2021年湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高考数学联考试卷

2021年湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高考数学联考试

卷（4月份）

一、单项选择题（每小题5分）.

1.命题“VxeR,的否定为（）

A.VxCR,x2>0B.V.rGR,^<0C.S.rGR,x2》。D.B.tGR,fVO

2.已知集合4={1,2},集合8={O,2},设集合C—｛z\z-xy,x&A,y&B｝,则下列结论

中正确的是（）

A.Anc=0B.AUC=CC.Bnc=8D.AUB=C

3.数列｛斯｝是各项均为正数的等比数列，3a2是43与2出的等差中项，则｛m｝的公比等于

（）

A.2B.C.3D.72

4.已知〃?，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A.若a_LB，机ua,〃u°,则直线机与〃一定平行

B.若w_La,n±p,a_L0,则直线，”与〃可能相交、平行或异面

C.若，〃J_a,l//a,则直线，“与〃一定垂直

D.若"?ua,”u0,a〃0,则直线，〃与“一定平行

5.已知向量二3满足|口=1,（L-2）,且|；+1|=2,则cosC：E>=（）

A.B.C.豆D.

5555

6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“反osA-c<0"是“△ABC为

锐角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周,

令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高〃，

计算其体积V的近似公式用该术可求得圆率n的近似值.现用该术求得TT

36

的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27,则该圆

锥体积的近似值为（）

A.遂B.3C.3yD.9

8.已知实数mb满足。=k）g34+k）g]29,5"+12a=13、则下列判断正确的是（）

A.a>b>2B.b>a>2C.2>b>aD.a>2>b

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设Z1,Z2是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若|zi-Z2|=0,则Z]=Z2

B.若zi=Z2，则Z]=Z2

C.若|Z]|=|Z2|,则Z]・Z[=Z2・Z2

D.若|Z1|=|Z2|,则Z]2=Z22

10.已知函数，（x）=2siaxcosx-2«cos2x+J§,则下列结论中正确的是（）

A.f（X）的对称中心的坐标是6r0）（依Z）

JT

B.7（x）的图象是由y=2sin2i的图象向右移丁个单位得到的

6

TT

c./（x）在[-石，0]上单调递减

D.函数g（x）=/（x）+«在[0,10]内共有7个零点

11.如图，点M是棱长为1的正方体中的侧面AOQiA上的一个动点（包

含边界），则下列结论正确的是（）

A.存在无数个点M满足CMLAA

B.当点M在棱0A上运动时，的最小值为«+1

C.在线段A2上存在点使异面直线囱M与CD所成的角是30°

D.满足|AW|=2|M5|的点M的轨迹是一段圆弧

12.已知抛物线x2=2>，点M（3-1）,/Gly,1J,过何作抛物线的两条切线AM,MB,

其中A,B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P,则下列结论正确的有（)

A.点尸的坐标为(0,1)

B.OAVOB

C.的面积的最大值为3y

D.愕卜的取值范围是［2,2+731

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.写出一个存在极值的奇函数/(x)=.

14.二项式(岛-5)6的展开式中，常数项为.

2222

15.己知椭圆Ci：¥座万=1与双曲线C2：^--^-=1(/»>0,〃>0)有相同的焦点

ab4IR/n

且两曲线在第一象限的交点为P，若PFzLFR,且a=2b,则双曲线C2的离心率

为.

16.已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形

状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相

同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第〃+1次从与第〃次取出的球颜色相

同的箱子内取出一球，然后再放回去.则第4次取出的球是红球的概率

为.

四、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.已知a,b,c分别为AABC内角A,B,C的对边，且上N■工

ca+b

(I)求B的值；

(H)若b=2&,求△48C的面积的最大值.

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S”s=4,S„=^an+i+2.

(I)证明：数列｛£-2｝为等比数列，并求出S,；

(II)求数列｛」-｝的前〃项和

an

jr

19.如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是菱形，ZBAD=—,M是棱PB上的点，O

是AO中点，且P。，底面ABC。，OP=^OA.

(I)求证：BC1OM；

9

(II)若PM=^PB,求二面角B-OM-C的余弦值.

p

20.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和

小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失

败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概

9

率都是多

（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；

（2）若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布

列及期望.

22

21.已知椭圆C的方程为三三=1（心匕＞0）,P（1,在椭圆上，离心率e=4,

az-22

左、右焦点分别为尸卜F2.

