2021年吉林省松原实验高级中学高考数学模拟试卷（5月份）附答案详解

2021年吉林省松原实验高级中学高考数学模拟试卷(5月

份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.命题“Vxe(0,+8),10g2X>1”的否定是()

A.VxG(0,+oo),log2X<1B.3x0G(0,4-00),log2X0W1

e

C.Vxg(0,+oo),log2x<1D.3x0(0,+8),log2x0>1

2.已知集合M={xeN*|2工<8},N={x\x<a}.若MnN有且仅有1个元素，则实

数a的取值范围是()

A.(0,1]B.[0,1]C.(1,2]D.[1,2]

3.已知圆。的半径为1,A,B是圆O上两个动点，|57+而|=一2市•丽，则立?，

砺的夹角为()

A.B.YC.D.y

4.已知数列{即},an=高，其中八n)为最接近近的整数，若{即}的前m项和为20,

则m=()

A.15B.30C.60D.110

5.关于直线相，〃与平面防B，有以下四个命题：

①若m〃a,n〃/?且a〃夕，则m〃n；

②若?n_La,71_1£且0_1£,则m_Ln；

③若m_La,九〃夕且a〃夕，则?n_L九；

④若m〃a,几工£且。10,则m〃小

其中真命题的序号是()

A.①②B.③④C.①④D.②③

0,x

6.己知函数f0)=j0若“1<2<x3<x4,且/Qi)=/(x2)=

=XX

/(%3)=f(%4)，给出下列结论：①久1+X2®34=1，③0<+%2+%3+

%4<④0<芯1%2%3%4<1，其中所有正确命题的编号是()

A.①②B.②③C.②④D.②③④

7.已知△ABC中，力,E分别是线段8C,AC的中点,与BE交于点。，且4B0C=90°,

若BC=2,则AABC周长的最大值为()

A.2+2V10B.2+V10C.2+2V5D.2+4V5

8.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一

半，在该正方体侧面CDDiG上有一个小孔E,E点到CD的距离为3,若该正方体

水槽绕C£>倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CODiG与桌面所成

角的正切值为()

二、多选题(本大题共4小题，共20.()分)

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()

A.i+i2+i3+i4=0

B.复数z=3-i的虚部为-i

C.若z=(1+2i)2,则复平面内W对应的点位于第二象限

D.已知复数z满足|z-l|=|z+l|,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

10.下列四个函数，同时满足：①直线y=|x+b(beR)能作为函数的图象的切线；②

函数y=l/(x)|+7%的最小值为4的是()

\J

A./(无)=；B./(x)=sinxC./(x)=exD./(x)=x2

11.己知函数/(x)=4cos(x+,)+1(4>0,|w|<J),若函数y=|/(x)|的部分图象如

图所示，则下列说法正确的是()

A.函数/'(X)的图象关于直线x=*对称

B.函数/(©的图象关于点(―：兀,1)对称

6

第2页，共20页

C.将函数y=2sinx+1的图象向左平移泞个单位可得函数/'(x)的图象

6

D.函数/"(X)在区间[一(0]上的值域为[8+1,3]

12.过双曲线C：捺-A=l(a>O,b>O)的右焦点F引C的一条渐近线的垂线，垂足

为A,交另一条渐近线于点B.若丽=4存，2<A<3,则C的离心率可以是()

A立B.2C.渔D.2

232

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.写出一个符合“对VXp当X14%2时，-刀2)[/(》1)一/(%2)]<0"的函

数/(X)=.

14.(1+您)1。。的展开式中有理项的个数为.

15.高三年级毕业成人礼活动中，要求A,B,C三个班级各出三人，组成3X3小方阵，

则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为.

16.已知实数a>0且a,1,/'(x)=a*-X。为定义在(0,+8)上的函数，则/(x)至多有

个零点；若/(%)仅有1个零点，则实数a的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AADC=90%△射

4BC为锐角三角形，且4B=3,AC=近,UBC=60。./|二九)

⑴求sin/BAC的值；/\/

(2)求△BCD的面积.£C

18.给出以下两个条件：①数列｛an｝的首项a】=1,a2=3,且%i+i+an=4n,②数

列｛%J的首项%=1)且2=建学.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的

3nn

问题.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设数列｛九｝满足b=nx2竽，求数列｛g｝的前〃项和7".

19.如图，在直四棱柱4BC0-AiBiGDi中，底面ABCD是边长

为2的菱形，且441=3,E,F分别为CCi，8久的中点.

(1)证明：EF_L平面BB15。；

(2)若NDAB=60°,求二面角4-BE—5的余弦值.

