第十讲-弧、弦、圆心角、圆周角

第十讲弧、弦、圆心角、圆周角知识点一弧、弦、圆心角的关系【定义】、如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做．【探究】如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦：；相等的弧：【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．几何语言：【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦．如果AB=CD，那么______,________如果弧AB=弧CD，那么______,_______如果∠AOB=∠COD，那么______,_______如果AB=CD,OE⊥AB，OF⊥CD,OE与OF相等吗？（5）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？【归纳】:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。【应用】例、如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明__________例、如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，求∠AOE的度数。方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为___________例、已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．方法小结：同圆中，由弦相等可得_____________,弧之间可进行加或_______【自我检测】1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是（）两条弦AB和CD的关系是（）A.AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．不能确定3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________4、如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．5、如图所示，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于E、F，延长BA交圆于G。求证：思路导航：证弧EF和弧GE相等，可通过证明两条弧所对的____________相等，因此，可作辅助线________6、已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．思路导航：由角平线线可联想_____________________,因此可添加辅且线________由同圆中_______相等，可得出弦EF和GH相等。圆的性质知点O为直径的中点，故可作辅助线__________本题知识点：______________,_________________,______________知识点三、圆内接四边形的性质【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆。圆内接四边形有以下性质：性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。[应用]例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=100°，则∠BCD=______度例2、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于例3、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为方法小结：圆中求角的问题可利用圆内接四边形_______________的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接边形解题。例4、如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（

）例5、如图，已知AB=AC=AD，，∠BAC=44°，则∠BDC的度数为（）方法小结：弧中点的条件可转化为_____________________,见直径应想到___________，例5中出现到定点A的距离相等的线段，可构造辅助圆。[经典例题]如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：EB=EC；

（2）分别求式子和的值（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积[妙题巧解]如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=60°，BD=6cm，求对角线AC的长．【自我检测】如图12，四边形ABCD内接于圆，∠DCE=70°，则∠BOD=____．2、如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB=22.5°，则∠ACB=_______3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=62°，则∠CAO=_______4、已知A，B，C是⊙O上不同的三个点，∠AOB=60°，则∠ACB=_________5、如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的=_______第1题第2题第3题第5题