-16y+100
=3(x-2)2+3(y-1)2+等
;.x=2,尸飘,A/^+CpZ+BP2的值最大,
o
此时AO=PE=2,AE=PD=I,
VZA=90°,PD.LAC,
J.PD//AB,
AMACAM6
---=---,即-§一=一,
PDCD-4
3
・・・AM=4,
:.AM^^AB,即M是AB的中点,
同理可得4N=*AC,N为AC中点,
是△ABC三条中线的交点,
故选:D.
【点评】本题考查直角三角形中的最小值,涉及勾股定理、二次函数的最大值、相似三
角形的判定与性质等知识,解题的关键是求出AO=PE=2,AE^PD=l,
10.(3分)(2021•无锡)设P(x,yi),Q(x,”)分别是函数Ci,C2图象上的点,当a
时,总有-iWyi-”W1恒成立,则称函数Ci,C2在“WxW人上是“逼近函数”,
“WxW〃为“逼近区间”.则下列结论:
①函数y=x-5,y=3x+2在14W2上是“逼近函数”;
②函数y=x-5,y=7-4x在3<xW4上是"逼近函数";
③OWxW1是函数y=7-1,y=2x2--x的"逼近区间”;
④2WxW3是函数y=x-5,y=7-4x的“逼近区间”.
其中,正确的有()
A.②③B.①④C.①③D.②④
【分析】根据当“WxW〃时,总有-1Wyi-"Wl恒成立,则称函数Ci,C2在aWxS
上是“逼近函数”,aWxW〃为“逼近区间”,逐项进行判断即可.
【解答】解:①yi-”=-2x-1,在1WXW2上,当x=l时,yi最大值为-9,当x
=2时,最小值为-11,即-11Wyi--9,故函数y=x-5,y=3x+2在Ke
W2上是“逼近函数”不正确;
②yi-)2=_7+5X-5,在3WxW4上,当x—3时,yi-竺最大值为1>当x—4时,yi
最小值为-1,即故函数y=x-5,y=7-4x在3WxW4上是“逼
近函数”正确;
③yi-)2=-7+x-1,在OWxWl上,当x=/时,)】-”最大值为一,,当x=O或x=l
时,yi-”最小值为-1,即-1Wyi-”工一甲当然-1Wyi-也成立,故0«
是函数y=/-1,尸寸-3的“逼近区间”正确;
④yi--/+5x-5,在2Wx<3上,当时,yi-”最大值为2当x=2或x=3
时,yi-y2最小值为1,B|J1Wyi-y2<故2WxW3是函数y=x-5,y—x1-4x的“逼
近区间”不正确;
...正确的有②③,
故选:A.
【点评】本题考查一次函数、二次函数的综合应用,解题的关键是读懂“逼近函数”和
“逼近区间”的含义,会求函数在某个范围内的最大、最小值.
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程,请把答案直接
填写在答题卡上相应的位置.)
11.(2分)(2021•无锡)分解因式:29-》=2x(「2)(x+2).
【分析】先提取公因式2x,再对余下的项利用平方差公式分解因式.
【解答】解:2?-8x,
=2x(/-4),
=2x(x+2)(x-2).
【点评】本题考查因式分解,因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征:(1)二项式;(2)两项的符号相反;(3)
每项都能化成平方的形式.
12.(2分)(2021•无锡)2021年5月15日我国天间一号探测器在火星预选着陆区着陆,在
火星上首次留下中国印迹,迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约
320000000千米,320000000这个数据用科学记数法可表示为3.2X1()8
【分析】科学记数法的表示形式为10"的形式,其中lW|a|<10,n为整数.确定n
的值时,要看把原数变成a时.,小数点移动了多少位,”的绝对值与小数点移动的位数相
同.
【解答】解:320000000=3.2X108,
故选:3.2X108.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法,关键是确定a的值以及〃的值.
13.(2分)(2021•无锡)用半径为50,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,
50
则这个圆锥的底面半径为y.
【分析】圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长,列方程求解.
【解答】解:设圆锥的底面圆半径为r,依题意,得
解得仁堂.
50
故答案为:—.
【点评】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为扇形,计算要体现两个转化:1、
圆锥的母线长为扇形的半径,2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长.
14.(2分)(2021•无锡)请写出一个函数表达式,使其图象在第二、四象限且关于原点对
称:y=~-;答案不唯一.