20.某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可

以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A2,4中的一个，每个乙系

列盲盒可以开出玩偶Bi，%中的一个.

(1)记事件品：一次性购买〃个甲系列盲盒后集齐A2,4玩偶；事件4：一次

性购买〃个乙系列盲盒后集齐名，-2玩偶；求概率P(E6)及「(危)；

(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，

且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的

第4页，共20页

消费者购买甲系列的概率为:购买乙系列的概率为冬而前一次购买甲系列的消费

者下一次购买甲系列的概率为:，购买乙系列的概率为K前一次购买乙系列的消费

者下一次购买甲系列的概率为购买乙系列的概率为点如此往复，记某人第〃次

购买甲系列的概率为Qn.

①Qn；

②若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲

盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

21.已知椭圆捺+5=19>/)>0)的离心率为争右焦点为F,上顶点为4左顶点

为B,且|FA|•/团=10+5V2.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知C(—4,0),D(4,0),点尸在椭圆上，直线PC,分别与椭圆交于另一点M,

N,若而=4雨，DP=fiDN>求证：％+〃为定值.

22.已知函数f(x)=ax+捻+l(a6R).

(1)若函数/(%)在区间(1,+8)上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)当aHO时，讨论函数9。)=/。)一。一3的零点个数，并给予证明.

第6页，共20页

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据全称命题的否定是存在性命题可知，命题“vxe(0,+-),iog2x>1”

u

的否定为3x06(。,+8),log2x041”.

故选：B.

根据全称命题的否定是存在性命题，即可得到答案.

本题考查了含有量词的命题的否定,要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•••M={xWN*|x<3}={1,2},N={x\x<a},且MnN只有一个元素，

MD/V={1},

A1<a<2,

・•.a的取值范围是(1,2].

故选：C.

可求出集合M={1,2},然后根据MCN只有一个元素即可得出MCN={1},这样即可

得出“的取值范围.

本题考查了指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：•.•而+而『=OA'+0B2+20A-0B=2+2cos<0A>OB>，

-2OA-OB=-2cos<0A>OB>>

可得2+2cos<瓦?，OB>=(-2cos<^A.OB>)2>

解得cos<R，OB>=-正值舍去)，

则瓦至的夹角为手

故选：B.

通过向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解向量的夹角的余弦函数值，然后推出

结果.

本题考查向量的数量积以及向量的模的运算法则的应用，向量夹角的求法，是中档题.

4.【答案】D

【解析】解:由题意可得f(l)=1,/(2)=1,/(3)=2,/(4)=2,f⑸=2,/(6)=2,

/(7)=3,/(8)=3,/(9)=3,/(10)=3,/(II)=3,/(12)=3,

可得依次为2个1,4个2,6个3,8个4,10个5,,・,，

因此由-I-a2=2x1=2,a3-l-a4+a5+a6=4xj=2,a7+a8+...+a12=6x1=2,

Q[3+。]4+...+。20=8X~—2,...f

由20=10x2,可得m=2+4+6+8+...+20=jx10x(2+20)=110.

故选：D.

写出f(n)的前几项，求出一些项的和，由等差数列的求和公式，可得所求值.

本题考查数列的求和，注意总结规律，考查归纳推理能力，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：若m〃a,n〃.且a〃/?,则〃?，"可能平行也可能异面，也可以相交，故①

错误；

若7nl.a,n10且a_L0,则，?7,”一定垂直，故②正确；

若mJ.a,n〃/?且a//0,则相，九一定垂直，故③正确；

若m〃a,n_L0且al。，则相，”可能相交、平行也可能异面，故④错误

故选：D.

根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答

案.

判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面

平行的判定定理(aua,bCa,a//b=a〃a)；③利用面面平行的性质定理(a〃夕,au

a0a〃口)；④利用面面平行的性质(a〃0,a<ta,aP，a//a=a〃0).线线垂直可由线

面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线

线垂直的重要依据.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，

也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定

定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.

6.【答案】D

第8页，共20页

【解析】解：函数/Xx)=

储921：蓝°的图象如右图所示，

则Xi+x2=-2,故①错误；

由f(%3)=/04)得|10g2%3l=|10g2%4b

-10g2%3=bg2久4，

则1。82。3%4)=0，"%3%4=1>故②正

确;

/&+尤3+%4=-2+右+乂4=尤3+2一2,由10g2X=—1得X=

*32

则；<x3<1>­,■XT+x2+x3+x4=x3+^-2&故③正确；

又X1X2X3X4=xxx2=%!(—2—Xj)=—xf—2xi，6(-2,-1),

%1%2%3久4=~X1~2%i6(0,1)>故④正确.

