2022年湖北省荆门市东桥中学高三数学理测试题含解析

2022年湖北省荆门市东桥中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点处的切线的斜率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A.522 B.324 C.535 D.578参考答案：D【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可．【详解】第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），则满足条件的6个编号为，，，，，则第6个编号为本题正确选项：【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．3.已知是定义在上的奇函数,且,当函数(其中)的零点个数取得最大值时,则实数的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C

考点：函数的零点和函数的图象的运用．【易错点晴】数形结合是高考命题中最受青睐的数学思想,也解答函数问题的法宝,本题设置的目的是考查数形结合的数学思想和分析问题解决问题的能力以及运算求解能力.本题在解答时充分借助题设条件,先将函数的图象画出来,再画出过定点的动直线,然后运用数形结合的数学思想,将动直线进行旋转,找出极限点的位置时的斜率,从而使问题简捷获解.4.设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知命题“（?p）∨（?q）”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p∧q”是真命题；

②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；

④命题“p∨q”是假命题．其中正确的结论为(

) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④参考答案：A考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：利用互为逆否命题真假相反，可知①正确；利用命题“（?p）∨（?q）”是假命题，可知p，q必有一个真命题，故可知③正确．解答： 解：命题“（?p）∨（?q）”的逆否命题是“p∧q”，故可知①正确；命题“（?p）∨（?q）”是假命题，则p，q必有一个真命题，故可知③正确，故选A．点评：充分理解“或”和“非”及充要条件的判断本题较容易6.已知函数，若，则实数的取值范围是（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C7.已知集合，集合，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．9.若与在区间1，2上都是减函数，则的取值范围是（）A．(0，1)

B．(0，1C．(-1,0）∪(0，1)

D．(-1，0)∪(0，1参考答案：B10.在△ABC中，“A＞60°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】充要条件；正弦函数的单调性．【分析】结合三角形的内角范围及三角函数的性质，我们判断出“A＞60°”?“”与“”?“A＞60°”的真假，再结合充要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：若“A＞60°”成立，则A可能大于120°，此时“”不一定成立，即“A＞60°”?“”为假命题；在△ABC中，若“”，则60°＜A＜120°，即“A＞60°”一定成立，即“”?“A＞60°”为真命题；故“A＞60°”是“”的必要而不充分条件故选B【点评】本题考查的知识是充要条件及正弦函数的单调性，其中判断出“A＞60°”?“”与“”?“A＞60°”的真假，是解答本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数零点的个数为

.参考答案：412.设函数

。参考答案：13.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

；参考答案：14.函数的图像在点处的切线方程为▲.

参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11

解析：；故；故函数的图象在点处的切线方程为：；即；故答案为：．【思路点拨】由题意求导，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程．15.若二项式展开式中项的系数是7，则=

▲

．参考答案：二项展开式的通项为，令得，，所以，所以的系数为，所以。所以。16.已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是

.参考答案：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故答案为：．

17.已知在圆上存在相异两点关于直线对称，则实数的值为__________.参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，交圆于两点，切圆于，为上一点，且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.（1）求证：为圆的直径；（2）若，求证：.参考答案：【知识点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．菁N1

【答案解析】（1）见解析（2）见解析解析：（1）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，∴∠NDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（2）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．【思路点拨】（1）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（2）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．19.已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，∵A+B+C=π，∴A=；

（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc?cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc?cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，整理得：bc=4，则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.给定椭圆C：+=1（a＞b＞0）．称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，c=，a=，则b2=a2﹣c2=1，从而得到椭圆方程和其“准圆”方程；（2）讨论当P在直线x=上时，显然不垂直；当P不在直线x=上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于k的方程，求出两根之积，判断是否为﹣1，即可判断l1，l2垂直．解答： 解：（1）由题意可得，c=，=a=，则b2=a2﹣c2=1，则椭圆C的方程为+y2=1．其“准圆”方程为x2+y2=4．（2）①设P（±，±1），则过P的直线l1：x=±，则l2的斜率k≠0，即它们不垂直；②设P（m，n）（m≠±），m2+n2=4，过P的直线为y﹣n=k（x﹣m），联立椭圆方程，消去y，得到（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3=0，由于直线与椭圆C都只有一个交点，则△=0，即36k2（n﹣km）2﹣4（1+3k2）?3=0，化简得，（3﹣m2）k2+2kmn+1﹣n2=0，k1k2===﹣1．即l1，l2垂直．综上，当P在直线x=上时，l1，l2不垂直；当P不在直线x=上时，l1，l2垂直．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两直线的位置关系，直线和椭圆的位置关系，方法是联立直线和圆椭圆方程，利用整理后的一元二次方程的判别式求解．此题属中档题．21.已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；游客数量（单位：百人）[0，100）[100，200）[200，300）[300，400]天数a1041频率b（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．（Ⅱ）利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优”的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．【解答】解：（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，故a=15，b=，…游客人数的平均数为=120（百人）．…（Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，…其中游客等级均为“优”的有（1，4），（1，5），（4，5），共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为．…22.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：年龄[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65]支持“延迟退休”人数5101021（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

45岁以下45岁以上合计支持

不支持

合计

（Ⅱ）若从年龄在[45，55），[55，65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考数据：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=．参考答案：【考点】独立性检验的应用；频率分布直方