2021年湖北省黄冈市梅县松源中学高三数学理联考试卷含解析

2021年湖北省黄冈市梅县松源中学高三数学理联考试卷含解【分析】

析先根据函数是奇函数求出"的值，再根据切线与直线垂直得到b的值，即得a+b的值.

【详解】因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）,所以"=5.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

由题得,㈤=31+b+4,-/=/*（3）=b+31

是一个符合题目要求的

jr=ix+3

I.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶

因为切线与直线6垂直，所以b+31=・6,

点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i

所以b=-37.

（i=h2,…6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋

所以a+b=-32.

子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）

故选：A

A.22种B.24科1C.25

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

种D.36种

平和分析推理能力.

11

4.设数列｛&,｝的前r1项和为S,“点（n,n）（n£N*）均在函数y=2x+2的图象上，贝ija刈,=

()

参考答案:

A.2014B.2013C.1012D.1011

C参考答案：

略

A

[a,a<b,

a\盘11s*11

2.定义也，。之5己知。=3°3,占=0.寸，9=则=———二一忽+—

试题分析：•・•点（n,«）（nGN-）均在函数y=2x+2的图象上，所以M22,即

A.aB.bC.c

D.不能确定22,

5X20142+X2014X2013,

参考答案：“2014=^014-2013=^1-1-|X2013=2014

C考点：数列与函数的综合运用，以及等差数列的通项公式和等差关系的确定

略

3,已知函数/（域二炉十怯一分/^3+饮：若函数凡0是奇函数，且曲线了二人力在点G/C））的切

A.周期为n的奇函数B.周期为n的偶函数

1〃

y=-x+3,

线与直线6垂直，则a+8=（）C.周期为2兀的奇函数D.周期为2丸的偶函数

A.-32B.-20C.25D.42

参考答案:

参考答案：

B

A

考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性.【解答】解：当5名学生分成2,2,1或3,1,1两种形式，

1

专题：计算题.当5名学生分成2,2,1时，共有无工独上90种结果，

TT当5名学生分成3,1,1时，共有C；A；=60种结果，

v=2sin(2xH---)

分析：利用诱导公式化简函数丫2,然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项.・•・根据分类计数原理知共有90+60-150

故选：C

解答：解：因为：尸公皿⑵+亍)=2COS2X,【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题.

K37T3元

所以函数是偶函数，周期为：n8.已知cos(2+a)=5,贝！|a£(2,2),则sin2a=()

24162412

故选B.A.-25B.-25C.25D.25

参考答案:

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题.

C

6.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为。的等差数列若电=8,且【考点】三角函数的化简求值.

，，的，多成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()【分析】利用三角函数的诱导公式求出sina的值，然后由a的范围，利用同角三角函数间的基本

关系求出cosa的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，将sina和cosa的值代入

A.1312B.13,13c.12,13D,13,14

即可求出答案.

K3_

参考答案：【解答】解：由cos(2+a)--sina-5,

3冗3兀

B得到sina--5,又a£(2,2),

略gn,

cosa二

7.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学

1(_lx24

至少保送一人的不同保送的方法数为()种.则sin2a=2sinacosa=2X(-5)X5=25.

故选：C.

A.240B.180C.150D.540

【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关

参考答案：系的应用，是一道基础题.

C9.计算：»0+02=()

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】排列组合.A.-2B.2C.2iD.-2i

1

【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2,2,1时，共有无工再工当5参考答案:

名学生分成3,1,1时，共有根据分类计数原理得到结果A

10.将y=Inx的图象绕坐标原点0逆时针旋转角9后第一次与y轴相切，则角3满足的条件是⑷若?xSR,了+2A+2W0,则fp:?xCR,V+2A+2>0.

A.esin^=cos^B.sin^=ecos^C.esin^=lD.ecos^=l

参考答案：

参考答案：

①@@

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分略

11.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(°」)，此时圆上一点?13.已知logzx+log2y=1,则x+y的最小值为.

的位置在(°，°),圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2J)时，3?的坐标为参考答案：

2^2

【考点】基本不等式：对数的运算性质.

【分析】Bhlog2x+log2y=l,得出xy=2,且x>0,y>0：由基本不等式求出x+y的最小值.

【解答】解：；logax+log2y=1,

logs(xy)=1,

参考答案:

/.xy=2,其中x>0,y>0；

(2-sin2,1-cos2).*.x+y>2Vxy=2V2,当且仅当x=y=旧时，"="成立；

・•・x+y的最小值为班.

故答案为：

14.如左下图所示，是某校高三年级文科60名同学参加谋科考试所得成绩(分数均为整数)整理后得

出的频率分布直方图，根据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为.

筑率用I却

因为圆心移动的距离为2,所以劣弧2=2,即圆心角N产C4=2,

0.030

TTJT7[

Z.PCA=2——PB=sin(2——)=—cos2CB=cos(2――)=sin20.025

则2,所以2,2,所以0.020

0.015

4=2-CB=2-sin2,y=14-=1-cos2所以。户=(2-sin2,1-cos2)。

f0.010

0.005

12.下列命题中，错误命题的序号有o°405060708090100'…

参考答案：

(1)ua=-r是“函数/'(*)=/+|尹>1|(XWR)为偶函数”的必要条件;

45

略

(2)“直线£垂直平面a内无数条直线”是“直线Z垂直平面a”的充分条件:15.过点尸Q，2)且与圆/+V?=4相切的直线方程是

参考答案：

(3)已知瓦&方为非零向量，则“万万=不三”是“3=5”的充要条件;

x+y-2=0

16.已知数列的前-项和用=/第尢项满足5<线<8,则上的值为

参考答案:

将所有平面向量组成的集合记作我\/是从炉到&2的映射，记作>=/5）或

8

（力心）=/（和出）,其中刃用,九%都是实数.定义映射/的模为：在H"的条件下口的最

17.若aABC的内角A,B,C满足6sinA=4sin8=3sinC,则cos8=.

