2022年福建省龙岩市上杭县实验中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年福建省龙岩市上杭县实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域

上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则

参考答案：C略2.已知已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为（

）A.2

B.

C.

D.参考答案：A3.已知约束条件为，若目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，则k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞）参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值即可求得k的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（8，10），化目标函数z=kx+y为y=﹣kx+z，∵目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，∴﹣k＞2，则k＜﹣2．∴k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．故选：C．4.设集合A=,B=,那么“mA”是“mB”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2

【答案解析】A

解析：由，可得x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得0≤x＜1，∴A=[0，1）．∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．故选：A．【思路点拨】由，可得x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得A=[0，1），即可得出．5.复数=

A．2i

B．-2i

C．2

D．-2参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4

【答案解析】A

解析：复数==2i．故选A．【思路点拨】通过通分，分母实数化，多项式展开求解即可．6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题不正确的是（

）

A.若//则

B.若则

C.若则

D.则参考答案：A略9.函数y=的值域是（

）A．（-∞，）∪（，+∞）

B．（-∞，）∪（，+∞）C．R

D．（-∞，）∪（，+∞）参考答案：B10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为(

)A. B. C. D.或参考答案：A【分析】设,结合，求出坐标，利用，消去，进而可得结果.【详解】如图设,又，,三点共线,,即,,,,故选A.【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中的系数为___________（用数字作答）。参考答案：答案：－960解析：展开式中的项为，的系数为－960。12.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣6x+2x，则f（f（﹣1））=．参考答案：﹣8【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）=﹣f（1），进而可得f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣6x+2x，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（﹣6+2）=4，∴f（f（﹣1））=f（4）=﹣24+16=﹣8，故答案为：﹣8【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度中档．13.若直线的切线，则实数m的值为

.参考答案：-e14.已知空间直角坐标系o﹣xyz中的点A的坐标为（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件是．参考答案：x+y+z=3【考点】空间中的点的坐标；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；【解答】解：因为OA⊥α，所以OA⊥AP，P（x，y，z）．=（1，1，1），由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．点P的坐标满足的条件是：x+y+z=3．故答案为：x+y+z=3．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力，转化思想，空间两点距离公式的应用．15.甲、乙两位同学参加2014年的自主招生考试，下火车后两人共同提起一个行李包（如图所示）.设他们所用的力分别为,行李包所受重力为，若，则与的夹角的大小为____________.参考答案：由力的平衡可知，，两边平方，可得，由条件得，故与的夹角的大小为.（或利用向量加法的平行四边形法则来求）16.已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线对称，则f（x）的对称中心坐标是

．参考答案：考点：正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先将函数y=sin2x+mcos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案．解答： 解：由题意知y=sin2x+mcos2x=sin（2x+φ），当x=时函数y=sin2x+mcos2x取到最值±，将x=代入可得：sin（2×）+mcos（2×）==±，解得m=1．故函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），由2x+=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，其对称中心为，故答案为．点评：本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，属于中档题．17.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交点的横坐标是-，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosa=

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：（其中f′（x）是f（x）的导函数）．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）通过求导得到函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m≤2lnx﹣x2，利用导数求出g（x）=2lnx﹣x2在上的最大值得答案；（2）由f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，把两根代入方程后作差得到，求得，然后令换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于0得答案．【解答】（1）解：由，得切线的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max．令g（x）=2lnx﹣x2，则，∵x∈，故g′（x）=0时，x=1．当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=﹣1，∴m≤﹣1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则，两式相减得，又，则，要证，即证明，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明在0＜t＜1上恒成立，∵，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知．故，即成立．19.已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．参考答案：【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P的方程为+=．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知圆：内有一点，过点作直线交圆于A、B两点．(1)

当经过圆心时，求直线的方程；(2)

当弦AB被点P平分时，写出直线的方程；(3)当直线的倾斜角为45o时，求弦AB的长．参考答案：（1）已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为，即．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，

直线l的方程为，即．（3）当直线l的倾斜角为45o时，斜率为1，直线l的方程为，即，圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．21.（本小题满分12分）已知数列满足，，且，。(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．参考答案：解：（1），∴。

(2）由（1）知是以为首项，为公差的等差数列，∴，。，，∴，∴。22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，当时，对任意，存在，使，证明：.参考答案：(1)见解析；(2)见证明【分析】（1）求导，讨论与的大小关系得单调区间；(2)当时，由（1）得