故选：D.

利用函数f(x)的图象和性质，逐个结论验证，选出正确选项.

本题主要考查函数的图象与性质，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：因为NBOC=90。，

故。。=\BC=1,

则4。=3OD=3；

而加=1(432+AC2+2AB-AC-cosA)=^(AB2+AC2+

2AB-AC-"BW-BC")="2432+2AC2-BC2),

2ABAC'4')

故AB2+4。2=2AD2+^BC2=20,

则AB+AC<52(4B2+4〈2)=2V10,当且仅当AB=AC时等号成立，

故4ABC周长的最大值为2+2V10.

故选：A.

由已知利用直角三角形的性质可得。。=1,40=3,利用三角形中线的性质，余弦定

理可得AB?+"2=2AD2+^BC2=20,利用基本不等式可得AB+4c<

J2(AB2+"2)=2国,即可求解△力BC周长的最大值.

本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，考查了学生直观想象、逻辑推理、数学

运算的核心素养，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：由题意知，水的体积为4x4x2=32,

如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱441，BBi，CCi，CD1交于M,N,P,

Q,则PC=3,

水的体积为»CPN•CO=32,

：•-B-N-+-C-P-BcC--C—Dn=3c2c,即t«n-B-N--+3x4.x4.=3c2c,：•BcNn,=1a.

22

在平面BCqBi内，过点G作C]H〃NP,交BBi于H,则四边形NPCiH是平行四边形，

NH=C$=1,

:.B,H=BBr-NH—BN=4—1-1=2,

•・・侧面CDD©与桌面所成的角即侧面CDDiQ与水面MNPQ所成的角，即侧面CD与

平面HC1D1所成的角，

NHC1C即为所求，而乙HC1c=

在RtZkB/Ci中，tanZ_BiHCi=§^=：=2,

.•.侧面CDDiG与桌面所成角的正切值为2.

故选：D.

由题意知，水的体积为32,设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱4公,8当，CC],。劣交

于M,N,P,Q,则PC=3,此时水的体积为SBCPN-CD,从而求得BN=1；在平面BCC/1

内，过点G作G"〃NP,交BBi于”，侧面CDDiG与桌面所成的角即侧面CDDiG与水

面MNP。所成的角，即侧面COOiQ与平面“Ci/所成的角，故即为所求，再在

Rt△BiHC]中，由tan/HCi。==当即可得解.

本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的

关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

9.【答案】AD

第10页，共20页

【解析】解：对于A：i+i2+i3+i4=i—1—1+1=0,故4正确；

对于"复数z=3-i的虚部为-1,故B错误；

对于C：若z=(l+2i)2=1+讥-4=-3+43所以W=-3-43则复平面内3对应

的点位于第三象限，故C错误；

对于。：复数z满足|z—l|=|z+l|,表示z到4(1,0)和B(-1,0)两点的距离相等,即z

的轨迹为线段AB的垂直平分线，故。正确.

故选：AD.

直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

10.【答案】CD

【解析】解：对于A,/(x)=§的导数为尸。)=一点<0,

所以直线y=|x+b不能作为函数的图象的切线，故4不成立；

对于B,/(%)=sinx的导数为/''(X)=cosx,令cosx—有解；

44

但函数、=|/0)|+而有=设讥刈+,24,当且仅当|sinx|=2,方程无解，所以8

不成立；

144

对于C,/(%)=e"的导数为r(x)=e",令e"=：,有解；又If(%)l+而｝i=。"+蕨之

NI/W川&

2卜T=4,

当且仅当婚=2时，取得等号，故C正确；

对于£),/(x)=/的导数为((x)=2x,令2x=即x=；,SX2+^>4,

当且仅当尤=土或时，等号成立，故。正确.

故选：CD.

分别求得/。)的导数，可得切线的斜率，令其为也结合基本不等式和取得等号的条件，

可得结论.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及基本不等式的运用，考查方程思想和运算能

力、推理能力，属于中档题.

II.【答案】BC

【解析】解：根据函数的图象：4=2,

当x=0时，满足/X0)=2,即cosw=点由于|/|＜］,

所以9=土半

由于函数的图象的最高点左移，所以

故/(x)=2sin(x+^)+1.

对于A：当x=*时，/吟)=1，故函数的图象不关于直线久=3对称，故A错误；

对于B：当x=-学时，y(-y)=-1,故B正确；

对于C：函数y=2sinx+1的图象向左平移2个单位可得函数=2sin(x+g)+1的

图象，故c正确；

对于。：由于46［一泉0］时，函数f(x)在该区间上先增后减，故/(—)=3,八一今=

V3+l±-/(。)=2,所以函数在该区间上的值域为［2,3］.故。错误.