（I）求椭圆C的方程；

（II）直线＞="（4＞0）与椭圆C交于A,B两点，连接AQ,并延长交椭圆C于

D、E两点，连接。E,求酶的值.

k

22.已知函数/（x）=siru+e

（I）求函数/（X）在［卓，2冗］的最大值；

（II）证明：函数g（X）--^-x+2e'x-f（x）在（0,2ir）有两个极值点x”X2,并判断

xi+X2与2n的大小关系.

参考答案

一、单项选择题（共8小题）.

1.命题“VxeR,N20”的否定为（）

A.VxCR,B.VxeR,/<0C.SAGR,心0D.3AGR,/<0

解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“V€R,炉20"的否定是A6R,

0.

故选：D.

2.已知集合4={1,2},集合8={0,2},设集合C={Z[Z=A>:xeA,yEB},则下列结论

中正确的是（）

A.AnC=0B.AUC=CC.BC\C=BD.AUB=C

解：..工={1,2],8={0,2}；

.,.C={0,2,4）；

:.BCC=B.

故选：C.

3.数列{斯}是各项均为正数的等比数列，3s是“3与2a4的等差中项，则{&}的公比等于

（）

A.2B.1-C.3D.A/2

解：设正数等比数列{%}的公比为

因为3。2是〃3与2〃4的等差中项，

23

所以6a2=〃3+2。4,即6a\q=a\q+2a\qf

所以2/+q-6=0,解得夕=^■或g=-2（舍）.

故选：B.

4.已知〃z,〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A.若a_L0,mua,〃u0,则直线相与〃一定平行

B.若机_La,n±p,a±p,则直线机与〃可能相交、平行或异面

C.若机_La,/〃a,则直线〃?与鹿一定垂直

D.若mua,〃u0,a〃d则直线相与〃一定平行

解：，小〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，

对于A,若a_L0,〃?ua,nep,则直线相与〃相交、平行或异面，故A错误;

对于B,若n±p,a±p,则由线面垂直、面面垂直的性质得直线，”与〃垂直，

故8错误；

对于C,若机_La,l//a,则由线面垂直、线面平行的性质得直线〃?与〃一定垂直，故C

正确；

对于。，若mua,nep,a〃B，则直线，〃与”平行或异面，故。错误.

故选：C.

5.已知向量之，芯满足|』=1,b=(1，-2),且心+力=2,则cose：3>=()

2代R遥「西D2我

5555

解：根据题意，b=<1--2),则忘=加，

若1；+3=2，则QE)2=:+官+2之亏=6+2倔osV：4>=4，

变形可得cosV』翁=-咯

5

故选：B.

6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“氏osA-c<0”是“△ABC为

锐角三角形”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解:在ZkABC中，bcosA-c<0,则sinBeosA-sinC<0,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsinB>sinBcosA,

则有sinAcosB>0,

因为sinA>0,

所以cos8>0,故角8为锐角，

当8为锐角时，△ABC不一定是锐角三角形，

当aABC为锐角三角形时，8为锐角，

故"仇:osA-cV0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.

故选：B.

7.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，

令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高力，

计算其体积V的近似公式与u九用该术可求得圆率n的近似值.现用该术求得n

的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27,则该圆

锥体积的近似值为（）

A.A/3B.3C.3yD.9

解：设圆锥的底面半径为r,则乙=2irr,可得r=占，

2冗

2

•••V-|Krh-|n（奈）2八七年乙2〃，整理得RN3.

•••该圆锥的底面直径和母线长相等，且圆锥的表面积的近似值为27,

设该圆锥的底面半径为R,母线长为/,高为力，

则S表=兀R2,・（2兀R）=3R2吊・6R・2R=27,解得R=M.

又2R=l,.,•/!=V12-R2=V3R=3-

...该圆锥体积的近似值为V=^-jiR2h^yX3X3X3=9.

故选：D.

