中考数学真题专项汇编解析-圆与正多边形

中考数学真题专项汇编解析—圆与正多边形一．选择题12022浙江嘉兴中考真题如图，⊙O中⊙C＝130°，点A在BAC上则⊙BAC的度数为〔 〕5°

B．65° C．75° D．130°【分析】利用圆周角直接可得答案．BAC 1 BOC 65, 应选【详解】解： ⊙BOC＝130°，点ABAC 1 BOC 65, 应选2“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解此题的关键．22022山东滨州中考真题〕OAB,CD，假设A48,APD80，则B的大小为〔 〕A．32 B．42 C．52 D．62A【分析】依据三角形的外角的性质可得CAAPD，求得C32，再依据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】CAAPDA48APD80，C32BC32应选：A．的关键．32022江苏连云港中考真题〕2911点的位置作一条线段，则钟面中阴影局部的面积为〔〕A．23 2

33333

C．423

D．433333B边三角形的面积即可．OCOD⊙ABD，⊙⊙AOB=2×360=60°，12⊙⊙OAB是等边三角形，⊙⊙AOD=⊙BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=1AB=1，2AO2AO2AD2

3，⊙602212

3，应选：B．33360 2 33边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．42022湖北武汉中考真题ABCDAD∥BCA9，AD9cm，AB20cm，BC24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是〔 〕13

8cm C．6 2cm D．10cmB此圆的面积最大，据此求解即可．BACDE，当这个圆为⊙BCE圆时，此圆的面积最大，□AD∥BC，⊙BAD=90°，⊙⊙EAD⊙⊙EBC，⊙B=90°，□EA

AD EA 9，即 ，EB BCEA12cm，⊙，EB2EB2BC2

EA20 2440cm，OEB，BC，ECF，G，H，⊙OF=OG=OH，S =S S S ，△EBC △EOB △COB △EOC1EBBC1EBOF1BCOG1ECOH，2 2 2 2□2432=243240OF，⊙OF8cm，确作出关心线是解题的关键．52022湖北宜昌中考真题〕ABCDO，连接OBOD，BD，假设C110，则OBD〔 〕5

B．20 C．25 D．30O，【分析】依据圆内接四边形的性质求出A，依据圆周角定理可得BOD，再依据OBODO，【详解】⊙四边形ABCD内接于⊙A=180BCD=70 ，，BOD2A140 ，⊙OBOD⊙OBDODB180BOD202ABC互补是解题的关键．ABC62022四川德阳中考真题〕E是ABCAE的延长线和D，与BC相交于点G，则以下结论：⊙BADCAD；⊙假设BAC60假设点G为BCBDDE中肯定正确的个数是〔 〕

C．3 D．4E是ABCBADCAD⊙BE，CE，⊙CB〔⊙EE，从而得到⊙EE°，进而得到⊙BEC=120°，故⊙正确；BADCADBDCD，再由点G为BC的中点，则BGD90成立，故⊙E是ABC可得BED1BACABC，再由圆周角定理可得DBE1BACABC，从2 2⊙正确；即可求解．【详解】解：⊙E是ABC的内心，⊙BADCAD，故⊙BE，CE，⊙E是ABC⊙⊙E是ABC⊙⊙BAC=60°，⊙⊙ABC+⊙ACB=120°，⊙⊙CBE+⊙BCE=60°，⊙⊙BEC=120°，故⊙正确；⊙E是ABC的内心，⊙BADCAD，BDCD,⊙点G为BC的中点，⊙ADO，⊙BGD90成立，故⊙正确；⊙E是ABC的内心，⊙BADCAD1BACABECBE2⊙⊙BED=⊙BAD+⊙ABE，⊙BED1BACABC，2

1ABC，2⊙⊙CBD=⊙CAD，⊙⊙DBE=⊙CBE+⊙CBD=⊙CBE+⊙CAD，⊙DBE1BACABC，⊙⊙DBE=⊙BED，BDDE，故⊙2⊙4个．应选：D关键．72022湖南株洲中考真题如下图，等边ABC的顶点A在OAB、AC与ODEF是劣弧DEDEDF、EF，则DFE的度数为〔 〕A．115

B．118 C．120 D．125【分析】依据等边三角形的性质可得A60，再依据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．【详解】解： ABC是等边三角形，A60，DFE180A120C．四边形的对角互补是解题的关键．82022甘肃武威中考真题大自然中有很多小动物都是小数学家1，蜜蜂的蜂巢构造格外精巧、有用而且节约材料，多名学者通过观测争论觉察：蜂2FAD8mmABCDEF的边长为〔〕2mm

2 2mm C．2 3mm D．4mmCFADO，易证⊙COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=12