故选：BC.

首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数

的性质的应用判断A、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考

查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：设渐近线0A的方程为y=--x,"

渐近线OB的方程为y=?x,

由题意可得直线AF的方程为y=

b

y=-

联立直线AF与08的方程'£…/\

n'a?cabc、

b

y=--X

联立直线AF与OA的方程aa,可得

(y=B(x-c)

A的坐标(9,_?),

2

因为4万=而，所以;1竺=既7所以3-a?-西

ca2-b^

第12页，共20页

2c2>；a2

因为2saw3,所以卜232,所以1I,

上-<3c2<|a2

\a2-b2I2

所以ee[誓,争，所以离心率可以是选项BC对应的值.

故选：BC.

设直线04,0B的方程，由题意可得4尸的方程及直线0B,04的交点A,B的坐标,

由丽=4万，2<A<3,可得4,c的关系，进而求出离心率的范围.

本题考查双曲线的性质及向量间的关系得坐标的关系，属于中档题.

13.【答案】-x

【解析】解：因为对VX1，X2ER,当*1H不时，01—不)，。1)—/(&)]<0”可得此

函数为单调递减函数，

结合基本初等函数可得，符合要求的/(%)=-X.

故答案为：—X.

Vx1,x2eR)当Xiv*2时，-x2)|/(x1)-/(x2)]<0”可得此函数为单调递减函数,

结合基本初等函数的性质可求.

本题主要考查了函数单调性定义的应用，属于基础题.

14.【答案】34

【解析】解：4+1=C：oo(2x)%，所以厂=0,3,6，…，99时为有理项，共34个.

故答案为：34

利用二项式定理的展开式，即可判断.

本题考查了二项式定理，二项式展开式，属于基础题.

15•【答案】义

【解析】解：根据题意，A,B,C三个班级各出三人，组成3x3小方阵，有端种安排

方法，

若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有用=6种,

第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；

第一行的每个位置的人员安排方法有3x3x3=27种，第二行的每个位置的人员安排

有2x2x2=8种，第三行的每个位置的人员安排有1x1x1=1种，

则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率P=6X2；7=

故答案为：

140

根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成3x3小方阵”和“来

自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答

案.

本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题.

16.【答案】2(0,1)U{e}

【解析】解：令久x)=0,可得谟=产，两边同时取自然对数得Lna=alnx,即詈=詈,

构造函数g(x)=>0),则g'(x)=

当0cx<e时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增，当x>e时，g'(x)<0,此时g(x)单调

递减，

•••g(x)max=g(e)=且当x>1时，g(x)=?>(),如下图所示,

由图象可知，直线y=詈与函数g(x)=詈的图象至多有两个交点,

・•・函数/(x)至多有2个零点,

若函数f(x)只有一个零点，则詈=:或詈<°，解得0<。<1或。=6.

故答案为：2,(0,1)U{e}.

令/Q)=0,可得标=%%即等=詈，构造函数g(x)=等(x>0),对g(x)求导，得

出其单调性以及取值情况，进而作出其草图，根据图象即可得解.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题.

17.【答案】解：(1)在锐角三角形ABC中=3,AC=V7./ABC=60。,

由正弦定理可得sin/ACB=ABsin^ABC=剋空，

AC14

所以cosZJlCB=—，

14

因为sin/BAC=sinfyr—(1+Z.ACB)]=sin(1+乙ACB),

所以sin血C=cossin41cB+s呜COSAACB=鬻+卜*,=呼.

第14页，共20页

(2)因为AB〃CD,所以"CD=/.BAC,

所以sin/ACD=sin^BAC=—.

7

在Rt△ACC中，AD=ACxsin^ACD=V7x—=V3.

7

所以CD=y/AC2-AD2=2,

因为S^BCD=Sue。，

又S“ACD=xCD=V3,

所以S^BCD=

【解析】(1)在锐角三角形ABC中由正弦定理可得sin乙4CB,利用同角三角函数基本关

系式可求cos〃CB,利用两角和的正弦公式即可求解siMBAC的值.

(2)利用平行线的性质可得sin乙4CD=sin^BAC=呼，在Rt△4DC中，可求4。=ACx

sin^ACD,利用勾股定理可求CD,由5双°=S^ACD，利用三角形的面积公式即可求解.

