2022年福建省泉州市南安金淘中学高三数学理测试题含解析

2022年福建省泉州市南安金淘中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是(

) A．p或q B．p且q C．q D．￢p参考答案：B考点：复合命题的真假．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答： 解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y；∴命题p是假命题；x2+y2≥2xy，这是基本不等式；∴命题q是真命题；∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题；∴是假命题的是B．故选B．点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．2.函数在上为减函数，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知“”是“函数在区间上只有一个零点”的充分不必要条件，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.是等差数列前项和.且.则=(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.在数列中，，且，，若数列满足，则数列是A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列

参考答案：C略6.直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A． B． C．4 D．3参考答案：A【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，故弦AB=2=，故选A．7.已知非零向量、满足，.设与的夹角为，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【详解】由题意知，，故选A．8.已知集合，，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由题，所以，故选D.考点：交集的运算9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与平面A1BC1所成角的正弦值为A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.设则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足不等式组，则的最小值为

．参考答案：3可行域如图所示的三角形区域，设，而的几何体意义表示动直线在轴上的截距，由图知，当过可行域内的点时，取得最小值，故答案为.

12.

：与整数的差为的数；：整数的．若，则(包含关系)．所以是的

条件．

参考答案：,充分非必要条件13.已知函数的图象过原点，且在处的切线的倾斜角均为，现有以下三个命题：

①；

②的极值点有且只有一个；

③的最大值与最小值之和为零。其中真命题的序号是

。

参考答案：略14.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为

．参考答案：3考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 计算题．分析： 由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．解答： 解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题15.设圆C位于抛物线与直线所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为

▲

.参考答案：-116.如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于

．参考答案：略17.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则

.参考答案：或先做出不等式对应的区域，阴影部分。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所以有或直线与垂直，所以，综上或。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列满足首项为，，．设

，数列满足．

（Ⅰ）求证：数列成等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和．参考答案：19.如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：连接AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆，证明∠FGE=∠BAF=∠EFG，即可证明EF=EG；（Ⅱ）求出EG，EH，即可求GH的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，∴∠FGE=∠BAF∴∠FGE=∠EFG，∴EF=EG…（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH﹣EG=8﹣4…【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．20.（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知(n∈N*)．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：当x>0时，（III）令，数列的前项和为．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，.参考答案：（1）由，得（）………2分两式相减，得，即（）于是，所以数列是公差为1的等差数列…………..….3分又，所以.

所以，故.

…….5分（2）令，则，7分∴在时单调递增，，即当时，….9分（3）因为，则当n≥2时，.

…11分下面证令，由（2）可得，所以，，……，以上个式相加，即有∴

…………………14分21.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知且关于的不等式的解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）直接解绝对值不等式，得出解集与已知解集对比可求的值；（Ⅱ）由，利用基本不等式或柯西不等式或转化成二次函数相关问题即可求的最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，不等式可化为，…1分∴，即，………………3分∵其解集为，∴，.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式）∵，…8分∴，∴的最小值为.…………10分（方法二：利用柯西不等式）22.（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料（点，在直径上，点，在半圆周上），并将其卷成一个以为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？参考答案：（1）如图，设圆心为O，连结，设，法一

易得，，所以矩形的面积为

（）（当且仅当，（）时等号成立），此时；

法二

设，；则，，所以矩形的面积为，