CFADO，⊙ABCDEF为正六边形，⊙⊙COD= 3606

=60°，CO=DO，AO=DO=12

AD=4mm，ABCDEF4mm，应选：D．边长的关系是解题的关键．92022湖南邵阳中考真题〕⊙O是等边⊙C，则⊙O的半径是〔 〕32323

5323CADCD，如图，利用等边三角形的性质得到⊙B=60°30度的直角三角形边的关系求解．ADCD，如图，⊙⊙ABC为等边三角形，⊙⊙B=60°，⊙AD为直径，⊙⊙ACD=90°，⊙⊙D=⊙B=60°，则 ， 1 ，⊙DAC=30°

⊙CD= AD2313即AD2=( AD)2+32，⊙AD=2 ，3231⊙OA=OB= 2

．应选：C．30度的直角三角形三边的关系．1〔2022四川眉山中考真题〕如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PAPB分别相切于点AB，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，假设OAB28，则APB的度数为〔 〕A．28

B．50 C．56 D．62可求出⊙APB．【详解】连接OB，⊙OA=OB，⊙⊙OAB=⊙OBA=28°，⊙⊙AOB=124°，⊙OA⊙PA，OP⊙AB，⊙⊙OAP+⊙OBP=180°，⊙⊙APB+⊙AOB=180°；⊙⊙APB=56°．应选：C决问题．1〔2022浙江湖州中考真题〕1的网格图形中，每ABCD中，M，NAB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2P是这个网格图形中的格点，A．42B．6C．210D．35A．42B．6C．210D．35CM、N作以点OPOM距离最大的点即可求出．MNQMNOQOQ12

MNO为圆心，OM为半径作圆，如图，OQMNOQ12

⊙⊙OMQ=⊙ONQ=45°，⊙⊙MON=90°，PO上，PMO的弦，P在P位置时，恰好过格点且PMO，所以此时PMO的直径，⊙BM＝4，BN＝2，22425□MN224255⊙MQ=OQ= ，5510⊙OM= 2MQ 2 ，51010□PM2OM210

，应选C．上最大的弦，会敏捷用圆心角和弦作圆是解题的关键．1〔2022四川遂宁中考真题〕7c24c，则它侧面开放图的面积是〔 〕5πcm23

2D．350πcm2C72242AC72242【详解】解：在Rt△AOCAC

25cm，⊙12725175cm2．应选：C2弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．1〔2022陕西中考真题ABC内接于O,C46OAOAB〔 〕A．44

B．45 C．54 D．672⊙C⊙BB即可求出⊙．【详解】连接OB，如图，⊙⊙C=46°，⊙⊙AOB=2⊙C=92°，⊙⊙OAB+⊙OBA=180°-92°=88°，⊙OA=OB，⊙⊙OAB=⊙OBA，⊙⊙OAB=⊙OBA=2

A．【点睛】此题主要考察了圆周角定理，依据圆周角定理的出⊙AOB=2⊙C=92°解答此题的关键．1〔2022浙江宁波中考真题〕圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为〔 〕3cm2

24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2S

rl；侧【详解】S

rl4624cm2，应选．B侧B1〔2022甘肃武威中考真题〕如图，一条大路〔大路的宽度无视不计〕的转弯处是一段圆弧〔AB，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA90m，圆心角AOB80，则这段弯路〔AB〕的长度为〔 〕

30m C．40m 50m【分析】依据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路〔AB〕的长度．⊙AOB=80°，这段弯路〔AB〕809040(m)C180【点睛】此题考察了弧长的计算，解答此题的关键是明确弧长计算公式l

1801〔2022浙江温州中考真题如图，AB,AC是O的两条弦ODAB于点，OEAC于点E，连结OB，OC．假设DOE130，则BOC的度数为〔 〕

B．100 C．105 D．130【分析】依据四边形的内角和等于360°计算可得⊙BAC=50°得到⊙BOC=2⊙BAC，进而可以得到答案．⊙⊙ADO=90°，⊙AEO=90°，⊙⊙DOE=130°，⊙⊙BAC=360°-90°-90°-130°=50°，⊙⊙BOC=2⊙BAC=100°，应选：B．ABC相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．ABC1〔2022山东泰安中考真题I为的ABCAI并延长交ID5时，IE的长为〔 〕A．5

B．4.5 C．4 D．3.5IDIE是的中位线即可解决问题．IDMDM=IDCM．⊙I是⊙ABC的内心，⊙⊙IAC=⊙IAB，⊙ICA=⊙ICB，⊙⊙DIC=⊙IAC+⊙ICA，⊙DCI=⊙BCD+⊙ICB，⊙⊙DIC=⊙DCI，⊙DI=DC=DM，⊙⊙ICM=90°，IM2 ICIM2 IC2