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，勾股定理,

三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】解：(1)若选条件①，^an+i+an=4n,得每+？+Qn+i=4几+4,

两式相减，得%+2-Qn=4,

二数列｛。2心1｝，｛。2力(女eN+)均为公差为4的等差数列，

•・•%=1,=3,；・。2々­1=1+4(fc-1)=4/c—3,Q2k=3+4(k—1)=4k—1,

・•・ri为奇数时，Qn=4•W*-3=2n—1,

〃为偶数时，a九=4彳一1=2九一1,

综上，an=2n-1；

若选条件②，由蜉=暗，

4HQSSn—1S?cn2(11—1)222[7

得Sn==n•至••…或$=曰・^,…^，1=n'

n>2时,an=-Sn_x=2n—1,

又71=1时，%=1,符合上式通项，

：•an=2n—1；

n,

(2)由(1)得6n=n.2%=n-2

23n+1

・・・7；=1・21+2・22+・・・十九・2九,:.2Tn=1-2+2•2+-+n-2,

两式相减，得一7=2+2?+23+…+2九一几•2n+i=(1-n)-2n+1-2,

・•・〃=（九-1）2n+1+2..

【解析】（1）选条件①，把an+i+Q九=4几转化为%+2-Qn=%得到奇数项和偶数项

分别为等差数列，进而得到结果；选条件②，利用%=令••2••…朗求出疆,进

On-l»n-231

而求出即；（2）错位相减法求和即可得到乙.

本题考查了等差数列求通项，错位相减法求和的内容，其中结合了累乘法的技巧方法,

属于中档题.

19.【答案】（1）证明：连结4c与8。交于点0,连结

0F,

因为四边形ABC。是菱形，

所以。为8。的中点，

由因为F为的中点，

所以且OF=汨D,

因为E为CG的中点，

所以CE〃。“且CE=^DiD,

OF//CES.OF=CE,

所以四边形OCE尸为平行四边形，

故EF//OC,

在直棱柱ABC。一4避16。[中，平面A2CD,

因为OCu平面ABC。，所以。iC_LOC,

因为四边形ABCD是菱形，所以4C1BD,即。C1BD,

又DD[CBD=D,DRBDu平面BBi。1。，

所以。C_L平面BBi/D,

因为EF〃OC,

所以EF1平面BBiDiD；

（2）解:由（1）可知，OF//CE,

在直棱柱4BC。一中，CEABCD,故OF_L平面A8CZ）,

以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为菱形ABCD的边长为2,乙DAB=60°,

所以△48。与4CBD都是边长为2的正三角形，

所以°B=°C=1,。力="=8…讥6°°=2X*A

第16页，共20页

所以B(l,0,0),E(0,g,|),Ai(0,-K,3),Di(-l,0,3),

所以而=(-1,b,|),硕=(1,75,一遮)，西=(-2,0,3),

设平面41BE的一个法向量为沆=(x,y,z),

则牺•堂。，即产+何+|z=。

\.m'=0x+V3y-3z=0

令y=6，则x=9,z=4,故沆=(9,V5,4)，

设平面BED1的一个法向量为元=(a,b,c),

则伊•退=0,即卜a+例+|c=0,

1元•BDi=0[-2a+3c=0

令a=3,则b=0,c=2,故元=(3,0,2),

|?nn|_27+0+87尺

所以|cos<m,n>|=

|m||n|7100x71326

由图可知，二面角公一BE-久为锐二面角,

故二面角4一BE-4的余弦值为鬻.

【解析】(1)连结AC与8。交于点O,连结。凡利用中位线定理证明四边形OCE尸为

平行四边形，得到E/7/0C,然后利用线面垂直的判定定理证明0C1平面B81QD,从

而证明EF，平面8当。1。；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求

出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可.

本题考查了线面垂直的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时

候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究,

属于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意P&)=“废+”6个展+3点级=3

P(F)=1一岑=£,

1572s16

(2)①由题意可知：Q1=\当nN2时，

31

Qn=I(1-Qn-1)+2Qn-1，

JQn-g-；(Qn-1一|)，

所以｛Qn-勺是以:为首项，为公比的等比数列，

554

.•《/(-5尸+|，

②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购

买盲盒时，可以看作〃趋向无穷大，

所以购买甲系列的概率近似于|,假设用f表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则

f〜Bq。。,含2，

所以E(f)=100x|=40,即购买甲系列的人数的期望为40,

所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.

【解析】(1)由古典概型的概率公式可以直接解出；

(2)分析可知。〃是一个等比数列，用f表示一天中购买甲系列盲盒的人数，可知f服从二

项分布，即可计算出结果.

本题考查了统计与概率，等比数列，二项分布的应用，属于中档题.

21.【答案】解：(1)设F(c,0),由题意可得|FZ|=a,|FB|=a+c,

所以£=辿，a(a+c)=10+5应，