医药高等数学

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院1/109第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数相关变化率的导数第五节函数的微分2023/10/11南京中医药大学信息技术学院2/109第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系2023/10/11南京中医药大学信息技术学院3/109一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2023/10/11南京中医药大学信息技术学院4/1092.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率2023/10/11南京中医药大学信息技术学院5/109两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题2023/10/11南京中医药大学信息技术学院6/109二、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.2023/10/11南京中医药大学信息技术学院7/109运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M

点处的切线斜率若上述极限不存在,在点不可导.就说函数的导数为无穷大.也称在注:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院8/109导函数的定义

如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值

则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数

简称导数

记作易见

求导数的步骤(1)求增量(2)算比值(3)求极限2023/10/11南京中医药大学信息技术学院9/109例1.

求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，2023/10/11南京中医药大学信息技术学院10/109例2.

求函数的导数.解:则即类似可证得2023/10/11南京中医药大学信息技术学院11/109解例3求函数的导数.即例4求函数的导数解即2023/10/11南京中医药大学信息技术学院12/109解例5即2023/10/11南京中医药大学信息技术学院13/109单侧导数1.左导数:2.右导数:函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.函数f(x)在开区间(a

b)内可导是指函数在区间内每一点可导

函数f(x)在闭区间[a

b]上可导是指函数f(x)在开区间(a

b)内可导

且在a点有右导数、在b点有左导数

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院14/109三、导数的几何意义1.几何意义切线方程为法线方程为2023/10/11南京中医药大学信息技术学院15/109

解

所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程

所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为

即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

,

例6.求等边双曲线在点处的切线的斜率2023/10/11南京中医药大学信息技术学院16/109例7.

问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线2023/10/11南京中医药大学信息技术学院17/109四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x

连续.注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即2023/10/11南京中医药大学信息技术学院18/109解例8讨论函数在x=0处不可导在x=0处的连续性和可导性2023/10/11南京中医药大学信息技术学院19/109内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;2023/10/11南京中医药大学信息技术学院20/109思考与练习1.

函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.

设存在,则3.

已知则2023/10/11南京中医药大学信息技术学院21/1094.

设,问a

取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.2023/10/11南京中医药大学信息技术学院22/109解:

因为5.

设存在,且求所以2023/10/11南京中医药大学信息技术学院23/109解:

因为6.

设存在,且求所以2023/10/11南京中医药大学信息技术学院24/109二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则§2.2

函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式2023/10/11南京中医药大学信息技术学院25/109一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且则2023/10/11南京中医药大学信息技术学院26/109此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设,则故结论成立.例如,返回2023/10/11南京中医药大学信息技术学院27/109(2)证:

设则有故结论成立.推论:(C为常数)返回2023/10/11南京中医药大学信息技术学院28/109

解

例1

例2

y=ex

(sinx+cosx)

求y

=2excosx

解

y

=(ex)

(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)

=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)求导法则

例4

y

secx

求y

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院29/109二、反函数的求导法则

定理2.y的某邻域内单调可导,证:在

x

处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此则2023/10/11南京中医药大学信息技术学院30/109

例6

求(arctanx)

及(arccotx)

解

因为y=arctanx是x=tany的反函数

所以

例5

求(arcsinx)

及(arccosx)

解

因为y=arcsinx是x=siny的反函数

所以反函数的求导法则:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院31/109在点x

可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导.复合函数且在点x

可导,证:在点

u可导,故（当时)故有则2023/10/11南京中医药大学信息技术学院32/109例如,关键:

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.2023/10/11南京中医药大学信息技术学院33/109

解

复合函数的求导法则:

例7

例8.

求下列导数:解:

(1)(2)2023/10/11南京中医药大学信息技术学院34/109

例9复合函数的求导法则:

例10

解

解

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院35/109四、基本求导法则与导数公式1.常数和基本初等函数的导数(P94)2023/10/11南京中医药大学信息技术学院36/1092.导数的四则运算法则(C为常数)4.复合函数求导法则3.反函数求导法则

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院37/109例11.求解:由于例12.设解:求2023/10/11南京中医药大学信息技术学院38/109例13.求解:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院39/109例14.