=8，⊙AI=2CD=10，⊙AI=IM，⊙AE=EC，⊙IE是⊙ACM的中位线，⊙IE=12

C．形中位线解决问题．1〔2022浙江丽水中考真题〕某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．矩形的宽为2m，高为2 3m，则改建后门洞的圆弧长是〔 〕5πm

8πm

10πm

D．5π+2m3 3 3 3 3 【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得COD是等边三角形，得到COD60，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为36060300，利用弧长公式即可求解．ADBC，交于O点，⊙BDC90 ，BC是直径，CD2BDCD2BD2

32⊙ABDC是矩形，⊙OCOD

1BC2，2⊙CD2，⊙OCODCD，COD是等边三角形，□COD60，⊙门洞的圆弧所对的圆心角为36060300 ，3001BC 300 1 4⊙改建后门洞的圆弧长是 2

2

10(m)，180 180 3C化为数学模型是解题的关键．A．B．6C．3D．231〔2022四川成都中考真题〕如图，正六边形ABCDEF内接于⊙OA．B．6C．3D．2333COB，OC，由⊙O6π，可得⊙O的半径，又由圆的内多边形的性质，即可求得答案．OB，OC，6π，⊙⊙O的半径为：3，⊙⊙BOC

16

360°＝60°，⊙OB＝OC，⊙⊙OBC是等边三角形，⊙BC＝OB＝3，ABCDEF3，应选：C．想的应用．2〔2022四川凉山中考真题〕1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，扇形的圆心角⊙BAC＝90°，则扇形部件的面积为〔 〕12

141

18

1216CBCBC是OBC1米，ABAC

米，然后利用扇形的面积公式即可得．222【详解】解：如图，连接BC，2BAC90，BC是O的直径，BC1米，又ACB45，2ABACBCsinABC2

〔米，2 则扇形部件的面积为90( 2)22 360 8

〔，应选：C．把握圆周角定理和扇形的面积公式是解题关键．二．填空题2〔2022江苏宿迁中考真题〕如图，在正六边形FB6，点M在Mll被正六边形所截的线段长是．7【答案】47MOOPS四边形ABCO

SS

, 由正六边形是中心对S,SDOH S, OMAOMCHO称图形可得：S S,SDOH S, OMAOMCHO的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接AD，CFOMOCDHO作OP⊙AFP，S四边形ABCOS,S,SDOH S, OMAOMCHO

,S四边形DEFOS

OH,⊙MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，AFO 60, ABAFO 60, AB

6,AB AF OF OA AB AF OF OA 6,AP FP 3,OP62 OP62 32 33,AM 2, 则MP1,OMOM3322 7,MH MH 2OM 4 7.故答案为：4 7.“正六边形既是轴对称图形也”是解此题的关键．2〔2022湖南衡阳中考真题〕如图，用一个半径为6m的定滑轮拉动重物上120，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升 〔结果保存〕【答案】4120°所对应的弧长，然后依据弧长公式计算即可．【详解】解：依据题意，重物的高度为1206〔．1804．．

nR〔ln，圆的半1802〔2022浙江杭州中考真题〕O为圆心，BC在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙OD处〔A重合B，D，DBD，则⊙B= 度；BC的值等于 ．AD【答案】36【答案】363 5⊙OO⊙OB⊙CEO⊙⊙BEC，由相像三角CEBE=CCBaa〔aE=EO CE51a⊙E⊙⊙BCEC2⊙AD=DE，⊙⊙DAE=⊙DEA，⊙C，⊙E，⊙⊙BEC=⊙BCE，CO⊙⊙OO，⊙C，⊙⊙OCB=⊙B，设⊙ECO=⊙OCB=⊙B=x，⊙⊙BCE=⊙ECO+⊙BCO=2x，

AD AE⊙⊙CEB=2x，⊙⊙BEC+⊙BCE+⊙B=180°，⊙x+2x+2x=180°，⊙x=36°，⊙⊙B=36°；⊙⊙ECO=⊙B，⊙CEO=⊙CEB，⊙⊙CEO⊙⊙BEC，□CEBE，EO CE⊙CE2=EO•BE，⊙2〔a，解得= 51a〔负值舍去，2⊙OE= 51a，2⊙Ea-

51a=3 5a，2 2⊙⊙AED=⊙BEC，⊙DAE=⊙BCE，⊙E⊙，⊙

EC，BC a

AD 3 5

3 5□AD 3 2

2 ．故答案为：36， ．2的判定与性质是解题的关键．2〔2022浙江湖州中考真题B是⊙O⊙＝120°C⊙，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．假设⊙APD是AD所对的圆周角，则的度数是 ．【答案】30°##30度定理可得⊙APD12

