2023-2024学年湘教版数学七年级上册 4.2 线段、射线、直线

4.2

线段、射线、直线第4章图形的认识第

1课时

线段、射线、直线猜猜看风筝跑了（打一个数学名词）

线段(断)情境导入1情境导入2思考：绷紧的琴弦，手电筒射出的光线，向两方无限延伸的笔直的铁轨等，它们可以分别抽象出哪些简单的平面图形呢？长方体的棱和数学课本封面的边是什么图形？合作探究线段线段有两个端点线段、射线、直线的概念及表示方法怎样由一条线段得到一条射线和直线呢？由一条线段得到一条射线：由一条线段得到一条直线：将线段的一端固定不动，另一端无限延长，便得到一条射线.将线段的两端都无限延长，便得到一条直线.想一想CB表示1：线段CB(或线段

BC)b表示2：线段b表示：射线OBEF表示1：直线EF(或直线

FE)表示2：直线

aBOa思考：怎么表示线段、射线、直线呢？(端点的字母O

写在首位)(点

E、F不能取在线尽头)(字母b放在线段中央)PO记作：射线

PO

（）ab记作：直线

ab

（）1234××AB记作：直线

AB

（）√AB记作：线段

BA

（）√考考你请用两种方式分别表示图中的两条直线.BAOmn.56如图，直线

AB

和直线AC

表示的是同一条直线吗？ABC.射线OB和射线BO

是同一条射线吗?为什么?(要求：画图说明)OB射线

OBOB射线

BOOB怎样表示图中以

O

为端点的射线?AOBC87名称图形表示方法延伸方向端点个数能否度量线段射线直线ABaABABABl直线l直线AB(或BA)射线BA射线AB线段a线段AB(或BA)不能延伸两个能AB方向延伸一个否两方延伸没有否BA方向延伸归纳总结线段、射线、直线表示方法及比较

例1

如图所示，下列说法正确的是(

)A．直线

AB和直线

CD是不同的直线B．射线

AB和射线

BA是同一条射线C．线段

AB和线段

BA是同一条线段D．直线

AD＝AB＋BC＋CD典例精析[解析]在直线上任意两个大写字母都可以表示这条直线，所以A错；表示射线时，第一个字母表示射线的端点．端点字母不同，射线必然不同，所以B错；直线无长短，所以D错．C练一练1．下列图形中表示射线

AB的是(

)2．下列关于直线的表示方法正确的是(

)BC问题1动手画一画，点与直线有哪几种位置关系？如图，QlP点

Q在直线

l外(直线

l不经过点

Q).点

P在直线

l上(直线

l经过点

P)，我们可以说，合作探究点与直线的位置关系(2)点在直线外(直线不经过这个点).点与直线有两种位置关系：(1)点在直线上(直线经过这个点)；知识要点问题2如图，画出直线

AB

与直线

BC，它们有几个公共点？结论：当两条不同的直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.图中直线

AB，射线

CD，线段

MN

能够相交的是(

)练一练D(1)过一点O

可以画几条直线？(2)过两点

A、B可以画几条直线？·O基本事实：过两点有且只有一条直线.合作探究·A·B两点确定一条直线(3)如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几个钉子?

这样做的依据是什么吗？练一练举一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例.1.植树时，只要定出两个树坑的位置就能确定同一行的树坑所在的直线.2.射击的时候瞄准目标活动1：图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；合作探究

以

A

为端点的线段有

AB，AC，AD，AE，共4条，以

B

为端点且与前面不重复的线段有

BC，BD，BE，共3条，以C

为端点且与前面不重复的线段有CD，CE，共2条，以

D

为端点且与前面不重复的线段有

DE，共1条，从而共有4＋3＋2＋1＝10(条)线段．1.当直线

a

上有

1个点时，可得到

条射线，

条线段；·ABOa···C2.当直线

a

上有

2个点时，可得到

条射线，

条线段；3.当直线

a

上有

3个点时，可得到

条射线，

条线段；4.当直线a上有

4个点时，可得到

条射线，

条线段；活动2：当直线

a

上有n

个点时，可得到

条射线，

条线段.204163862nn(n-1)25.当直线

a

上有

5个点时，可得到

条射线，

条线段；106.当直线

a

上有

6个点时，可得到

条射线，

条线段.1012151.下列表示方法正确的是()A.线段

LB.直线

ab

C.直线

mD.射线

OaC3.

在同一平面内有三个点

A，B，C，过其中任意两个点做直线，可以画出的直线的条数是

()A.1B.2C.1或3D.无法确定C2.

下列语句准确规范的是()A.延长直线

ABB.直线

AB，CD相交于点

MC.延长射线AO到点

BD.直线a，b相交于一点

m

B4.下列现象：①农民伯伯拉绳插秧；②解放军叔叔打靶瞄准；③学生早操队列对齐；④在墙上至少要用两根钉子才能把木条固定；⑤改直弯曲的河道，缩短航程．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有__________．(填序号)①②③④5.

如图，在平面上有四个点

A，B，C，D，根据下列语句画图：

(1)做射线

BC；(2)连接线段

AC，BD交于点

F；(3)画直线

AB，交线段

DC的延长线于点

E；

(4)连接线段

AD，并将其反向延长.EFABCD6.