【分析】根据反比例函数的性质得到上<0,然后取上=-1即可得到满足条件的函数解析
式.
【解答】解:若反比例函数)=((左是常数,且)的图象在第二、四象限,则上<0,
故人可取-1,此时反比例函数解析式为
故答案为:)=一;答案不唯一.
【点评】本题考查了反比例函数的性质:反比例函数(kWO)的图象是双曲线;当
k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k<0,双曲线的两支分别位于第二、
第四象限.
15.(2分)(2021•无锡)一条上山直道的坡度为1:7,沿这条直道上山,每前进100米所
上升的高度为强米.
【分析】设上升的高度为x米,根据坡度的概念得到水平距离为7x米,根据勾股定理列
出方程,解方程得到答案.
【解答】解:设上升的高度为x米,
•.•上山直道的坡度为1:7,
...水平距离为7x米,
由勾股定理得:/+(7x)2=1002,
解得:xi=10V2,X2=-10V2(舍去),
故答案为:10立.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高
度h和水平宽度/的比是解题的关键.
16.(2分)(2021•无锡)下列命题中,正确命题的个数为1.
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项.
【解答】解:①所有的正方形都相似,正确,符合题意;
②所有的菱形都相似,错误,不符合题意;
③边长相等的两个菱形都相似,错误,不符合题意;
④对角线相等的两个矩形都相似,错误,不符合题意,
正确的有1个,
故答案为:1.
【点评】考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解相似图形的定义,难度不大.
17.(2分)(2021•无锡)如图,在RtZXABC中,NBAC=90°,AB=2a,AC=6,点E
在线段AC上,且AE=1,。是线段8c上的一点,连接OE,将四边形沿直线OE
276
翻折,得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上时,AF=—.
3
B
【分析】由折叠的性质可得AB=FG=2或,AE=EF=\,NBAC=NEFG=90°,在Rt
△EFG中,由勾股定理可求EG=3,由锐角三角函数可求EH,HF的长,在RtZ\AHF
中,由勾股定理可求AF.
【解答】解:如图,过点尸作H/L4C于,,
B
「、、
•••将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四边形FGDE,
:.AB=FG=2y12,AE=EF=\,NBAC=NEFG=90°,
:.EG=>JEF2+FG2=VT+8=3,
VsinZFEG=丽=前,
HF2V2
VcosZFEG=-FF=
.EH1
•.=一,
13
1
:.EH=等
:.AH=AE+EH=不
:.AF=y/AH2+HF2=聘+绊孚
故答案为:平.
【点评】本题考查了翻折变换,考查了折叠的性质,勾股定理,锐角三角函数,构造直
角三角形是解题的关键.
18.(2分)(2021•无锡)如图,在平面直角坐标系中,。为坐标原点,点C为),轴正半轴
上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=7的图象交于4、8两点,且CB=3AC,P
为C8的中点,设点P的坐标为P(x,y)(x>0),写出y关于x的函数表达式为:
【分析】过A作A£>_Ly轴于。,过B作8E_Ly轴于E,又CB=3AC,得CE=3CD,BE
=3AD,设AD=s,则BE=3m,A(-m,m2),B(3,〃,9/n2),可得C(0,3川),而
P为CB的中点,故P(支?,6w2),即可得5=?/.
【解答】解:过A作A3J_y轴于。,过B作8EJ_y轴于E,如图:
轴,8EJ_y轴,
J.AD//BE,
.ACCDAD
""'BC~CE~'BE'
":CB=3AC,
:.CE^3CD,BE=3AD,
设A£)=,“,贝ij8E=3,w,
•••A、B两点在二次函数y=f的图象上,
'.A(-m,m2),B(.3m,9m2),
:.0D=后,0E=9〃?,
:.ED=Sm2,
而CE=3CD,
:.CD=2m2,0C=3〃f,
:.C(0,3/n2),
为CB的中点,
3,、
:.P(一m,f))rr),
2
又已知P(%,y),
3
.lx=2m
y=6m2
故答案为:丁=基二
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征,涉及相似三角形的判定与性质等知识,
解题的关键是用含字母的代数式表示c的坐标.
三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤等.)
19.(8分)(2021•无锡)计算:
(1)|-||-(-2)3+sin30°;
4a+8
(2)一一——.
a2a
【分析】(1)根据绝对值的意义,乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出
答案.
(2)根据分式的加减运算法则即可求出答案.