⊙AOD=30°．【详解】⊙OC⊙AB，OD为直径，□BD AD，⊙⊙AOB=⊙BOD，⊙⊙AOB=120°，⊙⊙AOD=60°，⊙=2

⊙AOD=30°，30°．关键．2〔2022云南中考真题30cm10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．【答案】120n30nπ2π10，进展解180答即可得．【详解】解：设这种圆锥的侧面开放图的圆心角度数为n°，30nπ2π10 n120故答案为：120．180式．2〔2022浙江宁波中考真题〕如图，在⊙C中，C，C，点O在为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当⊙ACD为直角三角形时，AD的长为 ．3 6【答案】或2 5【分析】依据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．OA，⊙DO点重合时，⊙CAD90°，设圆的半径=r，⊙OA=r，OC=4-r，3⊙AC=4，在Rt⊙AOC中，依据勾股定理可得：r2+4=〔4-r〕2，解得：r= ，即32AD=AO=3；2AAD⊙BCD，1 1 AO AC 3 5 6□ AO•AC= OC•AD，⊙AD= ，⊙AO= ，⊙AD= ，2 2 OC 2 2 5的长为或，故答案为：或．综上所述，AD 3 6 3 6的长为或，故答案为：或．2 5 2 5此题的关键．2〔2022四川自贡中考真题〕一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．26O进而求出半径．ODAB，⊙BC=10O的半OB=rOC=r-2，Rt⊙BOCOC2+BC2=OB2，⊙〔r-2〕2+102=r2r=26．故答案为：26．决问题的关键．2〔2022浙江温州中考真题〕12，半径为3，则它的弧长2为 ．π【分析】依据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．

3，半径为，2⊙

2,180故答案为：【点睛】此题考察弧长的计算，解答此题的关键是明确弧长的计算公式lnr.1802〔2022疆中考真题〕O2C都在O上，假设．则AC的长为 〔结果用含有的式子表示〕2【答案】3AOC【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到AOC60，再利用弧长公AOC

2B，B30，AOC60，AC60222．180 3 3180的关键．33〔2022四川泸州中考真题如图在Rt△ABC中C9AC6BC2 ，3O1的O在Rt△ABC〔O可以与该三角形的边相切A到O上的点的距离的最大值为 ．【答案】271OM析设直线AO交 在O点右边当O【答案】271OMAM即为点A到O上的点的最大距离．OM解设直线AO交 〔M在O点右边则点A到OOMAM的长度⊙C90，AC6，BC⊙C90，AC6，BC2 33□tanBAC3BC⊙B60

，AB 4AC2BC23OAC2BC23⊙OBD1B302O1⊙ODOM13BD 3OD33ADABDB33AD2ODAD2OD2

2(33)21277AMOA(33)212777⊙点A到O上的点的距离的最大值为7

1．确定点A到O上的点的最大距离的图形．3〔2022浙江嘉兴中考真题〕如图，在廓形AOB中，点CDAB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OBE，F．AOB120，OA6EF的【答案】60°##60度4 6度数为 ；折痕CD【答案】60°##60度4 6OCDMD、E、F、BM为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．ON=MN、MF、MO，MOCDN⊙将CD沿弦CD折叠、E、F、BM6的圆上⊙将CD沿弦CD折叠后恰好与OAOBE，F．⊙ME⊙OA，MF⊙OB⊙MEOMFO90□AOB120⊙MEOF中EMF360AOBMEOMFO60即EF60°；⊙MEOMFO90，MEMFMEOMFO〔HL〕⊙EMOFMO1FME3023⊙OM ME 6 43cosEMO cos303MN236⊙MO⊙DC6DM2MNDM2MN262(2 3)26⊙CD46

2 1CD26故答案为：60°46折叠的性质作出关心线是解题的关键．三．解答题3〔2022四川成都中考真题〕如图，在Rt△ABCACB9，以BC为直径作O，交AB边于点D，在CDE，使BECD，连接DE，作射线AB边于点F．(1)AACF；(2)AC8cosACF

4，求BF及DE的长．5(1)见解析DE4225依据Rt△ABC，得到依据BECD，得到⊙B=⊙BCF，推出⊙A=⊙ACF；2

AB，依据cosACFcosAAC4，AC=8AB=10BF=5，依据AB 5AB2AB2AC2BC

6，得到sinA

CDBC是⊙O的直径，得AB 5到⊙BDC=90°，推出⊙B+⊙BCD=90°，推出⊙A=⊙BCD，得到sinBCD

BD3，BC 5推出BD18，得到DFBFBD7，依据⊙FDE=⊙BCE，⊙B=⊙BCE，得到5 5⊙FDE=⊙BDE⊙BC，得到⊙FDE⊙⊙FBC

DFDE42．BC BF 25(1)解：Rt△ABCACB90，⊙⊙A+⊙B=⊙ACF+⊙BCF=90°，□BECD，⊙⊙B=⊙BCF，⊙F；(2)⊙F，⊙⊙⊙AF=CF，BF=CF，⊙AF=BF=2

AB，⊙cosACFcosAAC4，AC=8，AB 5⊙AB=10，⊙BF=5，AB2AC2□BCAB2AC2⊙sinABC3，AB 5CD，⊙BC是⊙O的直径，⊙⊙BDC=90°，⊙⊙B+⊙BCD=90°，⊙⊙A=⊙BCD，⊙sinBCD□BD18，5

