信号与噪声分析

第2章信号与噪声分析知识点及层次

1.确知信号时－频域分析

(1)当代通信系统周期信号的傅氏级数表达和非周期信号的傅氏积分。

(2)几个简朴且惯用的傅氏变换对及其互易性。

(3)信号与系统特性－卷积有关－维钠－辛钦定理。

2.随机过程统计特性

(1)二维随机变量统计特性。

(2)广义平稳特性、自有关函数与功率谱特点。

(3)高斯过程的统计特性。

3.高斯型白噪声统计特性

(1)抱负白噪声及限带高斯白噪声特性。

(2)窄带高斯白噪声重要统计特性。

以上三个层次是一种层层进一步的数学系统，最后旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最重要的数学办法。2.1信号与系统表达法2.1.1通信系统惯用信号类型

通信系统所指的信号在不加声明时，普通指随时间变化的信号。普通重要涉及下列几个不同类型的信号：1.周期与非周期信号

周期信号满足下列条件：全部时域

(2-1)

——的周期，是满足（2-1）式条件的最小时段。

因此，该也可表达为： (2-2) ——是在一种周期内的波形（形状）。若对于某一信号，不存在能满足式（2-1）的任何大小的值，则不为周期信号（如随机信号）。从确知信号的角度出发，非周期信号普通多为有限持续时间的特定时间波形。2．确知和随机信号确知信号的特性是：无论是过去、现在和将来的任何时间，其取值总是唯一拟定的。如一种正弦波形，当幅度、角频和初相均为拟定值时，它就属于确知信号，因此它是一种完全拟定的时间函数。

随机信号是指其全部或一种参量含有随机性的时间信号，亦即信号的某一种或更多参量含有不拟定取值，因此在它未发生之前或未对它具体测量之前，这种取值是不可预测的。如上述正弦波中某一参量（例如相位）在其可能取值范畴内没有固定值的状况，可将其表达为： (2-3)其中和为拟定值，可能是在（0，2π）内的随机取值。3．能量与功率信号在我们惯用的电子通信系统中，信号以电压或电流（变化）值表达，它在电阻上的瞬时功率为：或 (2-4)

功率正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量（=1Ω）表达式为： (2-5)

在=1Ω负载上的电压或者电流信号的（归一化）能量为： (2-6)单位时段2内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号的总平均功率则为： (2-7)普通地，能量有限的信号称为能量信号，即0<<∞；而平均功率有限的信号称为功率信号，即0<<∞。能量信号与功率信号是不相容的——能量信号的总平均功率（在全时轴上时间平均）等于0，而功率信号的能量等于无限大。普通，周期信号和随机信号是功率信号；确知而非周期信号为能量信号。从理论上，表达信号的办法诸多，但事实上傅立叶分析在信号解决与通信中沿用至今，它将任何函数波形均正交分解为一系列正弦波之和表达，在应用上含有很大的广泛性。在通信系统中，运用变换域，如频域分析，可更方便地揭示信号本质性特点。4．基带与频带信号从信源发出的信号，最初的表达办法，大都为基带信号形式（模拟或数字、数据形式），它们的重要能量在低频段，如语音、视频等。它们均能够由低通滤波器取出或限定，因此又称为低通信号。为了传输的需要，特别是长途通信与无线通信，需将源信息基带信号以特定调制方式“载荷”到某一指定的高频载波，以载波的某一、二个参量变化受控于基带信号或数字码流，后者称为调制信号，受控后的载波称为已调信号或已调载波，属于频带信号。它限制在以载频为中心的一定带宽范畴内，因此又称为带通信号。2.1.2系统表达法

通信系统或信号系统涉及线性时不变系统和非线性的、时变系统。在先行课信号与系统分析中已对线性时不变系统进行过充足研究；一种复杂的通信系统，特别是无线通信系统（如短波信道），需以非线性时变系统分析办法来解决。 根据傅立叶分析办法，一种正弦波输入到系统，响应成果等于相似频率的另一正弦波的条件有两个：系统是线性的——遵照迭加原理和比例倍增。如系统输入为和，响应各为和，如果存在的响应为（可迭加性）及作为激励，其响应为：（比例倍增）(2-8)其中a1、a2为任意常数。则该系统为线性系统。系统是时不变的——如果系统激励为，响应为，当输入信号延<时，即，而响应也产生同样延时，即，则该系统为时不变系统。2.1.3通信系统中的统计分析办法 从通信系统的通信过程而言，是含有基于概率统计特性的。从信源到信号表达，有噪信道传输和接受，各个环节均需运用统计分析办法来解决通信信号及通信系统问题。对于接受者来说，有关信源随机发送的信息序列是不拟定的，不可预测的，因此属于一定特性的随机信号。在传输过程中，由于信道介入多个干扰、噪声，受到污染的信号达成接受端，使接受者更增大了不拟定程度。因此，基于统计理论的随机过程和信息论是分析与解决信息传输和最佳接受问题的重要理论基础，这正是本章第4节开始重点讨论的问题。2.2信号频谱分析概述 为了知识的持续性，同时作为随机信号分析的基础，兹概要回想确知信号傅立叶分析办法。2.2.1傅立叶级数 任何一种周期为的周期信号，，只要满足狄里赫利条件，就能够展开为正交序列之和——傅立叶级数： (2-9)