【解答】解:(1)原式=:+8+:
=1+8
⑵原式=/一若
-a
"2a
1
=~2'
【点评】本题考查分式的运算以及实数的运算,解题的关键是熟练运用分式的加减运算
以及绝对值的意义,乘方的意义和特殊角的锐角三角函数的值,本题属于基础题型.
20.(8分)(2021•无锡)(1)解方程:(x+1)2-4=0;
-2%+3<1
(2)解不等式组:
【分析】(1)利用直接开平方求解即可.
(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
【解答】解:(1)(尤+1)2-4=0,
:.(x+1)2=4,
.*.x+l=±2,
解得:制=1,X2=-3.
(—2x+3<1(D
(2)x…
由①得,x2l,
由②得,x<3,
故不等式组的解集为:lWx<3.
【点评】本题考查的是解一元二次方程以及一元一次不等式组,熟练掌握平方根的定义
以及求不等式解集的原则是解答此题的关键.
21.(8分)(2021•无锡)已知:如图,AC,。8相交于点0,AB=L>C,ZABO^ZDCO.
求证:(1)
(2)NOBC=NOCB.
D
o
BC
【分析】(1)由已知条件,结合对顶角相的可以利用44s判定△ABOgZ\DCO;
(2)由等边对等角得结论.
【解答】证明:(1)':ZAOB^ZCOD,
AABO=ADCO,
AB=DC,
在△ABO和△OCO中,
ZAOB=NCOD
-/.ABO=Z.DCO,
=DC
.♦.△ABO丝△OCO(AAS);
(2)由(1)知,l\ABO迫MDCO,
:.OB=OC
:.NOBC=NOCB.
【点评】此题考查了全等三角形的判定,在做题时要牢固掌握并灵活运用.证明三角形
全等是解答本题的关键.
22.(8分)(2021•无锡)将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片(卡片的形状、大小、质
地都相同)放在盒子中,搅匀后从中任意取出1张卡片,记录后放回、搅匀,再从中任
意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分
析过程)
(1)取出的2张卡片数字相同;
(2)取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数字为“3”.
【分析】(1)画树状图,共有16种等可能的结果,取出的2张卡片数字相同的结果有4
种,再由概率公式求解即可;
(2)由(1)可知,共有16种等可能的结果,取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数
字为“3”的结果有7种,再由概率公式求解即可.
【解答】解:(1)画树状图如图:
123412
共有16种等可能的结果,取出的2张卡片数字相同的结果有4种,
・•・取出的2张卡片数字相同的概率为三=占
164
(2)由(1)可知,共有16种等可能的结果,取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数
字为"3”的结果有7种,
7
取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数字为“3”的概率为7.
【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式.列表法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成
的事件.
23.(8分)(2021•无锡)某企业为推进全民健身活动,提升员工身体素质,号召员工开展
健身锻炼活动,经过两个月的宣传发动,员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查
本企业员工上月参加健身锻炼的情况,现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月
健身锻炼的次数,并将调查所得的数据整理如下:
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数X0VxW55<x^l010W515Vx<2020<xW2525Vx<30
(代号)(A)(B)(C)(D)(£)(尸)
频数10a68c246
频率0.05b0.34d0.120.03
某企丑员工参加健身锻炼次数的扇形统计图
▲B4-21%
(1)表格中42
(2)请把扇形统计图补充完整;(只需标注相应的数据)
(3)请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人?
【分析】(1)根据B组所占的百分比是21%,即可求得。的值;
(2)根据其他各组的频率求出。组的频率得出C组、。组所占的百分比,补全扇形统
计图即可.
(3)利用总人数1500乘以对应的频率即可求得.
【解答】解:(1)a=200X21%=42(人),
故答案为:42;
(2)b=21%=0.21,
C组所占的百分比c=0.34=34%,
。组所占的百分比是:d=\-0.05-0.21-0.34-0.12-0.03=0.25=25%,
扇形统计图补充完整如图:
某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图
(3)估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500X(0.34+0.25+0.12+0.03)
=1110(人).
答:估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人.
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用,读懂统计图表,从不同的
统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比
大小.
24.(8分)(2021•无锡)如图,已知锐角△A8C中,AC^BC.