BD3，BC 5□DFBFBD7，5⊙⊙FDE=⊙BCE，⊙B=⊙BCE，⊙⊙FDE=⊙B，⊙DE⊙BC，⊙⊙FDE⊙⊙FBC，DEDF，BC BF□DE42．25【点睛】此题主要考察了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相像三角形，解决O相O相3〔2022山东滨州中考真题〕COA与(1)PD是O的切线；(2)AM2OMPMAPD经过OB且(1)PD是O的切线；(2)AM2OMPM(1)见解析(2)见解析OB90°即可证明；〔2〕PA与OA，得到OAP90，依据余角的性质得到OAMAPM继而证明OAM APM依据相像三角形的性质即可得到结论．OAOBOC，OABOBA,OBCOCB，AC为O的直径，ABCOBAOBC，CBDCABCBDOBACBD，CBDOBC90OBD， PD是O的切线；与OAP90，⊙PD是O的切线，AMOAMPOAP90，OAMPAMPAMAPM90，OAMAPM，OAMAPM，AM OM ，PM AMAM2OMPM．等腰三角形的性质，娴熟把握学问点是解题的关键．3〔2022四川泸州中考真题CABOCD平分ACBO于点交 D，交AB于点E，过点D作O的切线交CO的延长线于点FO于点(1)FDAB；(1)FDAB；(2)AC25，BC5，求FD的长．8【分析平分ADBDCMOD

OM，代入可求．FDOD，如图，⊙CD平分⊙ACB，ADBD，⊙⊙AOD=⊙BOD=90°，⊙DF是⊙O的切线，⊙⊙ODF=90°⊙⊙ODF=⊙BOD，⊙DF⊙AB．CCM⊙ABM，如图，⊙AB是直径，⊙⊙ACB=90°，AC2 BC2AC2 BC2(2 5)2 ( 5)25．CM 1ACCM 1ACBC，221 51 5CM2122 5 5，⊙CM=2，BC2 BC2 CM2( 5)2 221，⊙OM=OB-BM=1 5 1 3，2 2⊙DF⊙AB，⊙⊙OFD=⊙COM，又⊙⊙ODF=⊙CMO=90°，⊙⊙DOF⊙⊙MCO，CMODOMCMODOM，FD2532FD，即2⊙FD=15．8【点睛】此题考察了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，用相像三角形的性质求解．3〔2022四川南充中考真题〕如图，ABO的直径，点CO上一点，点D是OBCDBAC，连接OD交BCE．(1)CD是O的切线．(2)假设CEOA,sinBAC4，求tanCEO的值．5(1)见解析；(2)3⊙ACB=90°OA=OC推出⊙BCD=⊙ACO，即可得到⊙BCD+⊙OCB=90°，由此得到结论；C⊙CBF

1F为⊙C的中位线，CF OAOFEF，即可求出tanCEO的值．OC，AB为OAB为O的直径，⊙⊙ACO+⊙OCB=90°，⊙OA=OC，⊙⊙A=⊙ACO,⊙BCDBAC，⊙⊙BCD=⊙ACO，⊙⊙BCD+⊙OCB=90°，⊙OC⊙CD，CD是O的切线．OOF⊙BCF，⊙CEOA,sinBAC4，5⊙BE=BC-CE=1.5x，⊙⊙C=90°，AB2AB2BC2

3x，⊙OA=OB，OF⊙AC，BFOB

1，CF OA⊙CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，⊙OF为⊙ABC的中位线，⊙OF=1AC1.5x，2tanCEO=OF

1.5x

3．EF 0.5x中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出关心线是解题的关键．3〔2022江苏扬州中考真题〕如图，ABO的弦，OCOAAB于点P，交过点B的直线于点C，且CBCP．5(1)试推断直线BC与O的位置关系，并说明理由；(2)假设sinA ,OA8，求CB55的长．(1)相切，证明见详解(2)6〔1〕OB，依据等腰三角形的性质得出AOBA，CPBCBP，从而求出AOCOBC90，再依据切线的判定得出结论；〔2〕分别作OMABABMONABABN，依据sinA