设求解:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院40/109例15.

若存在,求的导数.这两个记号含义不同练习:

设解:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院41/109思考与练习1.

设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,2023/10/11南京中医药大学信息技术学院42/1092.

求下列函数的导数解:(1)(2)或2023/10/11南京中医药大学信息技术学院43/1093.

设求解:方法1

利用导数定义.方法2

利用求导公式.2023/10/11南京中医药大学信息技术学院44/109二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念§2.3

高阶导数2023/10/11南京中医药大学信息技术学院45/109一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动2023/10/11南京中医药大学信息技术学院46/109定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称2023/10/11南京中医药大学信息技术学院47/109所以y3y

1

0

证明

例1

证明:

函数22xxy-=满足关系式013=+¢¢yy.

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院48/109设存在，求下列函数的二阶导数解:（1）例2.（1）（2）（2）2023/10/11南京中医药大学信息技术学院49/109设求解:依次类推,例3.思考:

设问可得2023/10/11南京中医药大学信息技术学院50/109例4.

设求解:特别有:解:规定0!=1例5.设求2023/10/11南京中医药大学信息技术学院51/109例6.

设求解:一般地,类似可证:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院52/109例7.

设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数2023/10/11南京中医药大学信息技术学院53/109二、高阶导数的运算法则都有n

阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数2023/10/11南京中医药大学信息技术学院54/109用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.2023/10/11南京中医药大学信息技术学院55/109例8.求解:

设则代入莱布尼兹公式,得2023/10/11南京中医药大学信息技术学院56/109(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,2023/10/11南京中医药大学信息技术学院57/109例9.

如何求下列函数的

n

阶导数?解:解:(3)解:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院58/109二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数

§2.4隐函数和参数方程求导

三、相关变化率2023/10/11南京中医药大学信息技术学院59/109一、隐函数的导数显函数与隐函数

形如y

f(x)的函数称为显函数

例如

y

sinx

y

lnx

ex

都是显函数

由方程F(x

y)

0所确的函数称为隐函数

把一个隐函数化成显函数

叫做隐函数的显化

例如

方程x

y3

1

0确定的隐函数为

隐函数的求导法

把方程两边分别对x求导数

然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.2023/10/11南京中医药大学信息技术学院60/109

例1

求由方程ey

xy

e

0所确定的隐函数y的导数

(ey)

(xy)

(e)

(0)

即ey

y

y+xy

0

方程中每一项对x求导得解

例2

求由方程y5

2y

x

3x7

0所确定的隐函数y

f(x)在

x

0处的导数y

|x

0

因为当x

0时

从原方程得y

0

所以5y4

y

2y

1

21x6

0

方程两边分别对x求导数得解

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院61/109例3.

求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即2023/10/11南京中医药大学信息技术学院62/109

解

上式两边再对x求导

得的二阶导数

例4

方程两边对x求导

得2023/10/11南京中医药大学信息技术学院63/109y

f(x)

[lnf(x)]

对数求导法适用于求幂指函数y

[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

此方法是先在y

f(x)的两边取对数

然后用隐函数求导法求出y的导数

设y

f(x)

两边取对数

得lny

lnf(x)

两边对x

求导

得对数求导法2023/10/11南京中医药大学信息技术学院64/109

例5

求y

xsinx

(x>0)的导数

解法二

这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.

解法一

上式两边对x

求导

得两边取对数

得lny

sinx

lnx

y

xsinx

esinx·lnx

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院65/109上式两边对x求导

得说明

严格来说

本题应分x

4

x

1

2

x

3三种情况讨论

但结果都是一样的

例6

先在两边取对数

得

解

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院66/109

设x

j(t)具有反函数t

j-1(x)

且t

j-1(x)与y

y(t)构成复合函数y

y[j-1(x)]

若x

j(t)和y

y(t)都可导

则二、由参数方程所确定的函数的导数

设y与x的函数关系是由参数方程îíì==)()(tytxyj确定的.