大值，记做若存在非零向量屋炉，及实数/使得//=意，则称/为了的一个特征值.

参考答案：

11⑴若/（再，马）=（；和通），求||北

16

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（2）如果/（Xl，&）=（Xi+X2,Xi-X2）,计算/的特征值，并求相应的总

18.（本题满分10分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为

（3）若/（G，勺）=（向勺+即心，优勺+外心），要使/有唯一的特征值，实数即”瓦也应满足

5组制出频率分布直方图如图所示.

什么条件？试找出一个映射了,满足以下两个条件：①有唯一的特征值4,②|/|=其并验证

aor

组别成缰人致集率了满足这两个条件.

1[75,«0)50.050.06

2[80,85)35

0.35参考答案：

3即90)■b

4[90»95)Cdao222122

必+>2=一演+々2,21

5「95.100]100.10.01Lrn解：（I）由于此时4，又因为是在K+&=1的条件下，有

(i)求

a,b,c,d：71+%=口+&=W,1<x2=±1时取最大值），所以此时有川=1.

（2）该校决定在成绩较好的3,4,5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽

多少名学生？..............4分

参考答案：

（2）由/（占，为）=Qi+热，勺一不）=4（占，电）,

解：(1)由题意知b=0.06X5-0.3，

a=100X0.3=30,再+叼—

d=l-0.05-0.35—0.3—0.1=0.2,c=100X0.2=20.｛/一后二死，解此方程组可得：（2-DM+D=1,从而2=±a。

RO

(2)三个组共60人,所以第3组应抽6X^=3人,

再+弓=应再

第4组应抽6X^=2人，第5组应抽6X^=1人.｛=d此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多

19.（本小题满分14分）个解，为X=M（0+U）（写出一个即可），其中掰且mwO。

当4=一应时，同理可得，相应的x=m。-、便1）（写出一个即可），

其中weK且mwO......9分函数Mx)在(0,1)单调递减，在。，*>。)单调递增

故/8Mg)=1-6

依：：2：-；：=为5-4可)+刀式卬-身-4)=0

(3)解方程组曲演+与&-疝2a的最大值为

(III)由(I)得，当以=T时,/(X)在(O,+00)递增,则/(0)=°

从而向量3-瓦瓦)与(卬-4-%)平行，从而有所外,瓦也应满足：

故对炳c0J«)>0,则/一l>x

3-&尸+4a2瓦-0。故对Vx>O,g(x)=ln(e*-l)-lnx>0

分析可知：要证n>O，g(x)<x

当/6)=应时，1/有唯一的特征值，且川=网。具体证明为：

只需证Vx>O」n(e'-l)-lnx<x

由’的定义可知：对任意的x=®，J)有:/(%,&)=(疝I,羽)=距”电)，所以2为特征值。即证Vx>O,ln(e'-l)-lnx<x

此时的=2的=。，瓦=。,为=N。即证Vx>O,xe*-e*+1>0

构造函数耳。)二.一/+1,则*&)=/>0

满足：(ai-&J+4a协=0,所以有唯一的特征值。

故函数"CO在(。，田)递增，H(x)>H(0)=0

在射+刀：=1的条件下(祸)2+(3)2=/,从而有川=冈。..........14分故Vx>O,g(x)<x

1当a“，由(I)可知/(x)在(°，田)递增，则/(g(x))</(x)在(0,m)恒成立；

20.已知函数/(x)=d+ax-l(ae&).

2当a<0,由(I)可知/。)在Qn(-a),4<»)递增,在(fg))递减

(I)求函数73)的单调区间：

i当-lWa<0,/(x)在(0,*»)递增，符合题意；

(II)若函数在定义域内存在零点，求a的最大值；

ii当av-L由(I)可知/(x)在Qn(-a),4co)递增，在(fg))递减

(III)若gW=ln(/-l)-lnx当xe(0,+8)时，不等式「软功</8)恒成立，求a的取随

T当0<x<ln(-a)时，由0<g(x)<x<ln(-a)得/(g(x))>/(x),不合题意

范围.

综合得：a2-1

参考答案：

(I)/'(x)=e"+a略

(1)当a±°,增区间为(-8,*。)21.(本小题满分12分)

(2)当a<0,增区间为Qn(-a),*n),减区间为(-8,ln(-a))

/y2

J+4=l(a>6>0)

_b-£如图，椭圆C,/b1的离心率为，其左焦点到点尸(2,1)的距离为.不过原

(II)函数F(x)=xlnx-/(x)的定义域为(0,+8),由F(x)=O得n'+匚一

点。的直线/与C相交于4,5两点，且线段被直线0P平分.

Mx)=lnx+—(x>0)Y(X)"T"),

设x,则一

因为M在直线OP上，所以=.得6=0(舍去)或4=一.

此时方程①为3^2—3〃d+加一3=0,则

4=3(12一加)>0,所以八用一旧一词=・・

设点P到直线的距离为d,则d==.

⑴求椭圆C的方程；(2)求AAB尸面积取最大值时直线/的方程.

设AA8尸的面积为S,则S=|A"M=・.

参考答案：

解：(1)设椭圆左焦点为尸(一。,0),则由题意得