,OA8555ABBP的长，然后在等CPBCB即可．OB，如下图：CPCB，OAOB，AOBA，CPBCBP，，APOCBP，OCOA，即∠AOP90，AAPO90OBACBPOBC，OBBC，OBO，直线BC与O的位置关系是相切．分别作OMABABMONABABN，如下图：AMBM，CPCB，AOCO，AAPOPCNCPN，PNBN，PCNBCNAPCNBCNsinA55，sinA55OMsinA

OP ，5OA AP 555OM8 5，AM16 ，55 532 5AB2AM ，32 556 5PNBN1PB1(ABAP)1(32 54 5)6 52 2 2 5 5sinAsinBCNCB 5BN 5

BN ，5CB 556 5566 55角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．3〔2022江苏宿迁中考真题〕1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．AB、CD，相交于点P并给出局部说理过程，请你补充完整：E，构建两个直角三角形，分别是⊙ABC和⊙CDE．Rt⊙ABCtanBAC12中，，所以tanBACtanDCE．所以BACDCE．由于⊙ACP ⊙DCE =⊙=90°，所以⊙ACP +⊙BAC =90°，所以⊙APC 即AB⊙CD．【拓展应用】如图⊙是以格点OAB直尺，在BMP，使PMAM，写出作法，并给出证明：⊙是以格点OABPAM2AP·AB，写出作法，不用证明．【答案】(1)tanDCE1；见解析(2)见解析2〔1〕BMQOQ交BMPP即为所求作，利MO=BO，再利用等腰三角形的性质即可证明；IMIABPP即为所求作．利用正切函数证得证明结论．E，构建两个直角三角形，分别是⊙ABC和⊙CDE．Rt⊙ABCtanBAC12Rt⊙CDEtanDCE1，2所以tanBACtanDCE．所以BACDCE．由于⊙ACP ⊙DCE =⊙=90°，所以⊙ACP +⊙BAC =90°，所以⊙APC 即AB⊙CD．1tanDCE2；BMQOQ交BMPP即为所求作；证明：在⊙OGM和⊙OHB中，OG=OH=1，⊙OGM=⊙OHB=90°，MG=BH=3，⊙⊙OGM⊙⊙OHB，⊙MO=BO，QBM的中点，⊙OQ平分⊙MOB，即⊙POM=⊙POB，PM=AM；P即为所求作；ANBM、MN，1在Rt⊙FMI中，tanFMI ，31在Rt⊙MNA中，tanMNA ，3所以tanFMItanMNA．⊙⊙FMI=⊙MNA，⊙⊙B=⊙MNA，⊙⊙AMP=⊙B，⊙⊙PAM=⊙MAB，⊙⊙PAM⊙⊙MAB，PA

AM，⊙AM2=AP·AB．AM AB-应用与设计，相像三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等学问，解题的关键是理解题意，敏捷运用所学学问解决问题．3〔2022四川乐山中考真题〕C为⊙OD、E在CDDEDDF⊙ACFCEDFG．⊙O6，sinACE3ACB，使BC4．求证：BD是5⊙O的切线．(1)见解析(2)见解析1D⊙C°⊙C再由CDDE，可推出⊙DCE=⊙FDCCG=DG；BD是⊙OOD⊙BDBD⊙CE，通过计sin⊙B3，即可证明结论．5AD，⊙AC为⊙O的直径，⊙⊙ADC=90°，则⊙ADF+⊙FDC=90°，⊙DF⊙AC，⊙⊙AFD=90°，则⊙ADF+⊙DAF=90°，⊙⊙FDC=⊙DAF，⊙CD=DE，⊙⊙DCE=⊙DAC，⊙⊙DCE=⊙FDC，⊙CG=DG；ODODCEH，⊙CD=DE，⊙OD⊙EC，⊙DF⊙AC，⊙⊙ODF=⊙OCH=⊙ACE，⊙sinACE3，5⊙sin⊙ODF=sin⊙OCH3

OH=3，185

5 OD OC 5DF24，5FC=OC-OF=12，5⊙FB=FC+BC=32，5DB40=8，5⊙=

24=3DF 5 5，BD 8⊙⊙B=⊙ACE，⊙BD⊙CE，⊙OD⊙EC，⊙OD⊙BD，⊙OD是半径，⊙BD是⊙O的切线．圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．3〔2022天津中考真题〕ABOAB6，CO上一点，连接CACB．2如图CABCABAC的长；(2)如图AC2,为O的半径，且ODCBED作OAC的延长线相F，求FD的长．22【答案】(1)CAB45AC32