式中系数(2-10)

——

的均值，即直流分量。

式（2-9）中，由

则得： (2-11)

式中：，，。

又由，则可表达为指数形式：(2-12)

式中：，

，，以上三种级数表达方式实质相似。各项之间均为正交，这样当有限项来逼近时，在同样项数时，以正交项之和精度最高。2.2.2傅立叶变换 非周期信号，即能量信号，其时域表达式通过傅立叶（积分）变换，映射到频域也可表达信号的全部信息特性——频谱函数，更便于信号和系统的分析。信号的傅立叶变换对为

频谱函数：

反演式：(2-13)

表达该傅立叶变换对的缩写符号为：

变换对的存在，含有数学上严格的充要条件，这里不再列出。2.2.3卷积与有关1.卷积

卷积是当系统冲激响应拟定后，已知系统的激励信号而求响应的运算过程。

这一运算模式也可推广到任何两个时间函数与或这两个频域函数与的卷积：

时域函数卷积：(交换律) (2-14)

频域函数卷积：(2-15)

关系式：（卷积定理） (2-16)（调制订理） (2-17)2.有关 一种函数可求其自有关函数。两个函数与，可求它们之间的互有关函数及： 自有关函数： (2-18) 互有关函数：(2-19) (2-20) 则有：或（偶对称性） (2-21)

若及、为周期信号，上列各式运用格式运算。2.2.4能量谱、功率谱及帕氏定理1.能量谱密度 若存在傅立叶变换对能量信号的能量谱与其自有关函数也是一对傅立叶变换，即：

简要表达为： (2-22)

这里——能量谱函数，或称能量谱密度。2.功率谱密度 若存在傅立叶变换对，且为功率信号，其自有关函数与其功率谱也是一对傅立叶变换，即： (2-23)

上式可表达周期信号和随机信号两种状况。周期为的信号在一种周期的时间平均自有关函数，随机信号截短信号的时间自有关函数，两者都对应着单位时段能量谱，当时间无限扩展时的时间平均能量谱，等于它们的功率谱，只是当周期信号时，式（2-23）不必用极限运算。 由于为随机信号时不存在周期，以表达该的截短段为的能量谱，为此段时间平均功率谱，取时间极限后才为该信号精确功率谱。这一计算方式，到背面随机信号分析将要用到。 3．帕氏定理（Parseval）——信号能量与功率的计算 帕氏定理：能量谱或功率谱在其频率范畴内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自有关函数=0时，三者计算成果是一致的。2.3希尔伯特变换2.3.1希氏变换 希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也能够当作它是由一种特殊的滤波器完毕的。 为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回届时域来进一步认识它，并且变换后信号以表达，对应频谱以表达。1．希氏（频域）变换定义

若信号存在傅立叶变换对，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱的负频域全部频率成分相移，而正频域相移——完毕这种变换的传递函数称为希氏滤波器传递函数，即有：(2-25) 则希氏变换频谱为 (2-26)2．希氏（时域）变换定义 为了得出时域中进行希氏变换的规则，能够很简朴地由上述希氏滤波器传递函数，求出其冲激响应： (2-27a)

运用傅立叶变换的互易定理，可由反表演： (2-27b) 因此希氏变换的时域表达式为：(2-28)由希式变换的定义：（1）

余弦信号的希式变换等于正弦信号；（2）

正弦信号的希式变换等于余弦信号。 希氏变换在本章最后窄带噪声统计特性分析中，以及线性调制单边带生成过程中，都有非常重要的作用。2.3.2希氏变换的重要性质

1．信号与其希氏变换的幅度频谱、功率（能量）谱以及自有关函数和功率（能量）均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特性。对应的，自有关函数也不反映信号的时间位置。

2．希氏变换再进行希氏变换表达为。则有： (2-29)3．与互为正交。 为证明最后一种性质的对的性，可通过互有关与能量谱进行计算： 式中右边：(2-30) 由上式最后一种积分式能够看出，被积函数为奇函数与偶函数之乘积，因此该项积分等于0。于是，可得正交关系，即：(能量信号) (2-31)