8.已知实数mh满足。=log34+log】29,5"+12”=13〃，则下列判断正确的是（）

A.a>b>2B.b>a>2C.2>b>aD.a>2>b

log392

lo

解：V6r=log34+logi29=log34+]°g戛=g34+i+iog^4，

_(log4)2-log4

2233

故°-2=1哨4+诉不

1+1og34

2

Vlog34>log33=l,.,.(log34)>log34,

故a-2>0,即a>2,

V5a+12a=13\且a>2,

.,.13/,>52+122=132,：.b>2,

令g(x)=5*+12*-13*(x>2),

则g(x)-52«5V-2+122*12A-2-132»13A"2<(52+122)«12x-2-169«13x2<0,

故13〃=50+12。<13",即a>b,

故a>b>2,

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设Z],Z2是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若|z1-Z2|=0,则Z[=Z2

B.若z】=Z2，则Z]=Z2

C.若|Z1|=|Z2|,则Z1・Z[=Z2・Z2

D.若|Z||=|Z2|,则Z[2=Z22

解：对（A）,若|Z|-Z2|=0,则Z]-Z2=0,Z]=Z2,所以Z[=Z2为真;

对（B）若Z]怎，则zi和Z2互为共甑复数，所以五'=z2为真；

对（C）设zi=0+6ii,Z2=s+岳'若%|=彷|,则

22z=a2+b2,

Zi•Z1=a1+b1,z2*222所以Z[.Z[=Z2"Z2为真；

2

对（。）若Z|=1,Z2=i,则|Z||=|Z2|为真，而Z[2=l,Z2=-1，所以Z12=Z22为假.

故选：ABC.

10.已知函数/(x)=2sinxcosx-2«COS2X+F，则下列结论中正确的是()

A.f(x)的对称中心的坐标是(号［《，0)(依Z)

TT

B./(x)的图象是由y=2sin2x的图象向右移二，个单位得到的

6

JT

C./(x)在［-亏，0］上单调递减

O

D.函数g(x)=/(x)+、/§在［0,10］内共有7个零点

解:函数f（x）=2sinxcosx⑵

2x--^-=kn1攵€Z,止匕时工=卜ZcZ时，f(x)=2sin(2x---)=2sin加=0,

3263

所以/(x)的对称中心的坐标是(野吟，0)(依Z),所以A正确；

1IJIJI

y=2sin2x的图象向右移一h个单位得到，y=2sin2(x--—)=2sin(2x--•),所以3

663

正确;

当“=-彳^-时，f(1)=2sin(2x--)=-2,函数取得最小值，所以f(x)在[—-

aL乙OO

0］上不是单调函数，所以C不正确；

函数g（X）=f（X）+正=2sin（2x-+正的周期为IT,R=0时，f（0）=0,函数

在一个周期内由两个零点，所以函数在［0,10J内共有7个零点，所以D正确.

故选：ABD.

11.如图，点用是棱长为1的正方体43（7-48。|0］中的侧面4。£）八1上的一个动点（包

含边界），则下列结论正确的是（）

A.存在无数个点M满足CMLA2

B.当点M在棱上运动时，的最小值为«+1

C.在线段AZZ上存在点M,使异面直线与CO所成的角是30°

D.满足|M£>|=2|M9|的点M的轨迹是一段圆弧

解：对于4,当M点在4。时，因为平面AQCBi,且CMu平面AQCBi,所以

存在无数个点M满足CMLAD1,所以A对；

对于B,作平面展开图如图，|MA|+|M-|的最小值为83=，12+（1+近）24后1,所

以8错;

对于C,因为C£）〃AB,AB/ZA^Bi,所以于是异面直线与。所成的角

为NABiM,

>p所以NAiSM>30°,所以C错;

对于。，建立如图所示的平面直角坐标系，2（1,0）,设M（x,y）,

因为眼冽=2|MQ|,所以Jx2+y2均G_1）2+丫2,整理得3f+3产-8x+4=0,所以点

例的轨迹是一段圆弧，所以。对.

故选：AD.

Gx

12.已知抛物线/=2)，，点MG,-1),re[p1],过M作抛物线的两条切线MA,MB,

其中A,B为切点，且4在第一象限，直线AB与y轴交于点P,则下列结论正确的有()

A.点P的坐标为(0,1)

B.OALOB

C.的面积的最大值为3y

D.耨-的取值范围是[2,2+小目

IPBI

解：/=2y即丫=去2的导数为y'=x,

设A(x”yi),B(X2,”)，则婷=2%，K=2y2,

可得A处的切线的方程为y-yi=xi(x-xi),即为xix=y+yi,

同理可得B处的切线的方程为xjr=)4奖，

又切线MA,MB都过M(6-1),可得xM=-1+y”X2t--1+”，

由两点确定一条直线，可得AB的方程为xf=y-1,

可得P(0,-1),故A正确；

f2_

联立，X2了,可得/-2fx-2=0,即有xi+x2=2f,xiX2=-2,

xt=y-l

(vv")2

由xtX2+yiy2—-2+,12=-2+1--1#0,

4

即OA不垂直于OB,故8错误;