FD2〔1〕由圆周角定理得ACB90CAB的中点，得ACBC，从而ACBC，即可求得CABAC的长度；〔2〕证明四边形ECFD为矩形，FD=CE=可得出答案．AB为O的直径，⊙ACB90，CABACBC，ACBC，得ABCCAB，在Rt ABC中，ABCCAB90，⊙CAB45；AC2BC2AB2，AB6，得2AC236，

1CBBC的长，即22□AC3 ；2FD是O的切线，ODFD，即ODF90，ODCBE，⊙CED90,CE1CB，2同〔1〕可得ACB90，有FCE90，⊙FCECEDODF90，⊙四边形ECFD为矩形，FDCE，于是FD1CB，2AB2AC2在Rt ABC中，由AB6,AC2AB2AC2

4 ，22□FD2 ．22合的思想解答此题．4〔2022江苏宿迁中考真题〕如图，在ABC中⊙ABC ，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于点D．AC与O的位置关系，并说明理由；AB4，求图中阴影局部的面积．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析〔1〕利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明ABAC, 可得结论；AOM 2ABC 90,〔2〕BC与OAOM 2ABC 90,BOM 90, BOM的AOM的面积即可．证明： ⊙ABC =45°，ABAC，ACBACBABC 45,AC,BAC90, 即AC,AA在O上，AC为O的切线．BC与OMOM，，AOM 2AOM 2ABC 90, BOM 90,AB4，OA2，SS1ABAC2124 4 8，S1222 2，ABCBOM9029022360，扇形AOMSS阴影826．“切线的判定方法与割补法求解不规章图形面积的方法”是解此题的关键．4〔2022浙江湖州中考真题〕t⊙CC9，DBDOACO作OFBC，F．(1)OFEC；(2)假设A30BD2AD的长．(1)见解析(2)1〔1〕OEOFCE是矩形，再依据矩形的性质证明OFEC即可〔2〔1可知OE1BD1，2“30°角所对的直角边是斜边的一般”的性质，可推导AO2OE2ADAODOAD的长即可．OE，OE，⊙OE⊙AC，⊙OF⊙BC，C90，⊙⊙OEC＝⊙OFC＝⊙C＝90°．OFCE是矩形，⊙＝C；(2)⊙BD22

12

21，⊙A30，OE⊙AC，□AO2OE212，□ADAODO211．30°角的直角三角形性质等学问，正确作出关心线并敏捷运用相关性质是解题关键．4〔2022山东泰安中考真题〔1在ABCBDCE分别是ABC与BCA的平分线．⊙假设A60ABAC，如图，试证明BCCDBE；⊙将⊙中的条件“ABAC”⊙并说明理由．迁移运用〔2〕ABCD是圆的内接四边形，且ACB2ACD，CAD2CABADBCAC之间的等量关系，并证明．〔1〕⊙见解析；⊙〔2〕ACADBC，见解析1⊙证明ABCDBCCDBE；⊙在BC上截取BGBE，依据角平分线的性质，证明△EBF≌△GBF，△DFC≌△GFC，从而得到答案；〔2〕BACE证明2360，从而得到M60，再依据AE、DC分别是MAC、MCAACADBC．【详解】〔1〕⊙ A60，ABAC，ABACBC．又BD、CE分别是ABC、BCA的平分线．D、EACAB的中点．1 1 1 1BE AB BC，CD AC BC．2 2 2 2BCBECD．⊙结论成立，理由如下：设BD与CEF，由条件，得1234．又A60ABCBCA120．131ABCBCA60．2BFC120．⊙5660．在BC上截取BGBE．由⊙BF=BF，⊙△EBF≌△GBF．7660860．85．⊙△DFC≌△GFC．DCGCBCBGGCBECD．〔2〕ACADBC，理由如下：⊙ABCD是圆内接四边形，⊙DABBCD180．⊙ACB2ACD，CAD2CAB⊙DAC21，BCA22，⊙3132180．⊙1260．BACE，连结CEEACEAD的延长线交于点MAE与CDF，⊙13，BCCE．⊙2360．□2223120⊙MACMCA120⊙M60⊙AE、DC分别是MAC、MCA由⊙ACADBC．关学问．4〔2022云南中考真题DD为直径的⊙，P⊙O的劣狐CCC至DC⊙．DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；PAPC

ABCDPAPC

2是否成立？2PD PD请证明你的结论．【答案】(1)DE是⊙O的切线，证明见解析；(2)成立，证明见解析⊙BCD=⊙BDE=90°DE是⊙O的切线；2APCA+再推出⊙PQD是等腰直角三角形，即可证明结论成立．解：DE是⊙O的切线；理由如下：⊙BD²=BC⊙BE，BDBE，BC BD⊙⊙CBD=⊙DBE，⊙⊙BDC⊙⊙BED，⊙⊙BCD=⊙BDE，⊙BD为⊙O的直径，⊙⊙BCD=90°，⊙⊙BDE=90°，⊙DE是⊙O的切线；22PD