或(功率信号) 2.4随机变量统计特性 在数学课中，已经涉及到基于概率论的随机变量及其统计平均的计算，随机变量是建立随机过程和随机信号分析办法的基础。这里从公理化概率概念出发，阐明随机变量的形成及重要统计平均的运算办法。2.4.1概率的公理概念 有关概率概念，在工科数学中曾从古典概率、几何概率等，对随机事件做了描述性阐明。这里拟从概率空间角度，对随机事件及其概率建立数学模型。 一种随机实验，严格来说重要应满足下列三个基本特点：

（1）实验（Experiment）在相似条件下是可重复的；（2）每次重复称作实验（Trial），其可能成果（Outcomes）是不可预测的；（3）一种随机实验中的大量实验，其成果会呈现一定统计规律。我们运用统计概率概念来描述概率的定义：

一种随机实验，全部实验可能成果（Outcomes）称为样本（Samples）。其全部样本集合构成样本空间（整集），其中一种样本或多个有关样本集合构成的子集称为的事件域，中的每一集合（或样本）称为事件。这样若事件，则称为事件的概率。于是以上三个要素实体的结合，构成一种概率空间，表达为：。2.4.2

随机变量 上面以概率空间表达了随机实验及其可能成果的概率模型。在实际应用中，我们但愿以更明确的数学表达，来阐明样本空间诸事件（集）的统计特性及其互有关系,兹介入“随机变量”概念。 现将样本空间中全部事件（样本）均以某种指定的规则映射（Mapping）到数轴上，并以指定的实数来表达它们。 如掷硬币，两种可能成果的样本空间为，（、分别表达硬币出现正、背面），映射到数轴上，可由任意指定两个实数作为你的映射规则（称、……）——来表达两个实验成果。为方便计，可用0、1来表达，即构成一维随机变量，此时它以=0及=1两种可能的数值表达，即：=1（）及=0（）。

如图2-8（a）所示。它涉及了随机变量的2个“取值”（=0）及（=1）；由此看来，上述，表面上写法类似于“函数”，但它们确不是一种函数，而是变量或变量取值集合。于是，可将随机变量直接用，……来表达，以免与函数混淆。 其实，随机变量在数轴上所示样本映射的点（可能的取值），仍与样本的概率相对应，它们都要附带其在样本空间的概率特性，因此赋予一定规则的映射所指的随机变量、……，尚必须对全部样本映射点（取值）的概率予以明确表达。背面将具体阐明。2.4.3随机变量的统计特性 在数轴的实数值代表的样本空间的样本或实体，它们并非拟定数，它们只是中样本的“数字符号”形式的代表，因此必须与其概率相对应才有真实意义。全部样本的累积概率——整集的概率为1，即，而随机变量中的部分事件的概率是一切不不不大于某特定取值的随机变量的累积概率，其大小随取值变化，因此称其为概率累积函数或概率分布函数（cdf）可表达为：

且有： (2-43)

式中，的含义是不包含全部随机变量取值（任何取值都有是不存在的）的累积概率为0；而则包含的全部取值所对应的概率之和，即累积之和固然为1（随机变量完备群概率）。普通地，随机变量值如有，则有：, 接着的问题是，我们尚需理解随机变量各取值的概率质量（离散时）或概率密度（为持续时），即随机变量的概率密度（函数）pdf，并以或表达。 与是互为微积分关系： 或 (2-44)

这里作为“虚假”变量。当具体取值为及x1、x2,且,则： (2-45) 若上式中=–∞，可设为的任意值，则：(2-46)

且有：(2-47)2.4.4惯用的随机变量类型

1.均匀分布

前面例子已涉及到均匀分布随机变量，即它们的pdf含有均匀分布特性。

又如，产生一种幅度为，角频为的正弦波，<>，其中若初相非为某种强制设定的量,可看做是在（0，2π）内均匀分布的随机变量。

2.高斯型分布

在自然界中，诸多现象符合“中心极限定理”，它与高斯（正态）分布特性有着亲密关系。一维高斯变量的pdf为： (2-48) 由上式看出，对于一种高斯随机变量，只要已知均值及方差，就能唯一拟定其pdf，且可简写为，其中当=0，时的高斯分布，其pdf为，称其为归一化高斯分布，即：(2-49) 图2-11示出了一维高斯随机变量pdf和cdf曲线。

本章附录中列出了该归一化分布和概率积分函数：，

在实际应用中，经常需要计算高斯随机变量在处的累积概率值，即：(2-50)

为了查表方便，先进行归一化，即设可得：(2-51)