由MG,-1),1],M到直线A8的距离为4=~~\AB\=V1+t2*V4t2+8)

所以△MAB的面积5=/小依用=(P+2)

1]递增，可得S的最大值为

3晶，故C正确;

|PA|_'l+t2lx】|_Xi

2-x设X1=-Xitn,

[PB]V1+tIx2|2

x,可得f2=（『m）2日」,

由X\+X2=2t,X\X2=-2,消去x”21]，

2m4

解得，”日2,2+73],故。正确.

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.写出一个存在极值的奇函数/（X）=sinx.

解：根据题意，要求函数为奇函数且存在极值，则f（x）可以为正弦函数,

即f（x）=sinx,

故答案为：sinx（答案不唯一）.

14.二项式（3-"I）6的展开式中，常数项为60.

解：展开式的通项公式为。+产金・

令3,J=0,解得r=2,

所以展开式的常数项为C2-22-（-1）2=60,

故答案为：60.

2222

15.已知椭圆Ci：号表=1与双曲线C2：%-%=1（机>0,”>0）有相同的焦点尸”

Fi,且两曲线在第一象限的交点为P,若PF2，QF2,且。=26,则双曲线C2的离心率为

273

~3~~'

解：令x=c,由椭圆的方程，可得y=±〃Jl-\=±_L_,

Va?a

设小尸2|=玫=止=3

a2b2

由椭圆的定义可得|PQ|=2a-\PF2\=4b-±b=/,

由双曲线的定义可得|PFi|-\PF2\=-^b-■^b=3b=2m,

又©=平不=如乩

,,®9r-

所以双曲线的离心率为£=?一

myb3

故答案为：3®.

3

16.已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形

状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相

同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第〃+1次从与第“次取出的球颜色相

同的箱子内取出一球，然后再放回去.则第4次取出的球是红球的概率为毒.

一625-

解：设第〃(«GN*)次取出红球的概率为匕，则取出白球的概率为1-P“，

考虑第n+1次取出红球的概率为P“+i,

①若第n次取出的球为红球，则第n+1次在红箱内取出红球的概率为•|尸“,

5

②若第〃次取出的球为白球，则第八+1次在白箱内取出红球的概率为(1-尸“)，

5

Q919q

故Pn+\——(1-PH)=—,且Pl=M，

55555

故”白《后喑看

13P、=—12—=—1X13।263

2555525后125

19631,2_313

故P^——Py+—=x

551255~5~~^25

故答案为:313

625

四、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.已知a,6,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且…=岳+上

ca+b

(I)求8的值；

(II)若b=2近,求AABC的面积的最大值.

解：(I)•.•■^■=叵+。,

ca+b

Aa^c2-b2=-

由余弦定理知，cos8=.&+c.b.=，丫2cle=_

2ac2ac2

371

•:BE(0,TT),

4

(II)由余弦定理知,b2=a2+(r-2ac*cosB,

•»=2&，8=等

.\8=a2+c2-2acX（-^2ac+2acX（2+A/^）ac,

，“cW555=4°-&），当且仅当。=。时，等号成立，

AAABC的面积S="|ac・sinB<a・4（2-正）•唱=2&-2,

故△4BC的面积的最大值为2&-2.

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S”t/2=4,Sn=^-a„+i+2.

（1）证明：数列｛*-2｝为等比数列，并求出S,;

（II）求数列｛」一｝的前几项和7k

an

【解答】（I）证明：由题意，当〃=1时，SI="^S+2=-^X4+2=4,

根据已知条件，S"="^S+l+2="^（Sn+I-Sn）+2,

整理，得S"+i=3S"-4,

两边同时减去2,可得Si+i-2=3S"-4-2=3（Sn-2）,

VSI-2=4-2=2,

二数列｛S.-2｝是以2为首项，3为公比的等比数列，

.•$-2=2・3"7,

：.Sn=2-3ni+2,neN*.