(1)请在图I中用无刻度的直尺和圆规作图:作NACB的平分线8;作AABC的外接
圆O。;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若AB=普,。0的半径为5,则sinB=^.(如需画草图,
请使用图2)
【分析】(1)利用尺规作出NAC8的角平分线C£>,作线段AC的垂直平分线交8于点
0,以。为圆心,0C为半径作即可.
(2)连接。4,设射线CD交AB于£利用勾股定理求出。E,EC,再利用勾股定理求
出BC,可得结论.
【解答】解:(1)如图,射线C。,即为所求.
(2)连接。4,设射线C。交AB于E.
':CA=CB,CD平分NAC8,
24
:.CDLAB,AE=EB=W,
:.OE=y/OA2-AE2=心-(第2=
732
・,.CE=OC+OE=5+(=手,
,AC=BC=7AE2+EC2=J(第2+(系)2=8,
“32
•„o_EC_E_4
•.simnB一次一飞•一百.
4
故答案为:--
【点评】本题考查作图-复杂作图,解直角三角形,三角形的外接圆等知识,解题的关
键是正确作出图形,利用勾股定理解决问题.
25.(8分)(2021•无锡)如图,四边形488内接于AC是的直径,AC与BD交
于点E,PB切。0于点、B.
(1)求证:NPBA=N0BC;
(2)若NP84=20°,ZACD=40°,求证:
【分析】(1)根据圆周角定理和切线的性质证得/48+/8忙=/28。+/480=90°,
结合等腰三角形的性质即可证得结论;
(2)由三角形外角的性质求出/AO8=NACB+NO8C=40°,得至UAO8=/ACZ),由
圆周角的性质得到/COE=/84O,根据相似三角形的判定即可证得△OABS/\C£)E.
【解答】证明:(1)是。。的直径,
AZABC=90°,
:.ZACB+ZBAC=90°,
:PB切。O于点B,
ZPBA+ZABO=90°,
":OA=OB=OC,
:.ZBAO^ZABO,NOBC=NACB,
:.ZOBC+ZABO^ZPBC+ZABO=90Q,
:.NPBA=NOBC;
(2)由(1)知,NPBA=NOBC=NACB,
':ZPBA^2Q°,
...NOBC=NAC8=20°,
AZAOB=ZACB+ZOBC=200+20°=40°,
VZACD=40°,
.'.ZAOB^ZACD,
\"BC=BC,
:.ZCDE=NCDB=NBAC=ABAO,
:AOABSACDE.
C
D,
PB
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定,圆周角定理,切线的性质,根据根据圆周
角定理和切线的性质证得N4C8+NBAC=NPBC+NABO=90°是解决问题的关键.
26.(8分)(2021•无锡)为了提高广大职工对消防知识的学习热情,增强职工的消防意识,
某单位工会决定组织消防知识竞赛活动,本次活动拟设一、二等奖若干名,并购买相应
奖品.现有经费1275元用于购买奖品,且经费全部用完,己知一等奖奖品单价与二等奖
奖品单价之比为4:3.当用600元购买一等奖奖品时,共可购买一、二等奖奖品25件.
(1)求一、二等奖奖品的单价;
(2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件,则共有哪几种购买方式?
【分析】(1)设一等奖奖品单价为4x元,则二等奖奖品单价为3x元,根据数量=总价
・单价,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出x的值,再将其代入4x,
3x中即可求出结论;
(2)设购买一等奖奖品“件,二等奖奖品〃件,利用总价=单价X数量,即可得出关于
m,〃的二元一次方程,结合〃?,〃均为正整数且4W机W10,即可得出各购买方案.
【解答】解:(1)设一等奖奖品单价为4x元,则二等奖奖品单价为3x元,
6001275-600
依题意得:-----+----------------=25,
4%3x
解得:x=15,
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意,
,4x=60,3x=45.
答:一等奖奖品单价为60元,二等奖奖品单价为45元.
(2)设购买一等奖奖品件,二等奖奖品〃件,
依题意得:60〃?+45〃=1275,
85—4m
-3-
;加,〃均为正整数,且4W〃W10,
{:二1或{:二;9或{:二5°
,共有3种购买方案,
方案1:购买4件一等奖奖品,23件二等奖奖品;
方案2:购买7件一等奖奖品,19件二等奖奖品;
方案3:购买10件一等奖奖品,15件二等奖奖品.
【点评】本题考查分式方程的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准
等量关系,正确列出分式方程;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程.
27.(10分)(2021•无锡)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+3与
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