成立，理由如下：ABCD是正方形，⊙AD=CD，⊙ADC=90°，APCD是圆内接四边形，⊙⊙PAD+⊙PCD=180°，⊙⊙QAD+⊙PAD=180°，⊙⊙QAD=⊙PCD，⊙⊙QAD⊙⊙PCD(SAS)，⊙⊙QDA=⊙PDC，QD=PD，⊙⊙QDA+⊙PDA=⊙PDC+⊙PDA=90°，⊙⊙PQD是等腰直角三角形，2⊙PQ=2

PD，22PAPC22PD

成立．质并准确识图是解题的关键．4〔2022陕西中考真题如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，ACCD是O的弦，且CDABE，连接BDAMP．CABAPB；假设O的半径r5,AC8，求线段PD的长．【答案】(1)见解析(2)323〔1〕AM是O的切线，得出BAM90．依据CDAB，可证AM CDCDBAPBCABCDB即可；〔2〕ADCDBADC90．可证AB2AD2ADCC．得出ADAC8．依据勾股定理BDAB2AD2△ADB∽△PAB．求出PB

AB210050即可．BD 6 3证明：AM是O的切线，⊙BAM90．⊙CDAB⊙CEA90，CDCD．⊙CDBAPB．⊙CABCDB，⊙CABAPB．AD．AB为直径，⊙⊙ADB=90°，⊙CDBADC90．⊙CABC90,CDBCAB，ADCC．ADAC8．□AB2r10，AB2AD2□BDAB2AD2⊙⊙BAP=⊙BDA=90°，⊙ABD=⊙PBA，⊙△ADB∽△PAB．ABBD．PB ABPB

AB210050．BD 6 3□DP50632．3 3同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相像判定与性质是解题关键．4〔2022湖南衡阳中考真题〕如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O切线CD交BA的延长线与点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．(1)直线BE与O相切吗？并说明理由；(2)假设CA2CD4，求DE的长．【答案】(1)相切，见解析(2)DE6〔1〕ODCODE90，再证ODE≌OBE，得到OBEODE90，即可求出答案；〔2〕设半径为r；则：r242(2r)2CBE中，利用勾股定理BC2BE2CE2，求解即可．(1)〔1〕证明：连接OD．CD为O⊙ODCODE90又CD为O⊙DAOEOB，ADOEOD，且ADODAO，⊙EODEOB，在ODE与△OBE中； ODOBEODEOB， OEOEOBE，⊙OBEODE90，⊙直线BE与O相切．(2)设半径为rr242(2r)2，得r3；在直角三角形CBEBC2BE2CE2，(233)2DE2(4DE)2，解得DE64〔2022湖南株洲中考真题〕如下图，ABC的顶点A、B在O上，顶点C在OAC与O相交于点D，BAC45OB、ODODBC．BC是O的切线；假设线段ODABE，连接BD．⊙求证：ABD∽DBE；⊙ABBE6，求O的半径的长度．(1)见解析3(2)⊙见解析；⊙3依据圆周角定理可得⊙BOD=2⊙BAC=90°OD⊙BC，可得CB⊙OB，即可求证；ABD∽DBE，可得BD2ABBE，即BD26，再由勾股定理，即可求解．(1)证明⊙⊙⊙BAC=45°，⊙⊙BOD=2⊙BAC=90°，⊙OD⊙OB，⊙OD⊙BC，⊙CB⊙OB，⊙OB为半径，⊙直线BC是O的切线；(2)解：⊙⊙⊙BAC=45°，⊙⊙BOD=2⊙BAC=90°，OB=OD，⊙⊙ODB=45°，⊙⊙BAC=⊙ODB，ABD∽DBE；⊙⊙ABD∽DBE；ABD∽ABD∽DBE，⊙BD

BD，⊙BD2 AB BE， □ABBE6，⊙BD26，⊙OD2OB22OB2BD2，⊙OB23，3OB 3或3

〔舍去．即⊙O的半径的长为3．是解题的关键．4〔2022湖南怀化中考真题〕如图，点ACD在⊙OAB＝CD．求证：(1)AC＝BD；(2)⊙ABE⊙⊙DCE．(1)见解析(2)见解析等证明即可；〔2〕依据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相像．□AB＝CD⊙ABAD＝CDADBADADC⊙BD=AC□□B=⊙C；⊙AEB=⊙DEC⊙⊙ABE⊙⊙DCE【点睛】此题考察等弧所对弦相等、所对圆周角相等，把握这些是此题关键．4〔2022江西中考真题〔1OA