如图，A，B，C三点在一条直线上，(1)图中有几条直线，怎样表示它们？(2)图中有几条线段，怎样表示它们？(3)射线AB和射线AC是同一条射线吗？(4)图中有几条射线？写出以点

B为端点的射线.解：(1)1条，直线

AB或直线AC或直线

BC.(2)3条，线段

AB，线段

BC，线段AC.(3)是.(4)6条.以

B

为端点的射线有射线BC、射线

BA.ABC7.两条直线相交，最多有

1

个交点.三条直线相交，最多有

3

个交点.四条直线相交，最多有多少个交点？n

条直线相交呢？n(n-1)2结论：n

条直线相交最多有个交点.线段、射线、直线线段、射线、直线的概念及表示

点与直线的位置关系：点在直线上；点在直线外直线的基本事实：两点确定一条直线

4.2线段、射线、直线第4章图形的认识第

2课时线段的长短比较合作探究••AB

如图，从

A地到B

地有四条道路，除它们外能否再修一条从

A

地到

B

地的最短道路？如果能，请你在图上画出最短路线.发现：两点之间的所有连线中，线段最短两点之间线段最短2.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.1.上述发现可以总结为：两点之间线段最短知识要点两点之间线段最短1.

如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.想一想.BA.2.

把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？ABA，B两地间的河道长度变短.典例精析[解析]在

MN上任选一点

P，它到

A，B的距离即线段

PA与

PB的长，结合两点之间线段最短可求．

例1

如图所示，直线

MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点

A和

B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？解：连接

AB，交

MN

于点

P，则这个货站应建在点

P处.PP

(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”．归纳总结情境探究

观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗？三组图形中，线段

a与

b的长度均相等

很多时候，眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.(1)(2)(3)abaabb

下图中哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？与同伴进行交流.议一议135467280135467280比较两条线段的长短思考：怎样比较两条线段的长短?(1)度量法(2)叠合法

将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合，两线段的另一端点均在同一射线上.用刻度尺量出它们的长度，再进行比较.ABCDabCD1.

若点A与点C重合，点B落在

C，D之间，则AB

CD.(A)B

＜叠合法结论：CDABB(A)2.

若点A与点C重合，点B与点D

，则AB=CD.3.

若点A与点C重合，点B落在CD的延长线上，则AB

CD.重合＞BABACD(A)(B)

在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是

与

的和，记作AC=

.如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是

与

的差，记作

AD=

.

ABCDa+ba-babb画一画aba+baba-b线段的和、差、倍、分

如图，点

B，C在线段AD上则

AB+BC＝____；

AD－CD＝___；BC＝___－___＝___－___.ABCDACACACABBDCD做一做例2

如图，已知线段

a，借助圆规和直尺作一条线段使它等于2a.(1)作射线

AD；(2)在

AD上顺次截取

AB=BC=a.则

AC就是所要求作的线段a解：作图步骤如下：典例精析这样仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图.ABCD

在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ABMABM

如图，点M在线段AB上，且把线段AB分成相等的两条线段

AM与BM，点M叫做线段AB的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.线段的三等分点线段的四等分点AaaMBM是线段AB的中点.几何语言：因为

M是线段AB的中点，所以

AM=BM=AB

(或AB=2AM=2BM).反之也成立：因为

AM=BM=AB

(或AB=2AM=2BM)，

所以

M是线段AB的中点.点M，N是线段AB的三等分点：AM=MN=NB=___AB(或AB=___AM=___MN=___NB)333NMBA例3如图，已知线段

a，b(a>b)作一条线段使它等于a-

b.解：作图步骤如下：Ab(1)作射线

AF；F

(2)在射线AF

上截取

AC=a；aCB

(3)在线段

AC

截取

AB=b.则线段

BC就是所要求作的线段.变式：如果线段

AB＝6，点

C

在直线

AB

上，BC＝4，D

是

AC

的中点，那么

A、D

两点间的距离是(

)A.

5B.

2.5C.

5

或

2.5D.

5

或

1【解析】本题有两种情形：(1)当点

C

在线段

AB

上时，如图：AC＝AB－BC，又因为

AB＝6，BC＝4，所以

AC＝6－4＝2，因为

D

是

AC

的中点，所以

AD＝1；(2)当点

C

在线段

AB

的延长线上时，如图：AC＝AB＋BC，又因为AB＝6，BC＝4，所以

AC＝6＋4＝10，因为

D

是

AC

的中点，所以

AD＝5.

故选

D.方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解.

(1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解．计算线段长度的一般方法：(2)整体转化：巧妙转化是解题关键．首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段．归纳总结例4如图，B、C两点把线段

AD分成

2∶3∶4

的三部分，点

E是线段

AD的中点，EC＝2cm，求：(1)AD的长；(2)AB∶BE.解：(1)设

AB＝2x，则

BC＝3x，CD＝4x，由线段的和差，得

AD＝AB＋BC＋CD＝9x.由

E为

AD的中点，得

ED＝AD＝

x.由线段的和差，得

CE＝DE－CD＝

x－4x＝＝2.解得

x＝4.∴AD＝9x＝36(cm).（2）AB:BE.解：AB＝2x＝8cm，BC＝3x＝12cm.由线段的和差，得

BE＝BC－CE＝12－2＝10(cm).所以

AB∶BE＝8∶10＝4∶5.方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答.1.用圆规截取的方法比较图中下列两组线段的大小：(1)

AC和

AB；(2)

BC

和

AB.(1)

AC<AB(2)B