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院67/109

解

所求切线的斜率为abdxdyt-==4p.

例7.

求椭圆îíì==tbytaxsincos在相应于4

p=t点处的切线方程.

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院68/109

再求速度的方向

设a是切线的倾角

则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻t的运动速度的大小为

x

(t)=v1

y

(t)=v2-gt

求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向

例8

抛射体运动轨迹的参数方程为

速度的水平分量与铅直分量分别为先求速度的大小

解

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院69/109讨论:

已知x

j(t),y

y(t)

如何求y对x的二阶导数y

?例9.

设求例10.

设,且求解:解:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院70/109的函数y

f(x)的二阶导数

解

(t

2np

n为整数)

例11．计算由摆线的参数方程îíì-=-=)cos1()sin(tayttax所确定

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院71/109

三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率2023/10/11南京中医药大学信息技术学院72/109例12.

一气球从离开观察员500m

处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:

设气球上升t

分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,2023/10/11南京中医药大学信息技术学院73/109二、微分的几何意义一、微分的概念

§2.5函数的微分

三、微分的运算法则四、微分在近似计算中的应用2023/10/11南京中医药大学信息技术学院74/109一、微分的概念

引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其2023/10/11南京中医药大学信息技术学院75/109的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,2023/10/11南京中医药大学信息技术学院76/109定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即2023/10/11南京中医药大学信息技术学院77/109定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则2023/10/11南京中医药大学信息技术学院78/109注:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当2023/10/11南京中医药大学信息技术学院79/109

例1

求函数y

x2在x

1和x

3处的微分

dy

(x2)

|x

1Dx

2Dx

函数y

x2在x

3处的微分为

dy

(x2)

|x

3Dx

6Dx

例2

求函数y

x3当x

2

Dx

0

02时的微分

y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=f

(x0)Dx

解

函数y

x2在x

1处的微分为

解

先求函数在任意点x

的微分

dy

(x3)

Dx

3x2Dx

再求函数当x

2

Dx

0

02时的微分

dy|x=2,Dx=0.02=3

22

0.02=0.24

=3x2|x=2,Dx=0.022023/10/11南京中医药大学信息技术学院80/109

当|Dx|很小时

|Dy

dy|比|Dx|小得多

因此

在点M的邻近

我们可以用切线段来近似代替曲线段

Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0

f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.

当x从x0变到x0+Dx时

二、微分的几何意义则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记2023/10/11南京中医药大学信息技术学院81/109d(xm)

mxm

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

ax

lnadx

d(e

x)

exdx

(xm)

mxm

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

ax

lna

(e

x)

ex微分公式:

导数公式:

1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则2023/10/11南京中医药大学信息技术学院82/109微分公式:

导数公式:

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院83/1092、微分的四则运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变3.复合函数的微分则复合函数2023/10/11南京中医药大学信息技术学院84/109

在求复合函数的导数时

可以不写出中间变量

例3

y

sin(2x

1)

求dy

2cos(2x

1)dx

cos(2x

1)

2dx

cos(2x

1)d(2x

1)dy

d(sinu)

cosudu

若y

f(u)

u

j(x)

则dy

f

(u)du

解

把2x

1看成中间变量u

则

例4

解

2023/10/11南京中医药大学信息技术学院85/109例5.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例6.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.2023/10/11南京中医药大学信息技术学院86/109四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算

当很小时,使用原则:得近似等式:2023/10/11南京中医药大学信息技术学院87/109特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得2023/10/11南京中医药大学信息技术学院88/109的近似值.解:

设取则例7.求的近似值.解:例8.计算2023/10/11南京中医药大学信息技术学院89/109例9.有一批半径为1cm的球

,为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,2023/10/11南京中医药大学信息技术学院90/1092.误差估计

某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量

A的绝对误差限称为测量

A的相对误差限2023/10/11南京中医药大学信息技术学院91/109误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算

y

值时的误差故y

的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,2023/10/11南京中医药大学信息技术学院92/109例10.

设测得圆钢截面的直径测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算