于是通过查阅本章附录的高斯变量概率积分表，可得精确成果。 概率积分函数有下列性质： (2-52) 在通信系统设计与数字信号误码率分析中，经常运用“误差函数”或“互补误差函数”。 误差函数：(2-53)

互补误差函数：(2-54)

且有：(2-55)

本章附录中列出了误差函数表。同时还列出了当>>1时近似式——的数值。

3.其它类型的概率分布

在通信系统窄带噪声分析中（本章最后部分），要用到瑞利（Rayleigh）分布和莱斯（Rice）分布，以及其它类型如波松（Poison）分布，后者用于信号交换排队分析。(2-32)2.5随机过程

在通信与信息领域中，存在大量的随机信号。例如语声、音乐信号、电视信号，在通信系统中传输的数字码流和介入到系统中的干扰和噪声，均含有多个随机性特点。要分析这类信号与噪声和干扰的内在规律性，只有找出它们的统计特性；另首先，它们均为时间函数，即它们随机性变化是体现在时间进程中的，可把它们统称为随机过程。2.5.1随机过程的概念和定义 定义1.随机过程是同一种实验的随机样本函数的集合,表达为，其中每个样本函数均为随机过程的一种组员，也称为随机过程的一次（实验）实现。 定义2.随机过程是随机变量在时间轴上的拓展。此时可表达为或者与随机变量表达同样，为避免误视为的“函数”，而以表达随机过程。 随机过程是含有随机变量的时间函数。同时，由定义2，我们也能够说随机过程是在时间进程中处在不同时刻的（多维）随机变量集合。2.5.2随机信号的统计特性和平稳随机过程 研究随机过程的统计特性，为便于理解，我们由定义2及上列两个图示，抽出位于不同时间截口的随机变量，它们为：

其中若，即当0就更为典型。此时由多个时间截口的随机变量构成的随机过程，其分布函数可写为：或

(2-74)

——表达随机过程的分布函数，各与对应，表达在各不同时间截口处的随机变量取值为，于是，(2-75)

其中为随机过程的概率密度。 由此看来，像随机变量那样，若运用的pdf来求解各阶多维统计平均是极为复杂的。幸好，在通信及日常应用中，解决一、二维统计特性或统计平均就可满足普通规定。并且还经常碰到统计特性能够简化的“平稳随机过程”或“遍历性”平稳过程。

1.一维统计特性

首先我们可在随机过程任意指定时间截口来看该随机过程——它将成为该时刻处的一维随机过程：

它与前面介绍的一维随机变量并无本质区别，只是表明了它处在某具体时刻，由于是任意给定的，也能够去掉下标。此时，为参变量，能够说一维随机过程是随机过程在某一时刻的一维随机变量，其分布函数为： (2-76)

对应的概率密度函数为：(2-77)(2-78) 由能够计算出一维随机过程各统计平均：（1）均值函数 (2-79)（2）方差函数 (2-80)（3）均方值（函数）

由(2-81) 因此,随机过程的均方值为：(2-82)

此成果在数学上的意义：表明随机过程在时刻的二阶原点距等于二阶中心距与一阶原点距平方之和；在物理方面（电学）来说，随机过程的瞬时统计平均总功率等于该瞬时交流功率与直流功率之和。

2.二维统计平均特性

上述一维统计平均反映随机过程的统计特性是很不充足的，二维统计平均更显得重要。 我们能够在随机过程中任选两个时间截口和，将截取为相距的两个随机变量：对应变量取值为对应变量取值为

这两个不同时刻的联合随机变量，此时就是二维随机过程。其二维统计特性为： (2-83) (2-84)

运用在时间截口和时的二维pdf，能够求出随机过程的二维统计平均，诸如自有关函数，自协方差函数，以及归一化协方差函数——自有关系数。

（1）自有关函数 (2-85)

式中，由于可作为参变量选值，因此以来取代。

（2）自协方差函数 (2-86)

（3）自有关系数 (2-87)

3.平稳随机过程与广义平稳随机过程定义1.若随机过程的统计特性与时间原点无关，即：

则称该随机过程为严平稳或狭义平稳随机过程。如此，图2-15及图2-16的时间原点能够任意移动，其pdf成果不变。 定义2.若随机过程能满足一维和二维平稳条件，即：(2-88)

及(2-89)

则称该随机过程为宽平稳或广义平稳随机过程。对于通信系统与其它诸多自然现象，往往使用一、二维统计特性足以表明随机过程重要实质，或能满足基本分析需求，故必须掌握好广义平稳的概念。 在广义平稳条件下，上述诸多统计平均计算能够得到简化： 由一维平稳：（平稳时）

（常数）(2-90)

同时有或。由二维平稳：（平稳时）设(2-91)

结论：广义平稳