高等数学-微分中值定理与导数的应用习题课

微分中值定理与导数的应用习题课教学要求典型例题1一、教学要求1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数定理.的单调性和求极值的方法.微分中值定理与导数的应用习题课2

5.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.

6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.

4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).微分中值定理与导数的应用习题课31.微分中值定理及其相互关系

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值定理微分中值定理与导数的应用习题课42.微分中值定理的主要应用(1)

研究函数或导数的性态(3)

证明恒等式或不等式(4)

证明有关中值问题的结论(2)证明方程根的存在性微分中值定理与导数的应用习题课5利用一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有时也可考虑多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.多用罗尔定理,必须多次应用对导数用中值定理.微分中值定理与导数的应用习题课6(1)

研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率(2)

解决最值问题

目标函数的建立

最值的判别问题(3)其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.导数应用微分中值定理与导数的应用习题课7二、典型例题在内可导,且证明在内有界.证再取异于的点在以为端点的区间上用定数对任意即证.例取点拉氏定理,微分中值定理与导数的应用习题课)(xf8在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在问题转化为证设辅助函数用罗尔定理,使即有例证分析?微分中值定理与导数的应用习题课0)(2)(=+¢xxxff0)()(2)(2=¢+=¢xxxxxffF9在内可导,且试证存在使上连续,在例欲证f(x)在[a,b]上用故有即要证证又

f(x)及在[a,b]上用将(1)代入(2),化简得故有拉氏定理,柯西定理,(1)(2)微分中值定理与导数的应用习题课10例证

介值定理上分别用使得拉氏定理,(1)(2)微分中值定理与导数的应用习题课11由(1),有得(1)(2)由(2),有微分中值定理与导数的应用习题课12提示设路程函数为起始速度为0,即终止速度为0,即例证一阶泰勒公式证明:微分中值定理与导数的应用习题课13(1)(2)

相减微分中值定理与导数的应用习题课14记为所以,微分中值定理与导数的应用习题课15例分析构造辅助函数F(x),则问题转化为的零点存在问题.证设设

罗尔定理使得因此必定有微分中值定理与导数的应用习题课16且在上存在,并单调递减,证明对一切有证则所以当时,令得即所证不等式成立.设例设微分中值定理与导数的应用习题课17例解微分中值定理与导数的应用习题课18例证法一用单调性设即由证明不等式微分中值定理与导数的应用习题课19可知,即法二用拉格朗日定理设拉格朗日定理由得即微分中值定理与导数的应用习题课20例判断方程有几个实根,并指出各个根所在的区间.解(1)即设令得驻点唯一的驻点又所以,是最小值点,最小值为微分中值定理与导数的应用习题课21所以,所以,(2)自己证!微分中值定理与导数的应用习题课22例1994年考研数学二,9分解设又且且其图形必与x轴有一个交点.所以,微分中值定理与导数的应用习题课23微分中值定理与导数的应用习题课得令所以有极小值所以,令函数图形与x轴相切,函数图形与x轴无交点或有两个交点.又综上所述,或则24例解奇函数微分中值定理与导数的应用习题