（II）解：由（I）知，当〃=1时，ai=Si=4,

n2n2

当时，an=S„-S,,.i=2-3'+2-2-3"--2=4-3-,

’4,n=l

故a,,—<一,

%、吗严，n》2

当”=1时，♦=」-=」，

a14

,41111

当"N2时，T———+——+—+•••+——

ala2a3an

=LLL（A）i+...++A.（A）«-2

444343

叫

干一

3

=5]

~8~8・非-2，

•.,当”=1时，Ti=',

19.如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是菱形，ZBAD=—,M是棱PB上的点，0

是4。中点，且尸0J_底面ABC。，OP=«OA.

(I)求证：BC±OM；

(II)若PM[PB,求二面角B-OM-C的余弦值.

O

【解答】(I)证明：在菱形48CD中，/54。=60°,所以△48。为等边三角形，

又因为。为4。的中点，所以08LAD,

又因为AC〃BC,所以OBLBC,

因为尸0,底面ABC。，BCu平面A8CQ,所以0PLBC,

因为0PC0B=0,OP,08u平面P0B,所以8C_L平面P08,

因为M是棱PB上的点，所以OMu平面P08,所以8CL0M；

(II)解：因为P。，底面ABCQ,0B1AD,建立空间直角坐标系如图所示，

设OA=1,则OP=OB=«,

所以

0(0,0,0),A(l,0,0),B(0,加，0),C(-2,孤，0),P(0,0,如),

贝庆=(-2,V3.0)，由而。由於S，如，-正)，

所以而=而4屈=（o,

0

设平面OMC的法向量为m=（x,y,z）.

ON•m=02y+z=0

则有，

即4,

OC•m=02x-Vsy=0

令y=l,则x=^^*，z=-2，故1,-2），

又因为平面POB的法向量为3=（1,0,0）.

所以Icos—,>1陪着

Im||n|

由图可知，二面角B-OM-C为锐二面角,

所以二面角B-OM-C的余弦值为逗.

23

20.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和

小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失

败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概

率都是母

（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；

（2）若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布

列及期望.

解:（1）恰好打了7局小明获胜的概率是Pi=C：

）25=1

恰好打了7局小亮获胜的概率为P2=Cg仔、康与

15X25+15X2220

比赛结束时恰好打了7局的概率为P=Pi+P2=

37811

(2)X的可能取值为2,3,4,5,

P(X=2)=(-|)2=|,

P(X=3)=C；X(铝.嘲,

P(X=4)=C；X/)2Xg)2+C：X(1)4得,

P(X=5)=C^X-lxQ)3=±

43381

••.X的分布列如下：

X2345

p8138

-927比

E（X）=2X—+3X—+4X^+5X—=-^-.

927818181

22

21.已知椭圆C的方程为t以=1Ca>h>0）,P（1,得）在椭圆上，离心率e=口,

a"b"22

左、右焦点分别为B、B.

（I）求椭圆C的方程；

（II）直线y=fcr（*>0）与椭圆C交于48两点，连接AQ,BQ并延长交椭圆C于

D、E两点，连接。E,求酶的值.

k

解：（I）由尸（1,弓）在椭圆上，

因为离心率e=£=《，所以“=2c,

a2

又a2=b2+c2,

可得。=2,8=f，c=l,

22

所以椭圆C的方程为工+工_=1.

43

(II)设A(xo,加)，则3(-xo,-yo),

XO+1

直线A。的方程为一1,

y。

代入C：A_+_X_=1,得[3(xo+1)2+4yo2]y2-6(&+1)yoy-9yo2=O,

43

22

因为无_+E_=l,

43

代入化简得(2xo+5)y2-2(xo+1)yoy-3yo2=O,

设£)(xi,yi),E(X2,〉2),

2

x(]+l

则yoy=°、°，所以yi=―—―p-

।X|■yi-i,

2x0+52XQ+5y。

Xn-1

直线BE的方程为x=」-y-1

VO-

同理可得[3(xo-1)2+4yo2]y2-6(xo-1)yoy-9yo2=0,

化简得(5-2xo)/-2(xo-1)yoy-3yo2=O,

所以-闻A卫，即”=:”，及=血二4-1,

5-2x05-2X0y0-

丫「丫2yf

所以o+1xo-1Xn丫产2

一（丫1一了2）+

—。y1-------。---y?12

y1y2y0Vo

]

x01了1+丫2,

—+-----,------------

y。y。丫42

-3y(j+%

了1+丫22x0+5卜5-2X02

又-------=----------------=--XQ

丫「丫2'3yo5

2xg+55-2x0

________]

=坛卫